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    從向心力的供需關(guān)系看衛(wèi)星的運行及變軌

    2019-05-08 03:25:14李滿堂
    師道·教研 2019年4期
    關(guān)鍵詞:變軌向心力引力

    李滿堂

    《萬有引力與航天》是物理必修2的重要章節(jié),其中衛(wèi)星運行及其變軌是該章的重點,也是高考考查的高頻知識點。大部分學(xué)生對該知識點掌握不夠系統(tǒng),理解不夠深刻,部分資料教輔對衛(wèi)星變軌問題涉及的物理量有一些錯誤認識。本文試圖從向心力的供需角度幫助學(xué)生梳理衛(wèi)星的運行及變軌問題。

    一、衛(wèi)星的運行及變軌

    衛(wèi)星之所以能長期運行在它的軌道上,正是因為地球給它的引力恰好提供了它繞圓周運行所需要的向心力,即供等于需(GMmr2=mv2r)。

    思考:如果衛(wèi)星速度突然增大了,它會怎么運轉(zhuǎn)呢?

    當衛(wèi)星速度突然增大時,它所需要的向心力就突然增大,地球給它的引力就不足以提供它做圓周運動需要的向心力了,那么它就會做遠離圓心的運動——離心運動。

    如圖:在圓軌道I上以速度v1運行的衛(wèi)星,萬有引力恰好提供向心力,即供等于需(GMmr21=mv21r1)。如果在A點讓它速度突然增大到v2,它所需的向心力就會突然增大,萬有引力就不足以提供它做圓周運動的向心力,即供小于需(GMmr21v23ρ2),ρ2 為橢圓軌道B點處的曲率半徑)。此后,衛(wèi)星將會做向心運動,地球引力會將它拉回到A點,這個過程中地球引力對它做正功,它的速度又會逐漸增大,回到A點時,它的速度又到達v2。這樣衛(wèi)星就會在橢圓軌道II上不斷的運轉(zhuǎn),在近地點A時速度最大,在遠地點B時速度最小。值得注意的是,圓軌道上運行的衛(wèi)星,在A點速度突然增大得越多,它的橢圓軌道半長軸將越長,也就是軌道將橢得越厲害。

    怎樣才能讓衛(wèi)星變軌到更高的圓軌道呢?

    上面講到衛(wèi)星沿橢圓運動到遠地點B點后,它之所以又會在地球引力作用下回到近地點A點,是因為在B點時它的速度已經(jīng)很小,導(dǎo)致它所需要的向心力小于地球給它提供的引力了。如果在衛(wèi)星運行到B點的時候,讓它速度突然增大,如果增大到某一值v4而且此時它所需要的向心力恰好等于地球提供給它的引力,即供等于需(GMmr22=mv24r2),它還會做向心運動嗎?當然不會。衛(wèi)星將繞地球做圓周運動,它此時的圓軌道經(jīng)過B點,如圖所示的圓軌道II,與開始經(jīng)過A點的圓軌道比,它的圓軌道就變高了。

    二、衛(wèi)星運行及變軌中速度和加速度比較

    上面衛(wèi)星運行及變軌中涉及的速度有v1、v2、v3、v4等4個速度,它們的大小關(guān)系如何?由上可知v2是由v1增大得到的,故有v2>v1,又有v4是由v3增大得的,故有v4>v3,又衛(wèi)星從A運動到B是減速的,則v2>v3;現(xiàn)在我們來通過計算比較一下v1和v4的大小,在圓軌道上運行的衛(wèi)星萬有引力提供向心力有GMmr2=mv2r,可得v=GMr,由此知道半徑越大,衛(wèi)星運行速度越小即v4v1>v4>v3。

    現(xiàn)在我們來看一下加速度大小比較:在圓軌道I上運行的衛(wèi)星,所受地球引力為F1=GMmr21,由牛頓第二定律知此時衛(wèi)星加速度為a1=GMr21。衛(wèi)星在橢圓軌道運行時,由于距離地心距離不斷變化,所受地球引力在不斷變化,由牛頓第二定律知加速度大小也在不斷變化,經(jīng)過A點時加速度為a1=GMr21最大,與圓軌道I上的加速度大小相同,從A點運動到B點過程中由于地心越來越遠,受到地球引力越來越小,加速度越來越小,到B點時加速度為a2=GMr22,是最小的,且與衛(wèi)星在圓軌道II上加速度一樣大。由此可知:經(jīng)過同一點的衛(wèi)星,不管是它運行的軌道是怎樣的,加速度都一樣。

    上面說的是加速度,現(xiàn)在我們看看向心加速度。在圓軌道I上以速度v1運行的衛(wèi)星,萬有引力恰好提供向心力,由牛頓第二定律及向心加速度公式得此時衛(wèi)星向心加速度a1向=v21r1=GMr21。同理在圓軌道II上以速度v4運行的衛(wèi)星向心加速度a2向=v24r2=GMr22。衛(wèi)星在橢圓軌道上運行經(jīng)過A點時的向心加速度為aA向=v22ρ1>GMr21)(ρ1為橢圓在A點處的曲率半徑),在橢圓軌道上運行經(jīng)過B點時的向心加速度為aB向=v23ρ2a1向>a2向>aB向。

    由此可知衛(wèi)星在運行及變軌過程中,衛(wèi)星的加速度和向心加速度是有區(qū)別的。在圓軌道上運行時,衛(wèi)星的向心加速度就是它的加速度。如果是橢圓軌道上運行的衛(wèi)星加速度與向心加速度是完全不同的。

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