關(guān)于累積法測量結(jié)果中有效數(shù)字的保留問題

張燦靈

摘? ?要：關(guān)于累積法測量結(jié)果中有效數(shù)字的保留問題一直存在爭議，以至于考試很難定奪答案，無法給分。本文從幾個(gè)方面提出了對該問題的看法。筆者認(rèn)為，使用累積法就是為了提高精度，累積法的測量結(jié)果應(yīng)該更為準(zhǔn)確，至少保證測量結(jié)果是準(zhǔn)確、有效的，測量結(jié)果里的有效數(shù)字位數(shù)只能增加或不變，一定不能減少，只有這樣才能降低測量結(jié)果的不確定度。

關(guān)鍵詞：累積法;有效數(shù)字;不確定度

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2019）3-0007-2

問題的提出：

在學(xué)習(xí)八年級物理第二章測量內(nèi)容時(shí)，總會碰到類似的題目：（例）李陽同學(xué)為了測某一品牌導(dǎo)線的直徑，他采用了以下的辦法，剪下一段導(dǎo)線后，把這段導(dǎo)線在一支鉛筆上緊密地纏繞單層的40圈，形成一個(gè)導(dǎo)線圈，再用一把刻度尺去測量這個(gè)導(dǎo)線圈的長度，測量情況如圖1所示，則這把刻度尺的分度值是______mm，這個(gè)導(dǎo)線圈的長度是______cm，這一品牌導(dǎo)線的直徑是______mm。

關(guān)于此題的解答：首先，刻度尺的分度值是1 mm（或0.1 cm），導(dǎo)線圈的長度是2.35 cm（大約）。可是，關(guān)于第三個(gè)空許多物理老師都有爭議，各執(zhí)一詞，以至于考試沒法定奪答案，無法給分。

有的老師認(rèn)為，導(dǎo)線的直徑d=2.35 cm/40=0.05875 cm≈0.6 mm，結(jié)果應(yīng)該與分度值嚴(yán)格保持一致，必須取0.6 mm才對。

還有老師認(rèn)為，除下來的結(jié)果恰好是0.05875 cm，那就應(yīng)該保留下來準(zhǔn)確的結(jié)果，這也恰恰是累積法測量長度的初衷：提高準(zhǔn)確度，以減小誤差。因此，結(jié)果就應(yīng)該是0.5875 mm。

關(guān)于這個(gè)問題，筆者認(rèn)為使用累積法就是為了提高精度，累積法應(yīng)至少保證測量結(jié)果是準(zhǔn)確、有效的，測量得到的結(jié)果里的有效數(shù)字位數(shù)只能增加或不變，一定不能減少，只有這樣才能降低測量結(jié)果的不確定度。下面分別從以下幾個(gè)方面來闡述筆者對這個(gè)問題的看法。

1? ? 使用累積法就是為了提高精確度

累積法是物理學(xué)中常用的科學(xué)研究方法之一。累積法一般用于測量某些用常規(guī)儀器很難直接準(zhǔn)確測量的物理量，方法是將小量變大量。比如，測量一張紙的厚度、測量一粒米的質(zhì)量、測量細(xì)銅絲的直徑等都需要使用這種方法。由于待測物體量太小，若直接測量，結(jié)果可能會導(dǎo)致誤差太大，或者測不出，甚至得到一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。這時(shí)就可以使用累積法。

讓我們再來看一個(gè)例題：

為了測量1張臨摹紙的厚度，小剛數(shù)出了300張相同的紙，壓齊后，用毫米刻度尺測出300張紙的厚度為1.00 cm，則1張紙的厚度應(yīng)為（? ? ? ?）cm。

如上，如果我們嚴(yán)格遵守毫米刻度尺分度值的要求，那么1.00 cm/300≈0.0033 cm，結(jié)果應(yīng)該記作：0.00 cm。也就是說測量結(jié)果說明這張臨摹紙沒有厚度，這顯然是不可能的。0.00 cm的測量結(jié)果只能說明此次測量是失敗的。然而，失敗的原因不是測量，而是結(jié)果的保留。

2? ? 累積法的測量結(jié)果應(yīng)該更為準(zhǔn)確，至少保證測量結(jié)果是準(zhǔn)確、有效的

這道例題中，結(jié)果至少應(yīng)該保留到0.003 cm才有意義（紙必須有厚度）。顯然，這已經(jīng)超出毫米刻度尺分度值的范圍了。也就是說，累積法的測量結(jié)果有時(shí)候必須要比測量工具的精確度更加精確才能使結(jié)果具有意義。在類似的題目中，累積法的測量結(jié)果已經(jīng)遠(yuǎn)超測量精度的要求，再保持測量工具的分度值也就沒有意義了?？梢岳斫鉃?，測量精度一般是針對直接測量而言的——比如直接讀取的總長度，必須符合分度值的要求。對于累積法的間接測量結(jié)果（如求一張紙的厚度需要計(jì)算，視為間接）可以不必與測量工具的精度保持一致。

3? ? 使用累積法測量得到的結(jié)果里的有效數(shù)字位數(shù)只能增加或不變，一定不能減少

累積法測量其實(shí)體現(xiàn)了一種放大的思想。由于原待測物體過于微小不易測量，把它們累積轉(zhuǎn)換成一個(gè)可觀的、放大的量再進(jìn)行測量。直接的測量結(jié)果一定要遵守測量工具的精度要求。間接的測量結(jié)果則要根據(jù)事實(shí)進(jìn)行與原測量精度相當(dāng)或者是更為精確地保留。就拿開篇的那個(gè)例題來說，導(dǎo)線的直徑至少記作0.6 mm或0.59 mm或0.588 mm，當(dāng)然最好是0.5875 mm，因?yàn)榇藬?shù)據(jù)恰是一個(gè)整除的結(jié)果，沒有比這個(gè)更加準(zhǔn)確的結(jié)果了。

4? ? 測量結(jié)果的有效位數(shù)由不確定度決定，不確定度越小結(jié)果越精確

所謂測量就是把待測物體的某個(gè)物理量與相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)量作定量比較。測量的最終結(jié)果應(yīng)該包括數(shù)值、單位和結(jié)果的可信賴程度。結(jié)果的可信賴程度，我們用不確定度來表示。不確定度反映了由于測量中不可避免的各種誤差的存在而導(dǎo)致測量結(jié)果不能肯定的程度[1]。不確定度是對被測量真值不能肯定的誤差范圍的一種評定，與誤差是有區(qū)別的。誤差是測量值與真實(shí)值的差距，通常分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差，誤差是客觀存在的。然而大多數(shù)情況下，真實(shí)值是無法知道的，比如一支鉛筆的長度到底是多少？我們無從得知。每一次的測量都有誤差，多次測量取平均值也只能減小誤差，誤差還是不能避免的。真實(shí)值無法確定，準(zhǔn)確的誤差更加無法知道。測量誤差表明了測量結(jié)果偏離真實(shí)值的程度。不確定度表明了被測量值的分散性，是測量誤差量值分散性的指標(biāo)。測量結(jié)果應(yīng)該帶有這樣的一個(gè)指標(biāo)：表征測量結(jié)果的可能分散情況。不確定度越小，測量結(jié)果的可信賴程度越高，反之，測量結(jié)果的可信賴程度越低[2]。一般情況下，不確定度通常取兩位有效數(shù)字，對于重要的、要求比較精確的測量常將測量結(jié)果的不確定度多保留一位[3]。測量結(jié)果的有效位數(shù)由不確定度來決定，測量結(jié)果的最后一位要與不確定度的最后一位一致[4]。例如，測量某一物體的質(zhì)量，初步的測量結(jié)果為m=100.2244526 g，根據(jù)規(guī)定計(jì)算出的不確定度為u=0.256 mg，如果不確定度保留兩位有效數(shù)字則記為u=0.26 mg。修約間隔為0.01 mg，測量結(jié)果應(yīng)該記為：m=100.22445 g。

用累積放大法來測量時(shí)，由于多次測量減小了測量誤差，提高了測量結(jié)果的不確定度，測量不確定度位數(shù)相應(yīng)的要增加。例如，利用劈尖干涉原理測微小厚度的實(shí)驗(yàn)中，儀器的精確度u=0.01 mm，而根據(jù)規(guī)定求出的測量結(jié)果不確定度為0.00005 mm，如果把不確定度記為0.00是錯(cuò)誤的，而應(yīng)該記為0.00005 mm[5]。

總之，累積法測量結(jié)果中有效數(shù)字的保留問題，不能只考慮儀器本身的精確度。累積法本質(zhì)就在于可以測量出某些用常規(guī)儀器很難直接準(zhǔn)確測量的物理量，提高測量的精確度，減小測量誤差，減小測量結(jié)果的不確定度，提高測量結(jié)果的可信賴程度。所以，測量結(jié)果有效數(shù)字位數(shù)只能增加或不變，一定不能減少。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳泳華，霍劍青，熊永紅.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2001：152.

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[3]朱莉.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].長春：吉林人民出版社，2003.

[4]張穎.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測量結(jié)果及不確定度的有效位數(shù)[J].長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，17（4）：24-25.

[5]張穎.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測量結(jié)果及不確定度的有效位數(shù)[J].長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，17（4）：24-25.

（欄目編輯? ? 趙保鋼）