MLR-Legendre多項式模型在混凝土壩裂縫開度預測中的應用

邱莉婷，沈振中，馬福恒，聶柏松

(1. 南京水利科學研究院，江蘇南京210029； 2. 河海大學，江蘇南京 210098； 3. 華東勘測設計研究院有限公司，浙江杭州 311122)

裂縫問題在混凝土壩中十分普遍，故有無壩不裂之說[1]。混凝土在細觀結(jié)構上是由骨料、砂漿及二者間界面過渡區(qū)組成的三相非均質(zhì)準脆性復合材料[2-3]。其內(nèi)部還夾雜著許多孔隙和微裂紋，這些原始缺陷在外荷載的作用下，初始損傷不斷積累，應變局部化的產(chǎn)生導致?lián)p傷不斷發(fā)展成核，最終形成宏觀裂縫。宏觀裂縫的失穩(wěn)擴展將破壞大壩的整體結(jié)構穩(wěn)定性，最終危及大壩的安全運行?；炷翂蔚牧芽p產(chǎn)生機理復雜，研究混凝土大壩裂縫擴展主要有基于宏觀破壞力學的確定性理論以及考慮混凝土隨機統(tǒng)計特性的概率統(tǒng)計法。考慮到混凝土大壩除受到自身結(jié)構和材料的非線性影響外，往往還受到外部隨機因素的作用，單一的確定性理論或者概率論方法研究無法全面考慮其結(jié)構劣化過程的各個關鍵因素[4]。在大壩安全監(jiān)測中，對裂縫系統(tǒng)的把握是基于對裂縫開度的實時監(jiān)測。相關研究[5]表明，監(jiān)測資料殘差序列中存在混沌現(xiàn)象?；煦绗F(xiàn)象是指在確定性非線性系統(tǒng)中存在的內(nèi)在隨機性行為[6]，在生物、物理、信息科學、氣象學等諸多領域均得到了廣泛應用。包騰飛[4]把裂縫作為非線性動力系統(tǒng)進行相空間重構研究，探索了裂縫系統(tǒng)混沌特征量的計算，證明了裂縫存在混沌成分。李富強[7]基于混沌動力系統(tǒng)的相空間重構理論，對大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行回歸分析后的殘差序列采用二階Volterra濾波器建模以提高擬合精度。宋志宇等[8]將混沌優(yōu)化技術應用于支持向量機模型的參數(shù)選取優(yōu)化，建立了混沌優(yōu)化-支持向量機的大壩位移預測模型。趙卿等[9]結(jié)合相空間重構和最小二乘支持向量機提出了適合大壩非線性變形觀測數(shù)據(jù)的中長期預報的混沌-支持向量機模型。嚴春麗[10]采用基于Bernstein多項式的遞推最小二乘自適應算法，對大壩水平位移采用多元線性回歸模型擬合后的殘差序列進行處理，提出了MLR-Bernstain多項式組合模型。Legendre多項式[11]因其優(yōu)秀的函數(shù)逼近能力在工程領域得到了廣泛運用，但對于混沌時間序列的預測算法研究較少。閆華[12]針對具有高跳速的混沌通信系統(tǒng)，提出了基于Legendre多項式的單步自適應預測算法，但基于Legendre多項式的預測模型研究在大壩安全監(jiān)控領域尚未見到。

統(tǒng)計回歸模型常用于大壩安全監(jiān)控，但對于樣本容量較少的觀測時間序列建模能力較差；此外，其預測模型無法考慮殘差項[13]，忽略了裂縫發(fā)展演變的諸多有用信息，使得裂縫開度的預測精度不夠理想。針對上述問題，本文主要研究工作如下：首先，結(jié)合Legendre多項式和遞推最小二乘算法(Recursive least square, RLS)建立適合小容量樣本的混凝土大壩裂縫開度實時預測模型；同時，在回歸模型分離出確定性分量的基礎上，采用基于Legendre多項式的RLS自適應預測模型，進行殘差序列的擬合及預測分析，通過在預測模型中增加殘差預測項，建立適合大容量樣本的統(tǒng)計回歸-Legendre組合模型。最后，基于陳村重力拱壩在105 m高程的裂縫開度實測數(shù)據(jù)，對模型的合理性進行計算驗證。

1 Legendre多項式的基本原理

這里首先簡單介紹下內(nèi)積空間中的正交性理論。在內(nèi)積空間X中，如果某個子集D滿足：?x,y∈D且x≠y均有(x,y)=0，則子集D是正交的。同時，如果?x∈D均滿足||x||=(x,x)0.5=1，那么子集D是標準正交的。內(nèi)積空間的一組線性無關的元素總能通過Gram-Schmidt正交化成為一組標準正交集?；谏鲜鰞?nèi)積空間的正交性理論和Gram-Schmidt正交化處理來定義Legendre多項式。設 [-1,1]上全體連續(xù)函數(shù)的集合為C[-1,1]，采用函數(shù)加法和數(shù)乘操作創(chuàng)建一個線性空間，則冪函數(shù)1,x,x2,…構成該空間中的一個線性無關組，這里定義內(nèi)積運算為：

(1)

從而C[-1,1]成為一個內(nèi)積空間，在該內(nèi)積空間中通過線性無關組{1,x,x2,…}的正交化得到Legendre多項式。Legendre多項式形式較多，這里采用其中一種較為簡單的表達式：

(2)

Legendre多項式的正交性可由下式體現(xiàn)：

(3)

Legendre多項式具有函數(shù)逼近能力，即式(2)中的一系列函數(shù)L1(x),L2(x),…的線性組合可以逼近一類廣泛的函數(shù)，這也說明了Legendre多項式對非線性時間序列是具有建模能力的[12]。

式(2)中的Ln(x)是單變量的n階Legendre多項式。為了改進模型的預測效果，這里采用如下的待定參數(shù)m元n階Legendre多項式對混沌時間序列進行建模：

(4)

式中：W=(wk,i),k=1,2,…,m;i=0, 1,…,n-1為mn維的待定參數(shù)行向量；Li(·)為式(2)中的i階Legendre多項式。當多項式階數(shù)i較高時，采用式(2)計算Li(·)的計算量大，一般進行以下簡化：

L0(x)=1,L1(x)=x

(5)

此外，Legendre多項式有如下遞推關系：

(6)

因此，建模過程可基于式(5)和式(6)來計算Legendre多項式的值。

2 實時預測模型的建立及算法實現(xiàn)

遞推最小二乘算法(RLS)具有快速收斂和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，在信號處理領域得到了廣泛運用。這里將Legendre多項式的建模方法與RLS算法相結(jié)合，建立基于Legendre多項式的RLS自適應混沌時間序列預測模型。具體建模流程如下[12]：

(1) 擬定主要參數(shù)和部分變量初值：① 給定模型采用的歷史測值個數(shù)m以及各測值所對應的Legendre多項式階數(shù)n(對全部測值均采用同樣階數(shù)的Legendre多項式)；② 擬定RLS算法中遺忘因子α和參數(shù)β的取值；③ 構造1×(n·m)階加權行向量W(i)，將初始值W(0)設定為零向量。

(2) 通過RLS算法更新加權行向量W(i)：① 構造相應于第t+1個觀測時刻的Legendre多項式的輸入列向量G(t,m)：

G(t,m)=[g(t),g(t-1),…,g(t-m+1)]T，t≥m

(7)

其中，g(t)具有以下形式：

g(i)=[L0(xi),…，Lt(xi),…，Ln-1(xi)],i=t,t-1,…，t-m+1

(8)

② 將加權行向量W(t)與輸入列向量G(t,m)相乘作為t+1時刻預測值，即：

(9)

③ 利用RLS算法原理，根據(jù)t+1時刻實測值，調(diào)整相應于t+2時刻權向量W(t+1)：

(10)

(11)

W(t+1)=W(t)+rt+1V(t+1)T

(12)

(13)

L(t)的初值L(0)為：

L(0)=(1/β)I

(14)

式中：V(t+1)為(n·m)×1階列向量；L(t+1)為(n·m)(n·m)階方陣；I為(n·m)(n·m)階單位矩陣。

這里對算法中涉及的參數(shù)取值問題進行說明，模型的4個重要參數(shù)包括：預測時所采用的歷史采樣點的個數(shù)m，各采樣點所對應的Legendre多項式的階數(shù)n，以及RLS算法中兩個重要的參數(shù)α與β。由于各類非線性關系都具有獨特“個性”，因此對不同混沌序列的預測建模均需具體擬定相應的參數(shù)取值，一般采用逐步試探法，具體做法如下[12]：(1) 將參數(shù)α與β分別設置為0.999與0.001，這是因為從仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，二者并非算法的敏感參數(shù)，因而可直接取為固定常數(shù)；(2) 參數(shù)n與m的初值均為1，逐步增大二者取值，并在一定時間內(nèi)保持不變?；谶x定的誤差計算方法來判斷該時段的預測效果，直至滿足計算誤差要求即可確定合理的模型參數(shù)取值。

3 統(tǒng)計回歸-Legendre多項式殘差擬合模型

對混凝土大壩裂縫開度采用統(tǒng)計回歸模型來研究監(jiān)測效應量與影響因素(水壓、溫度及時效等)之間的關系，其一般形式[15]可表示為：

δ(t)=δH(t)+δT(t)+δθ(t)+ε(t)

(15)

式中：δ(t)為裂縫開度；δH(t)水壓分量；δT(t)為溫度分量；δθ(t)為時效分量；ε(t)為殘差。采用回歸分析確定δH(t)，δT(t)和δθ(t)的因子的系數(shù)，則t+T時刻的預測模型[13]可表示為：

δ(t+T)=δH(t+T)+δT(t+T)+δθ(t+T)

(16)

對比式(15)和(16)可以發(fā)現(xiàn)，該預測模型缺少殘差項ε(t+T)。而殘差項包含水壓、溫度以及時效分量各因子之間相互影響所導致的非線性相關性；水壓和溫度等環(huán)境荷載作用下，裂縫尖端應力場奇異區(qū)域混凝土產(chǎn)生的不可逆變形；壩體承受極端荷載或者結(jié)構劣化時導致的裂縫開度突變等[4]。所以，需要對預測模型進行修正[13]：

δ(t+T)=δH(t+T)+δT(t+T)+δθ(t+T)+ε(t+T)

(17)

統(tǒng)計回歸-Legendre多項式組合模型具體建模過程如下：(1) 利用回歸分析模型分離出各確定性分量；(2) 采用基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法對殘差序列進行擬合，并在預測模型中加入殘差預測項，從而構建統(tǒng)計回歸-Legendre組合模型。

這里選取仿真試驗中常用到的Logistic映射[16]來檢驗Legendre多項式對混沌序列的預測效果。

xt+1=4xt(1-xt)

(18)

選擇歸一化均方根誤差(eNRMES)作為評價模型預測效果的判據(jù)：

(19)

圖1 Logistic混沌序列的單步仿真圖像Fig.1One step prediction of Logistic chaos sequence

利用試算方法，給出Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列所對應的參數(shù)取值：n=3，m=2，α=0.999，β=0.001。基于以上參數(shù)取值，對Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列做單步預測仿真試驗。為直觀說明Legendre對混沌序列的預測效果，圖1給出了針對Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列的單步預測仿真圖像。每次仿真共取1 000個數(shù)據(jù)點，由于篇幅所限，這里僅繪制前65個點的預測仿真以說明效果，所有的數(shù)據(jù)均已歸一化至[0,1]。同時，計算得到該實時預測模型歸一化均方根誤差為0.076。

從圖1可以看出，由于結(jié)合了RLS這種自適應收斂算法，模型計算結(jié)果在第18個點就已經(jīng)收斂，收斂速度較快，說明該算法適用于混沌時間序列的實時預測。

圖2 大壩典型斷面(單位：m)Fig.2Typical section of Chencun dam (unit: m)

4 工程實例

圖3 陳村大壩各壩段編號示意Fig.3Numbering of each dam block

陳村水電站位于皖南長江支流青弋江的上游，是一座綜合性中型水利水電樞紐工程。其混凝土重力拱壩的壩頂高程為126.3 m，最大壩高為76.3 m，大壩典型斷面見圖2。同時，壩頂弧長419 m，自左向右共計28個壩段，編號3～30號(圖3)。工程于1958年啟動，1962年完成Ⅰ期斷面，1969年至1971年完成Ⅱ期斷面，1978年又加高壩頂1.3 m至現(xiàn)在的高程126.3 m。Ⅱ期混凝土在收縮變形過程中受到Ⅰ期混凝土的約束，使得Ⅰ期混凝土的頂部，即高程105 m附近產(chǎn)生裂縫，以下簡稱105裂縫。該裂縫從5號壩段一直延伸至28號壩段，經(jīng)探測裂縫深度達5 m以上，長達300多米，對壩體的整體性產(chǎn)生了影響。陳村大壩在105裂縫設有16只測縫計，用于及時監(jiān)測裂縫開度變化，分布在8號至6號壩塊。本文采用105裂縫位于18號壩段的某一選定測點的裂縫開度監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列作為建模對象，觀測時間為2004年11月20日至2013年7月18日，每3天觀測1次。

4.1 小容量樣本的單步預測模型

選取2007年7月2日至2007年11月26日18號壩段目標測點的裂縫開度觀測數(shù)據(jù)時間序列，該序列僅有50個裂縫開度觀測值，樣本容量較小，難以建立有效的統(tǒng)計回歸模型。故采用基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法，實時預測2007年11月29日至2008年5月30日的壩頂位移值。

圖4 裂縫開度擬合與預測過程線Fig.4Fitting and prediction results of SCMOD

預測模型具體實施步驟為：(1) 采用基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法擬合2007年7月2日至2007年11月26日的裂縫開度值；(2) 采用基于Legendre多項式的RLS自適應時間序列預測算法預測2007年11月29日的裂縫開度值；(3) 預測2007年12月2日裂縫開度值，由于此時已知2007年11月29日實測值，可按前述基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法的步驟2來調(diào)整相關參數(shù)，從而得到2007年12月2日的裂縫開度值；(4) 同理，可依次得到2007年12月5日至2008年5月30日的裂縫開度值。

Legendre單步預測模型的歸一化均方根誤差為0.048。同時，圖4為裂縫開度值的擬合與預測過程線。由圖4可知，采用基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法的實時預測模型對裂縫開度的擬合以及實時預測結(jié)果均取得了較高的精度，模型是有效的。

4.2 統(tǒng)計回歸-Legendre多項式殘差擬合模型

對于大容量樣本的裂縫開度觀測數(shù)據(jù)時間序列，這里先用統(tǒng)計回歸模型分離出水壓分量δH(t)、溫度分量δT(t)和時效分量δθ(t)等確定性分量，并得出殘差，再用Legendre多項式分析處理含混沌成分的殘差時間序列，以提高擬合和預測精度?；?8號壩段目標測點2008年6月2日至2012年7月14日的裂縫開度監(jiān)測時間序列建立統(tǒng)計模型回歸方程。回歸模型的具體建立如下：裂縫的產(chǎn)生和擴展與壩體應力大小有關，而應力大小與位移又有關系，所以水壓對裂縫開度的影響可以參考混凝土壩位移統(tǒng)計模型中的水壓分量因子，根據(jù)陳村重力拱壩的實際運行情況，其裂縫開度與水深H,H2,H3,H4有關；溫度分量主要是壩體混凝土和基巖溫度變化引起的伸縮縫的變化。陳村大壩已運行30余年，壩體已基本處于準穩(wěn)定溫度場變化，因此壩體混凝土溫度變化可以用周期性函數(shù)等因子表示；由于裂縫受壩體混凝土徐變和縫端的塑性變形的影響，使裂縫的開合度產(chǎn)生不可逆變形，故需考慮時效的影響。其趨勢開始劇烈，逐漸趨于穩(wěn)定，所以，用線性和非線性兩項表示；同時，考慮初始測值的影響，得到陳村大壩裂縫開度的回歸方程如下：

(20)

式中：Hu,Hd分別為觀測日、始測日所對應的上游和下游的水深值；ai為水壓因子的回歸系數(shù)；t為裂縫開度建模序列第1個觀測日到起始觀測日的累計天數(shù)；b1i,b2i為溫度因子回歸系數(shù)；θ為裂縫開度觀測日至始測日的累計天數(shù)除以100；θ0為裂縫開度系列第1個測值日到始測日的累計天數(shù)t0除以100；c1,c2為時效因子回歸系數(shù)；a0為常數(shù)項。

陳村混凝土重力拱壩的庫水位過程線見圖5。其中，2008年6月至2010年7月的庫水位整體呈逐步上升趨勢，2010年7月以后至2012年7月的庫水位整體略微下降；水庫氣溫過程線見圖6，氣溫總體呈年周期變化，溫度較低的月份為12月至次年1月，溫度較高的月份為6—8月。

圖5 庫水位過程線Fig.5Reservoir water level correlation line

圖6 水庫氣溫過程線Fig.6Reservoir temperature correlation line

逐步回歸模型各待定系數(shù)取值如表1所示，統(tǒng)計回歸模型的復相關系數(shù)R為0.974。同時，統(tǒng)計回歸預測模型歸一化均方根誤差為0.31，可知逐步回歸模型擬合效果較好。

表1 回歸分析成果Tab.1 Results of regression model

為了定量分析和評價各分量對裂縫的影響，用回歸模型分離計算水壓分量、溫度分量和時效分量，以分析水位、溫度和時效對裂縫的影響。篇幅所限，這里僅以目標測點2010年的裂縫開度測值年變幅為例，實測值1.274 mm，擬合值1.184 mm，其各分量分離情況為水壓分量0.130 mm，溫度分量1.006 mm，時效分量0.048 mm。溫度分量、水壓分量和時效分量分別占裂縫開度年變幅的84.93%，10.97%和4.10%。可見，溫度變化是影響裂縫開度變化的最主要因素，其次為庫水位變化的影響，時效分量影響最小。裂縫開度年均值過程線與庫水位年均值過程線如圖7所示。由圖7可知，2008年至2010年庫水位年均值呈逐步上升趨勢，裂縫開度年均值則相應逐步下降；2010年至2011年的庫水位年均值小幅下降，裂縫開度則出現(xiàn)增大趨勢；隨后，因2011年至2012年間庫水位年均值上升，裂縫開度又開始減小?？梢园l(fā)現(xiàn)，庫水位的變化趨勢與裂縫開度變化趨勢相反，原因是壩體在105 m高程以下有1∶0.1的倒懸，庫水位較低時，壩體尤其是壩頂及接近壩頂?shù)牟课幌蛏嫌蝺A斜，產(chǎn)生向上游的位移，導致裂縫開度增大，因此低水位工況對裂縫變形不利。

統(tǒng)計回歸模型的裂縫開度(SCMOD)擬合過程線如圖8所示。由圖8可知，該測點的測值整體呈年周期變化，裂縫開度主要受溫度變化影響，溫度較低時開度較大，溫度較高時開度較小，每年的裂縫開度最大值一般在溫度較低的1月份或12月份出現(xiàn)，最小值一般在溫度較高的6—8月份出現(xiàn)。且統(tǒng)計回歸模型整體上能夠反映測值波動規(guī)律，但極值區(qū)域的擬合精度仍有待提高。

圖7 裂縫開度年均值過程線與庫水位年均值過程線Fig.7 Correlation line of SCMOD annual average and reservoir water level annual average

圖8 裂縫開度的統(tǒng)計回歸模型擬合過程線Fig.8Fitting results of SCMOD by the MLR model

這里，利用統(tǒng)計回歸預測模型式(17)來預測2012年7月17日至2013年7月18日的裂縫開度值。再采用基于Legendre多項式的殘差時間序列預測算法修正殘差序列，得到了統(tǒng)計回歸-Legendre多項式組合模型的裂縫開度預測過程線，如圖9(a)所示。為了說明組合模型預測效果的改進，在圖9(a)中另外繪制了采用統(tǒng)計回歸模型得到的裂縫開度預測過程線，以及裂縫開度實測過程線?？梢园l(fā)現(xiàn)，組合模型的預測精度改善明顯，特別是對于突變處和極值區(qū)域的預測。

圖9(b)給出了統(tǒng)計回歸模型和統(tǒng)計回歸-Legendre組合預測模型與實測裂縫開度之間的殘差過程線?？梢园l(fā)現(xiàn)，組合模型的殘差整體小于統(tǒng)計回歸模型的殘差，且突變處和極值區(qū)域的殘差波動更為平順，表現(xiàn)出良好的魯棒性。組合模型的歸一化均方根誤差為0.032，預測精度顯著提高。

(a) 裂縫開度預測

(b) 殘差過程線

圖9 MLR模型和MLR-Legendre組合模型的裂縫開度預測結(jié)果和殘差過程線

Fig.9Prediction ofSCMODand residuals by MLR model and MLR-Legendre model

5 結(jié) 語

混凝土壩裂縫開度監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列存在混沌成分。本文將基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法應用于混凝土壩的裂縫開度監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列分析。針對統(tǒng)計回歸模型在小樣本建模時的不足以及預測模型未考慮殘差項的兩個問題進行改進。主要得出以下結(jié)論：

(1) 針對小樣本容量的觀測數(shù)據(jù)時間序列，提出了基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法的單步預測模型。解決了統(tǒng)計回歸模型無法對小樣本容量的觀測數(shù)據(jù)時間序列建立有效的統(tǒng)計回歸模型的問題。并結(jié)合陳村重力拱壩第18號壩段的105 m高程裂縫開度測值序列進行了算例驗證，結(jié)果表明單步預測模型的預測效果良好。

(2) 提出了統(tǒng)計回歸-Legendre多項式組合模型。首先利用統(tǒng)計回歸模型分離出確定性分量(如水壓分量、溫度分量、時效分量等)，再采用基于Legendre多項式的RLS自適應預測算法處理殘差時間序列。解決了單一統(tǒng)計回歸模型缺少對殘差序列的考慮而導致預測精度較差的問題。陳村重力拱壩第18號壩段的105 m高程裂縫開度預測分析表明，該組合模型顯著提高了擬合和預測精度。