帶有自由邊界條件的反應擴散方程描述的競爭模型

蔡靜靜, 周詩雨

(上海電力學院 數(shù)理學院, 上海 201300)

種群競爭模型的研究一直備受關注[1-6]。文獻[1-2]研究了一般的種群競爭模型,并對平衡點進行了穩(wěn)定性分析,文獻[2]分析了平衡點的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性。文獻[3]研究了一類捕食與被捕食的食物鏈系統(tǒng)的關系,研究了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性,得到了不同條件下兩物種生存之間的變化關系。他們使用的模型都是常微分方程組,通過分析特征根(或者說特征根實部)的符號來分析平衡點的穩(wěn)定性,進而得到種群的生存或死亡的結(jié)論。在自然界中,有些種群向另一個種群的生存區(qū)域入侵時,入侵種群的生存區(qū)域是隨時間變化的(通常被稱為“自由邊界”),所以我們考慮的是自由邊界問題,使用的是反應擴散方程組。

本文考慮的是兩種種群競爭模型,假設A種群在半空間中生存,B種群從一側(cè)入侵A種群,研究何種狀態(tài)下B種群能在A種群的生存空間中存活,以及此時B種群的生存區(qū)域,也分析何種狀態(tài)下B種群入侵失敗。

1 競爭模型的解的有界性

本文主要研究帶有自由邊界條件的反應擴散方程組解的漸近行為,即

(1)

式中:h(t)——自由邊界,h(0)=h0>0;

u(t,x)——種群A的密度;

v(t,x)——種群B的密度;

a1,a2——兩種群的內(nèi)增長率;

c1,b2——內(nèi)部競爭系數(shù);

b1,c2——外部競爭系數(shù)。

對于自由邊界h(t),[0,h(t)]為種群A在t時刻所占領的區(qū)域。種群A的初始密度為u(0,x)=u0(x),x∈[0,h0];種群B的初始密度為v(0,x)=v0(x),x∈(0,∞),種群B的生存區(qū)域為半空間(0,+∞),現(xiàn)在種群A向半空間中傳播,我們主要考慮種群A是否能傳播成功。

定理1式(1)存在唯一解且一致有界,即對所有t>0,存在兩個常數(shù)M1和M2,使得

另外,存在與t無關的常數(shù)M3>0,使得

0

證 明設u1(t)是式(2)的解,即

(2)

則由常微分方程的知識可知

由比較原理得到

u(t,x)≤u1(t),t>0,0

于是

又因為v(t,x)滿足

所以

最后,構(gòu)造二次函數(shù)

U(t,x)=M1[2M(h(t)-x)-M2(h(t)-x)2]

直接計算可以得到

Ut=2M1M(1-Mh(t)+M)

Uxx=-2M1M2

U(t,h(t))=0=u(t,h(t))

取M充分大,可以證明

u(t,x)≤U(t,x),t>0,

由數(shù)學分析知識可知,對所有的t≥0有

-ux(t1,h(t))≤-Ux(t,h(t))=2MC

所以,h′(t)=-ux(t,h(t))≤2MC,t>0。

2 弱競爭

這里主要考慮種群A是弱競爭者的情形,即假設

(3)

下面證明若競爭者傳播失敗,原來的種群B戰(zhàn)勝競爭者而永遠生存下去。

定理2若式(3)成立且v0≠0,則

證 明首先,由上述分析可知

同樣的,可證

(4)

從而v(t,x)滿足

令v1(t,x)為式(5)的解,即

(5)

則有

根據(jù)比較原理可知,當時間很大時,存在t2,當t>t2時,

此時,u和v滿足

考慮由式(6)來構(gòu)造上解和下解,進而分析解的漸近行為,即

(6)

再由比較原理可知

u(t,x)

因此

3 強競爭

這里主要考慮種群A入侵種群B,但種群A是強競爭者,即

(7)

與以往常微分方程組描述的競爭模型不同的是,這里得到的都是二分性(二擇一)的結(jié)論。

定理3設式(7)成立,(u,v,h)是式(1)的解,且v0≠0,則有下面的二分性結(jié)果:

證 明一是傳播現(xiàn)象的證明。由定理1可知

(8)

從而可知,對于充分大的正常數(shù)L,存在tL>t2,使得

于是u和v滿足

為了分析u和v的漸近行為,先考慮一個常微分方程組

則

u(t,x)≥z(t),v(t,x)≤w(t)

而由經(jīng)典的常微分方程競爭模型可知

再結(jié)合式(8)得到

先考慮常微分方程

可知

再由比較原理可知,v(t,x)≥w(t)。

結(jié)合ε的任意性可知

(9)

由式(8)和式(9)可知

4 結(jié) 語

本文利用帶有自由邊界條件的反應擴散方程研究了種群的強競爭和弱競爭現(xiàn)象。結(jié)果表明,無論種群的初始密度有多小,種群都會生存且生存區(qū)域不變,顯然本文的結(jié)論更符合實際現(xiàn)象。