帶形狀參數(shù)的雙三次G1連續(xù)DP曲面

李尚蔚，金虹媛，程曉旭

曲面拼接問題是曲線曲面設(shè)計(jì)的一個(gè)基本問題.經(jīng)典的曲線曲面包括Bezier曲面、NURBS曲面等，英國(guó)幾何設(shè)計(jì)專家Ball提出一種有理三次曲線，被稱為Ball曲線.該曲線有類似于Bezier曲線的一些性質(zhì)，且在保形上以及在求值和升降階計(jì)算上優(yōu)于同次Bezier曲線；進(jìn)一步研究結(jié)果有 Wang-Ball曲線［1］和 Said-Ball曲線［2］，前者雖然具有線性計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度，但卻不是全正基（Normalized Totally Positive，NTP）生成的，后者雖然是由NTP基生成的，但其計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度卻不是線性的，但是有理分式的引入又帶來了諸多缺陷，如計(jì)算復(fù)雜、求積分不方便、求導(dǎo)次數(shù)增加等［3］.基于該問題，Delagado和Pena提出了一種新型參數(shù)曲線［4］，被學(xué)界稱為DP曲線，該曲線不但在數(shù)值計(jì)算上具有穩(wěn)定性、在算法上具有線性的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性而且是由具有保形性的NTP基生成的；但是DP曲線缺少形狀參數(shù)調(diào)整的功能.為了達(dá)到調(diào)整形狀的效果，可通過設(shè)置形狀參數(shù)來構(gòu)建形狀可控的曲線曲面［5］.本文以帶形狀參數(shù)的三次DP曲線為基礎(chǔ)，運(yùn)用張量積方法構(gòu)造帶形狀參數(shù)的DP曲面，推導(dǎo)出G1連續(xù)條件，給出了一個(gè)可以自由調(diào)節(jié)曲面的方法，使曲面調(diào)節(jié)更為靈活.

1 帶形狀參數(shù)的DP曲面

1.1 帶形狀參數(shù)的雙三次DP曲面的定義

定義1 給定4個(gè)控制頂點(diǎn)Pi∈Rn（n=2，3；i=0，1，2，3），對(duì)于t∈［0，1］，定義曲線為含形狀參數(shù)α，β的三次擴(kuò)展DP曲線，簡(jiǎn)稱帶形狀參數(shù)三次DP曲線［5］.

定義2三次多項(xiàng)式基函數(shù)Di(t)

其中，參數(shù)α∈［-0.5，1］，β∈［-1，1］，當(dāng)參數(shù)α=0，β=0，該曲線退化為三次DP曲線.

1）曲線W2(t)、W1(t)與滿足G0拼接，位置連續(xù)的充要條件W1(1)=W2(0)，即b3=p0.

2）曲線G1連續(xù)條件，若兩條帶形狀參數(shù)的三次DP曲線W2(t)、W1(t)不但滿足位置連續(xù)，而且在拼接點(diǎn)處具有同向的一階導(dǎo)矢，即給定 4×4 個(gè)控制網(wǎng)格頂點(diǎn)Pi,j（i,j=0,1,2,3），運(yùn)用張量積方法構(gòu)造帶兩個(gè)定義3參數(shù)的雙三次DP曲面

是 [0,1]×[0,1]上的帶參數(shù)DP曲面，式（2）中形狀參數(shù)分別是α，β，ω，μ.α,ω∈ [-0.5,1]，β,μ∈[-1,1]，其中，Di,3(u;α,β)，Dj,3(v;ω,μ)是（1）中所定義的基函數(shù).

1.2 帶形狀參數(shù)的雙三次DP曲面的G1拼接條件

帶形狀參數(shù)的雙三次DP曲面為

首先要求滿足G0連續(xù)條件，即

然后要求滿足G1連續(xù)條件，即要求曲面片在拼接邊界處有公共的切平面，曲面片在邊界上的法矢方向是連續(xù)的.因此，

式中，q為大于0的常數(shù).

計(jì)算曲面片的跨界切矢，并將式（3）代入得

因此，當(dāng)2張相鄰的帶參數(shù)三次DP曲面W(u,v;α1,β1,ω1,μ1)與T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)滿足以下條件且同時(shí)成立時(shí):

W(u,v;α1,β1,ω1,μ1)與T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)在公共邊界處滿足G1連續(xù)拼接條件.

1.3 帶形狀參數(shù)的雙三次G1DP曲面拼接步驟

以帶參數(shù)三次DP曲面u-u方向的G1連續(xù)拼接為例，G1連續(xù)拼接步驟為:

步驟1:任意給定一個(gè)初始曲面W(u,v;α1,β1,ω1,γ1)和控制網(wǎng)格頂點(diǎn)Pi,j.

步驟3:任意給定形狀參數(shù)ω2和常數(shù)f＞0，然后在步驟2的基礎(chǔ)上根據(jù)（4）可得出曲面和控制網(wǎng)格頂點(diǎn)

步驟 4:任意給定曲面T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)剩余的控制頂點(diǎn)和（i=0，1，2，3）形狀參數(shù)可以隨意給出，這樣W(u,v;α1,β1,ω1,μ1)與T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)在公共邊界處實(shí)現(xiàn)的G1連續(xù)拼接.

帶形狀參數(shù)的雙三次DP曲面光滑拼接效果圖如圖1所示.

圖1 帶參數(shù)三次DP曲面G1連續(xù)拼接

2 數(shù)值實(shí)例

圖2 函數(shù)z=sin的圖形

圖3給出了“搖椅”曲面造型的實(shí)例.在工業(yè)設(shè)計(jì)上，分別生成搖椅底部和搖椅靠背兩部分，圖3（a）搖椅底部是以256個(gè)點(diǎn)為基礎(chǔ)構(gòu)造DP曲面，圖3（b）搖椅靠背是以384個(gè)點(diǎn)為基礎(chǔ)構(gòu)造DP曲面，然后進(jìn)行拼接形成圖，圖3（c）為搖椅曲面.

圖4給出了“床單平鋪面”曲面造型的實(shí)例.分別以床單的4個(gè)部分面，總計(jì)4096個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造DP曲面，還原床單平鋪圖.

圖3 搖椅曲面造型圖

圖4 床單平鋪圖

3 結(jié)論

本文構(gòu)造了一種帶形狀參數(shù)的三次DP曲面，分析了該曲面的基本性質(zhì)，該曲面不僅保留了Bezier曲面的類似的形狀，同時(shí)滿足了具有形狀可調(diào)性，而且研究了滿足一定條件時(shí)，曲面可達(dá)到G1連續(xù)，數(shù)值實(shí)例表明了本文方法的有效實(shí)用性，可以用來設(shè)計(jì)不同的曲面.