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    旋出等邊三角形和等腰直角三角形

    2019-05-05 01:07:12趙瑩銀
    初中生世界·九年級 2019年4期
    關(guān)鍵詞:繞點逆時針端點

    趙瑩銀

    一條線段繞端點旋轉(zhuǎn)90°,會得到一個等腰直角三角形,而繞端點旋轉(zhuǎn)60°,會得到一個等邊三角形。這樣得到的等腰直角三角形和等邊三角形,由于題目中沒有直接交代,一些同學在解題的時候往往容易忽略,找不到解題思路。

    一、發(fā)現(xiàn)隱含的等邊三角形

    例1 如圖1,在等邊△ABC中,AC=9,點O在AC上,且AO=3,點P是AB上的一動點,連接OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD,要使點D恰好落在BC上,求AP的長。

    【解析】乍一看,這道題有兩個條件:

    (1)一個等邊三角形——△ABC;(2)兩條相等的線段——OD=OP。

    但單憑這兩個條件卻不容易解決問題。事實上,由于OD=OP,∠DOP=60°,我們可以得知△DOP也是等邊三角形,因此本題實際上是我們熟悉的一個特別簡單的圖形(如圖2)。

    在圖2中,△COD≌△APO≌△BDP,這樣,問題就很容易解決了。

    【點評】當一條線段繞著一個端點旋轉(zhuǎn)60°時,會得到一個等邊三角形。了解這一點,問題就會迎刃而解。

    例2 如圖3,邊長為6的等邊三角形ABC中,E是對稱軸AD上的一個動點,連接EC,將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC,連接DF。則在點E運動過程中,DF的最小值是。

    【解析】由例1可知,將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC后,△CEF是等邊三角形,因此考慮連接EF,這就得到一個雙等邊三角形的模型。等邊△CEF與等邊△ABC具有公共頂點,由八年級全等的知識很容易證得△ACE與△BCF全等。

    由于∠CAE的度數(shù)固定,是30°,根據(jù)全等三角形的對應角相等,可求得∠CBF=30°,所以點F始終在一條過點B,且與BC夾角為30°的直線上運動。這道題就轉(zhuǎn)化為點D到直線的最短距離問題,一般用垂線段最短和30°所對的直角邊是斜邊可解決問題。

    【點評】本題中“△CEF是等邊三角形”是一個隱含的條件,發(fā)現(xiàn)這個隱含條件對于尋找本題的解題思路特別重要。

    二、線段旋轉(zhuǎn)90°,得等腰直角三角形

    例3 如圖4,等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上一點,連接BD,將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,DE與AB相交于點F,過點D作DG⊥AB,垂足為點G。若EF=5,CD=[22],求△BDG的面積。

    【解析】本題中已知一個等腰直角三角形(△ABC),還隱含著另一個等腰直角三角形,那就是線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段DE后,得到的△BDE,如圖5。

    由兩個等腰直角三角形,很容易證明△BCD與△BAE相似,即可求出AE=4。在Rt△AEF中,由于EF=5,根據(jù)勾股定理,可求得AF=3。然后利用△AEF∽△GDF,△AEF∽△DBF,設(shè)GF=3k,可得DF=5k,DG=4k,BD=[203k],由于DE=5k+5,所以[203k]=5k+5,從而求出k的值,也就求出了DG和BG的長。利用三角形的面積公式可求出△BDG的面積。

    【點評】解決本題要發(fā)現(xiàn)隱含的等腰直角△BDE,得到一個雙等腰直角三角形的相似模型,求出∠BAE=90°,然后證得△AEF∽△GDF,△AEF∽△DBF。因此,發(fā)現(xiàn)隱含的等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵。

    (作者單位:江蘇省海安市墩頭鎮(zhèn)仇湖初級中學)

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