反比例函數(shù)應(yīng)用舉粹

吳曉剛

中考對反比例函數(shù)的應(yīng)用這塊內(nèi)容的要求是：結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式，能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題。下面是生活中的反比例函數(shù)原型，希望這些試題能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

例1 （2017·浙江麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）。根據(jù)經(jīng)驗，v、t的一組對應(yīng)值如下表：

[v（千米/小時） 75 80 85 90 95 t（小時） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 ]

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達式。（2）汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由。（3）若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍。

【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)過簡單推理可判斷v是t的反比例函數(shù)，運用待定系數(shù)法求出相應(yīng)的函數(shù)表達式，再驗證其余幾種特殊情況。有了函數(shù)表達式，根據(jù)行駛速度v即可求出行駛時間t，反之，根據(jù)行駛時間t即可求出行駛速度v，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即能解決問題。

解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可畫出v關(guān)于t的函數(shù)圖像（如圖1所示），根據(jù)圖像形狀，選擇反比例函數(shù)模型進行嘗試。設(shè)v與t的函數(shù)表達式為v=[kt]，∵當(dāng)v=75時，t=4，∴k=75×4=300，∴v=[300t]。將點（3.75，80），（3.53，85），（3.33，90），（3.16，95）的坐標(biāo)代入v=[300t]驗證即可。（2）∵汽車行駛速度不超過100千米/小時，當(dāng)v=100時，t=[300v]=3，則t≥3。7.5+3=10.5>10，∴汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達杭州市場。（3）由反比例函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)3.5≤t≤4時，75≤v≤[6007]。

【點評】若函數(shù)中有兩個變量，這兩個量符合的函數(shù)表達式是其最本質(zhì)的關(guān)系。

例2 （2018·四川樂山）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜。如圖2是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段。請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）求這天的溫度y與時間x（0≤x≤24）的函數(shù)關(guān)系式。（2）求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度。（3）若大棚內(nèi)的溫度低于10℃，蔬菜會受到傷害。問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？

【解析】根據(jù)3段函數(shù)圖像的特點，可知分別對應(yīng)一次函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)，要求后兩段函數(shù)圖像的解析式，得先求B、C兩點的坐標(biāo)。要使蔬菜避免受到傷害，大棚內(nèi)的溫度不能低于10℃，找到反比例函數(shù)圖像上y=10對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)，其與關(guān)閉時刻的差就是最多可以關(guān)閉的時間。

解：（1）設(shè)線段AB解析式為y=k1x+b（k1≠0），將點（0，10）、（2，14）代入，解得[k1=2，b=10，]∴AB解析式為：y=2x+10（0≤x≤5）?！連在線段AB上，當(dāng)x=5時，y=20，∴B坐標(biāo)為（5，20），∴線段BC的解析式為：y=20（5≤x≤10）。設(shè)雙曲線CD解析式為：y=[k2x]（k2≠0），∵C（10，20），∴k2=200。∴雙曲線CD解析式為：y=[200x]（10≤x≤24）;（2）由（1）得，恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20℃;（3）把y=10代入y=[200x]中，解得x=20，20-10=10，∴恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時。

【點評】分段函數(shù)實際上是對這個函數(shù)分類討論時的不同結(jié)論。本題綜合考查了3類函數(shù)的圖像與性質(zhì)，抓住函數(shù)圖像上的特殊點、臨界點是解題的關(guān)鍵。

例3 （2018·河北）圖3是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=[kx]（x≥1）交于點A，且AB=1米。運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置。忽略空氣阻力，實驗表明：M、A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t=1時h=5，M、A的水平距離是vt米。（1）求k，并用t表示h;（2）設(shè)v=5，用t表示點M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，并求y與x的關(guān)系式（不寫x的取值范圍），及y=13時運動員與正下方滑道的豎直距離;（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒，當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍。

【解析】本題是反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了兩類函數(shù)的圖像及其性質(zhì)。根據(jù)題意，結(jié)合圖像可分別得到x、y與t的函數(shù)關(guān)系式，借助“橋梁”t可求得y與x的關(guān)系式。最后根據(jù)條件分別列出方程、不等式即可。

解：（1）將點A（1，18）代入y=[kx]得：k=18，設(shè)h=at2，將t=1，h=5代入，得a=5，∴h=5t2。（2）∵v=5，AB=1，∴x=5t+1?！遠(yuǎn)=5t2，OB=18，∴y=

-5t2+18。由x=5t+1，得t=[15]（x-1），∴y=[-15]（x-1）2+18。當(dāng)y=13時，x=6或-4（舍）。把x=6代入y=[18x]，得y=3。∴運動員與正下方滑道的豎直距離是13-3=10（米）;（3）把y=1.8代入y=

-5t2+18，得t=±1.8（負(fù)值舍去），x=5×1.8+1=10?！嗉诪椋?0，1.8）恰好落在滑道y=[18x]上。此時，乙的坐標(biāo)為（1+1.8v乙，1.8）。由題意得1+1.8v乙-10>4.5，∴v乙>7.5。

【點評】本題以滑道（反比例函數(shù)圖像）為載體，研究運動員滑行路線（二次函數(shù)圖像）上的特殊點。3個變量的轉(zhuǎn)化是難點，需要同學(xué)們運用數(shù)形結(jié)合，抓住幾個關(guān)鍵點，建立數(shù)學(xué)模型。

（作者單位：江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校）