一種伺服系統(tǒng)兩自由度復(fù)合控制器設(shè)計(jì)的新方法

劉紅俐，朱其新，朱永紅，張國平

（1.蘇州科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，蘇州 215009；2.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，景德鎮(zhèn) 333001；3.深圳市大族機(jī)器人有限公司，深圳 518058）

0 引言

伺服系統(tǒng)又稱隨動系統(tǒng)，是用來精確地跟隨或復(fù)現(xiàn)某個(gè)過程的反饋控制系統(tǒng)。伺服系統(tǒng)使物體的位置、方位、狀態(tài)等輸出被控量能夠跟隨給定值的任意變化的自動控制系統(tǒng)。伺服系統(tǒng)最初用于國防軍工，如火炮的控制，船艦、飛機(jī)的自動駕駛，導(dǎo)彈發(fā)射等，后來逐漸推廣到國民經(jīng)濟(jì)的許多部門，如自動機(jī)床、無線跟蹤控制等[1～3]。

在過去幾十年中，伺服控制被國內(nèi)學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究。文獻(xiàn)[4]提出了一種交流永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的魯棒控制器的設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)[5]提出了交流永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的非線性控制器的設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)的交流永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)內(nèi)模控制器的設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[7]提出了應(yīng)用于磁盤驅(qū)動的伺服系統(tǒng)的前饋解耦控制器的設(shè)計(jì)。但已發(fā)表的伺服控制文獻(xiàn)大多討論的是伺服系統(tǒng)的單自由度控制。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對控制系統(tǒng)的要求也越來越高，不僅要求控制系統(tǒng)有很高的跟隨性能，而且要求控制系統(tǒng)有很強(qiáng)的抗干擾能力。在工業(yè)控制領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的PID控制器等常規(guī)控制器，都只能設(shè)定一組控制器參數(shù)，屬于一自由度控制器。一般來說，如果按干擾抑制特性最優(yōu)來整定參數(shù)，則系統(tǒng)的跟隨性能就會差；如果按跟隨性能來整定參數(shù)，則干擾抑制特性就會不令人滿意。所以常規(guī)控制器的設(shè)計(jì)通常采取折中或試湊的辦法解決。這樣一般能滿足大多數(shù)控制系統(tǒng)的控制要求，但對高性能伺服控制系統(tǒng)而言則難以滿足要求。為了解決常規(guī)控制器存在的問題，Horowitz在文獻(xiàn)[8]中提出了兩自由度控制器的思想。所謂兩自由度控制是指采用適當(dāng)?shù)姆椒?，找到兩族?dú)立的參數(shù)設(shè)計(jì)出兩個(gè)獨(dú)立的控制器，分別用來優(yōu)化系統(tǒng)的跟隨性能和干擾抑制特性。但兩自由度控制在很長一段時(shí)間沒有引起廣大研究者的足夠重視，直到1984年，在Horowitz的論文發(fā)表20年后，文獻(xiàn)[9]才深入研究了兩自由度PID控制器的優(yōu)點(diǎn)，之后在兩自由度PID控制器這一議題上又發(fā)表了較多論文[10]。

已發(fā)表的文獻(xiàn)在討論P(yáng)ID控制器的設(shè)計(jì)時(shí)，可分為兩類：一類是PID參數(shù)的整定，PID參數(shù)整定的方法適用于對動靜態(tài)性能要求不高的系統(tǒng)，但對高速高精度的伺服控制等場合，PID整定的方法不再適用；另一類是PID參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，該類方法比較復(fù)雜，優(yōu)化時(shí)間較長，而且不易被一般工程師所掌握[11]。針對現(xiàn)有PID控制器設(shè)計(jì)上的不足，本文提出一種基于極點(diǎn)配置的PID控制器設(shè)計(jì)的簡便的方法。據(jù)作者所知，基于極點(diǎn)配置的兩自由度控制器設(shè)計(jì)尚未見報(bào)道。受文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]的啟發(fā)，本文將極點(diǎn)配置的PID控制器設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于兩自由度伺服系統(tǒng)的控制器的設(shè)計(jì)中，詳細(xì)討論了前饋控制器和基于極點(diǎn)配置的PID反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。

1 伺服系統(tǒng)位置環(huán)對象的數(shù)學(xué)模型

伺服系統(tǒng)通常包含三環(huán)結(jié)構(gòu)，即電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)。要設(shè)計(jì)位置環(huán)的調(diào)節(jié)器，應(yīng)將速度環(huán)用其閉環(huán)傳函代替，但由文獻(xiàn)[1]可知，按典型Ⅰ型系統(tǒng)設(shè)計(jì)電流控制器和按典Ⅱ系統(tǒng)來設(shè)計(jì)速度環(huán)控制器，則速度還的閉環(huán)傳遞函數(shù)為一高階系統(tǒng)，此時(shí)位置控制器的設(shè)計(jì)十分復(fù)雜，所以應(yīng)對其作降階或簡化處理。從工程上講，可以應(yīng)用反映位置環(huán)主要特征的環(huán)節(jié)來等效。

當(dāng)位置環(huán)的截至頻率遠(yuǎn)小于速度環(huán)的截至頻率時(shí)，速度環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以等效為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)[1,12]，即：

速度的積分是位置，所以位置環(huán)對象的數(shù)學(xué)模型為：

其中K=Kve/Tve，α=1/Tve，K為位置環(huán)對象增益，α為位置環(huán)對象的阻尼系數(shù)。

2 兩自由度復(fù)合控制器的設(shè)計(jì)

2.1 不變性原理

兩自由度復(fù)合控制的控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中R(s)為系統(tǒng)給定，Y(s)為系統(tǒng)被控量，W0(s)為被控對象傳函，Wc(s)為系統(tǒng)控制器傳函，Wf(s)為前饋控制器傳函，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為：

圖1 復(fù)合控制的結(jié)構(gòu)圖

誤差傳函為：

2.2 控制器的設(shè)計(jì)

由不變性原理設(shè)計(jì)前饋控制器，即：

1）在分析電流環(huán)時(shí)，速度環(huán)的反電動勢被忽略，將電流環(huán)看成一個(gè)慣性環(huán)節(jié)只是一種近似。

2）實(shí)際的速度環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)是一高階對象，將其看成一個(gè)一個(gè)慣性環(huán)節(jié)也是一種近似。

3）在位置伺服的被控對象中沒有考慮伺服機(jī)械對象的共振模態(tài)。

所以要使伺服系統(tǒng)具有良好的動靜態(tài)性能，必須要精心設(shè)計(jì)前饋控制器和PID反饋控制器，前饋控制器可以按不變性原理設(shè)計(jì)。PID反饋控制器可以由極點(diǎn)配置的方式設(shè)計(jì)，由式(1)可知，位置伺服系統(tǒng)的被控對象為，在實(shí)際的伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，K可由系統(tǒng)分析估算得到或由參數(shù)辨識精確得到，α也可由參數(shù)辨識精確得到，但在不進(jìn)行參數(shù)辨識時(shí)α也可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接取值，α一般情況下在10～50之間取值便可。

由式(5)可知，前饋控制器由兩個(gè)純微分環(huán)節(jié)組成，這在物理上難以實(shí)現(xiàn)。但在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，可以在離散的狀態(tài)下近似實(shí)現(xiàn)。

PID控制器的傳遞函數(shù)可表示：

其中Kq，Ki，Kd分別為比例、積分和微分環(huán)節(jié)的系數(shù)。

在不包括前饋環(huán)節(jié)時(shí)，位置環(huán)的閉環(huán)傳函為：

由于閉環(huán)傳函的分母為3階，所以閉環(huán)系統(tǒng)有3個(gè)極點(diǎn)，可以將這3個(gè)極點(diǎn)配置在如圖2所示的位置上。

圖2 系統(tǒng)期望極點(diǎn)的位置圖

在圖2中，s1和s2為一對共軛極點(diǎn)，s3為一負(fù)實(shí)極點(diǎn)且：

其中ξ為阻尼系數(shù)，wn為無阻尼振蕩頻率，fnl為第三極點(diǎn)比例系數(shù)。即將位置閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母配置成，也即：

比較式(7)和式(9)可知：

易得：

另外：

在設(shè)計(jì)PID控制器之前，應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的動靜態(tài)性能要求和傳送部件的特性給出，wn取值越大，系統(tǒng)的響應(yīng)越快，但太大會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定；為保證系統(tǒng)具有的足夠的相角裕度，同時(shí)又具有較好的響應(yīng)速度，ξ一般在0.6～0.8之間取值，常取0.707；fnl一般在1左右取值。這樣由式(11)～式(15)便可計(jì)算出Kp，Ki，Kd，Ka和Kv。這樣便完成了PID控制器和前饋控制器的設(shè)計(jì)。

3 實(shí)驗(yàn)

一個(gè)半導(dǎo)體生產(chǎn)裝備中的伺服系統(tǒng)被用來驗(yàn)證本文的方法。實(shí)驗(yàn)中參數(shù)如下：系統(tǒng)的采樣頻率為2000Hz、伺服電機(jī)的極數(shù)是2、電機(jī)每一轉(zhuǎn)的編碼器的脈沖數(shù)為27200、編碼器的精度為1μ m/count，K=3055，α=30，ωn=90π，ξ=0.707，fnl=0.5。在實(shí)驗(yàn)中用了S型加減速運(yùn)動軌跡指令。伺服系統(tǒng)的位置跟蹤響應(yīng)曲線如圖3所示，位置誤差曲線如圖4所示。由圖3和圖4可知，該復(fù)合控制器具有令人滿意的動態(tài)和靜態(tài)性能。

圖3 伺服系統(tǒng)的位置跟蹤曲線

圖4 伺服系統(tǒng)的位置誤差曲線

4 結(jié)論

本文提出了一種兩自由度控制器設(shè)計(jì)的新方法，前饋控制器通過不變性原理來設(shè)計(jì)，反饋控制器通過極點(diǎn)配置的方法來設(shè)計(jì)，并詳細(xì)介紹了基于極點(diǎn)配置的PID控制器的設(shè)計(jì)方法，同時(shí)將該控制器應(yīng)用于伺服系統(tǒng)的控制中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該兩自由度復(fù)合控制器具有令人滿意的動態(tài)和靜態(tài)性能。本文只介紹了二階對象的PID控制器的極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)方法，至于高階對象的PID控制器的極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)方法有待于進(jìn)一步研究。