一類擬凹積分的等價定義

張承坤，譚潯曉，徐鶴萍，李軍

(中國傳媒大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024)

1 引言

2007年Lehrer在文獻[1]中引入了一類基于普通加法和乘法運算且與一個單調(diào)測度(也稱為容度)相聯(lián)系的新型積分——凹積分的概念。這是一類重要的非線性積分，作為泛函它是凹的，當(dāng)考慮的單調(diào)測度為可加測度時，這一類積分則退化為勒貝格積分，因此，它是經(jīng)典勒貝格積分的推廣。有關(guān)凹積分的相關(guān)研究可參見文獻[2-4]。

凹積分的原始定義是通過滿足一定條件的泛函族描述的[1-3]，即在一個可測空間(X，A)上，一個可測函數(shù)f在X上對應(yīng)于一個容度v的凹積分定義為所有滿足凹性和正齊次性的泛函H在f取值的下確界，且每個泛函H須滿足H(XE)≥v(E)，XE表示可測集E的特征函數(shù)。明顯地，如此定義的積分作為泛函是凹的。類似于下勒貝格積分的定義，Lehrer和Teper利用簡單函數(shù)從下方逼近可測函數(shù)的方式對上述凹積分給出了一個等價定義[2-3]。這個等價定義的優(yōu)點在于當(dāng)我們研究凹積分的性質(zhì)時可以參照下勒貝格積分的討論，且凹積分、Choquet積分[5]和泛積分(Pan-integral)[6-7]這三類重要的非線性積分納入到了一個統(tǒng)一的研究框架下[4，8-9]。

從上述凹積分的等價定義我們知道它與一對普通運算(+，·)(即普通的算術(shù)加法和乘法運算)和一個單調(diào)測度相聯(lián)系。類似于泛積分的討論[7]，2011年Mesiar等人[10]將基于普通加法和乘法運算(+，·)的凹積分推廣到了基于泛加和泛乘運算(⊕，?)的情形，定義了擬凹積分(pseudo-concave integral)。當(dāng)(⊕，?)=(+，·)時，擬凹積分退化為Lehrer的凹積分。Mesiar等人的擬凹積分定義與Lehrer給出的凹積分的等價定義類似，即是利用了擬簡單函數(shù)從下方逼近可測函數(shù)的方式給出的[10]。

本文中，我們將進一步討論擬凹積分的性質(zhì)。基于一對泛加和泛乘運算(⊕，?)，我們將引入一個泛函的擬凹性和擬正齊性的概念并給出了它們的一些基本性質(zhì)。利用一族具有單調(diào)性、擬凹性和正齊性泛函給出了一類基于(⊕，·)運算的擬凹積分的等價表述，即給出以泛函形式表述的等價定義。從而，基于算術(shù)加法和乘法運算的凹積分的相關(guān)結(jié)果得到了進一步推廣。我們還將討論一個單調(diào)測度關(guān)于擬凹積分的完全均衡性，證明基于一個單調(diào)測度v的擬凹積分與對應(yīng)于這個單調(diào)測度的最優(yōu)測度ν⊕[11]的擬凹積分是一致的。注意到任何一個單調(diào)測度v的最優(yōu)測度ν⊕是超可加的[11]，它比原單調(diào)測度有更好的性質(zhì)，因此，我們得到的結(jié)果為進一步研究凹積分提供了有利條件。

本文中出現(xiàn)的與單調(diào)測度(或容度、或非線性概率)和非線性積分的相關(guān)的概念和符號可參見文獻[12-16]。

2 預(yù)備知識

(1)v(φ)=0；

(2)A?B?v(A)≤v(B)。

特別的，當(dāng)v(X)=1時，v稱為一個容度。

(1)a⊕b=b⊕a；

(2)(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c);

(3)a≤b，c≤d?a⊕c≤b⊕d;

(4)a⊕0=0⊕a=a;

(5)an→a，bn→b?an⊕bn→a⊕b。

則稱⊕為泛加運算。

(1)a?b=b?a；

(2)(a?b)?c=a?(b?c)；

(3)a?0=0?a=0；

(4)a≤b，c≤d?a?c≤b?d；

(5)(a⊕b)?c=(a?c)⊕(b?c)；

(6)存在e∈R+，使得e?a=a?e=a，e稱為一個單位元；

(7)若極限liman和limbn極限存在且有限，則lim(an+bn)=liman+limbn，則稱?為泛乘運算。在本文中，e表示一個固定的單位元。

稱χE為E的擬特征函數(shù)，或簡稱為E的特征函數(shù)。下面，我們來回顧凹積分的定義。

以下性質(zhì)給出了凹積分的一個等價定義。

由以上性質(zhì)即可得知：當(dāng)v是可加測度時，凹積分則退化為一般的抽象勒貝格積分。

3 擬凹積分

我們知道Lehrer定義的凹積分是基于一個容度并和一對運算即算數(shù)加法和乘法(+，·)相聯(lián)系的，Mesiar等人[10]將凹積分的定義進一步推廣到了泛加和泛乘(⊕，?)的情形，給出了擬凹積分的定義。

類似于Lehrer對凹積分的討論，下面我們討論定義2.6中擬凹積分定義的泛函表述形式。

我們引入以下概念：

由定義可以看出，擬凹泛函是擬超正齊次的，即對于任意f∈F，α∈[0，1]，有H(α?f)≥α?H(f)，一般情況下，上述不等式不能變成等式。

H(f⊕g)≥H(f)⊕H(g)，則稱H是基于(⊕，?)擬超可加泛函，簡稱為H是擬超可加泛函。

性質(zhì)3.1 若泛函H滿足擬正齊次性和擬超可加性，則H是擬凹泛函。

則

于是

性質(zhì)證畢。

下面，我們考慮特殊的交換半環(huán)(R+，⊕，·)，即一對擬加法和普通乘法運算，我們將看出基于(⊕，·)的擬凹積分可由基于(⊕，·)的擬凹泛函來刻畫。

證明：我們首先證明

其中泛函H滿足定理中所述的條件。

當(dāng)α>0時，

由擬超可加性和正齊次性，有

≥e·v(A)

=v(A)。

(1)

=H(h)⊕H(g)。

且

由定義3.1可知

由H的任意性，我們得到

(2)

由(1)和(2)兩個不等式，即得

定理證畢。

4 擬凹積分的均衡性

本節(jié)我們討論擬凹積分關(guān)于一個容度v的完全均衡性。

對于勒貝格積分或Choquet積分(分別考慮μ為勒貝格測度或容度)，我們有

若一個單調(diào)測度v滿足

性質(zhì)4.1 我們有以下性質(zhì)：

證明：(1)由定義可得。

下面我們證明相反的不等式。

那么

即

性質(zhì)4.1證畢。

下面我們討論基于單調(diào)測度v的擬凹積分與對應(yīng)于v的最優(yōu)測度ν⊕的擬凹積分之間的關(guān)系。

最優(yōu)測度有以下基本性質(zhì)[11]，我們陳述如下：

(3)v≤v⊕；

我們可得以下性質(zhì)：

結(jié)合性質(zhì)4.1(2)即可得結(jié)論。

對于泛積分我們有類似的結(jié)果[16]。

5 結(jié)論

本文中，我們利用一族具有單調(diào)性、擬凹性和正齊性泛函給出了一類基于(⊕，·)運算的擬凹積分的等價定義(定理3.1)，推廣了與凹積分相關(guān)的結(jié)論。特別地，基于運算對(⊕，·)的Shilkret積分是一類特殊的擬凹積分，這樣我們得到了Shilkret積分的泛函表述的等價定義。我們還討論了一個單調(diào)測度關(guān)于擬凹積分的完全均衡性(性質(zhì)4.1)，證明了基于一個單調(diào)測度v的擬凹積分與對應(yīng)于這個單調(diào)測度的最優(yōu)測度ν⊕的擬凹積分是一致的(性質(zhì)4.2)。因為任何一個單調(diào)測度的最優(yōu)測度是超可加的[11]，因此，我們在討論凹積分的一些性質(zhì)時僅考慮超可加測度的情形即可，這為進一步研究凹積分提供了有利條件。

在我們的討論中，我們僅僅考慮了一類特殊的運算(⊕，·)，即加法運算為一般的泛運算“⊕”，乘法運算僅考慮了通常的算術(shù)乘法“·”。我們尚不知對于一般的運算(⊕，?)，定理3.1是否成立，這是我們要進一步研究的問題。