基于非線性維納過程的末制導(dǎo)炮彈控制艙光耦貯存壽命評定

張烜工，穆希輝

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 彈藥工程系， 石家莊 050003； 2.陸軍研究院特種勤務(wù)研究所， 石家莊 050003)

為了準(zhǔn)確評定末制導(dǎo)炮彈控制艙光電耦合器的貯存壽命，選用了10枚樣品，對其進(jìn)行了四應(yīng)力步進(jìn)加速退化試驗。以光耦的漏電流參數(shù)為刻畫對象，對其進(jìn)行加速退化建模，進(jìn)而評估其長儲可靠性。現(xiàn)階段來看，主流的性能退化建模有三種方法：性能退化軌道方法、退化量分布方法以及隨機過程方法[1]。前兩種方法較為簡單，應(yīng)用最為廣泛且技術(shù)成熟。然而這兩者的缺陷在于忽略了樣品在退化過程中具有的隨機性。相比退化軌道方法或者退化量分布方法，基于隨機過程的方法考慮到退化過程具有的隨機性和動態(tài)性特征，能夠更好地反映環(huán)境等因素對產(chǎn)品性能的綜合影響，能更好地描述產(chǎn)品的真實退化過程。目前常用來構(gòu)建退化模型的隨機過程主要有三個：維納過程、伽馬過程以及復(fù)合泊松過程[2]。維納過程和伽馬過程的主要區(qū)別在于前者可以描述退化增量可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況，而伽馬過程要求退化增量非負(fù)。復(fù)合泊松過程一般用來離散退化過程建模。三者中，維納過程應(yīng)用最為廣泛?？紤]到光耦的試驗數(shù)據(jù)退化增量有可能為負(fù)的情況，因此確定使用維納過程對光耦的漏電流退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。

1 基于隨機變量的加速模型的構(gòu)建

1.1 漏電流維納過程建模面臨的重點

假設(shè)光耦漏電流的退化過程可以用維納過程進(jìn)行描述：

X(t)=x0+λt+σWW(t)

(1)

式(1)中，x0是漏電流的初值；λ是漂移參數(shù)，表征退化速度；σW是擴散參數(shù)；W(t)是標(biāo)準(zhǔn)維納過程。

漏電流隨時間變化的散點連線如圖1所示。維納過程在應(yīng)用過程中使用廣泛，但是面對漏電流的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模時，需要對以下兩個重點問題進(jìn)行研究：(1)如何描述不同光耦漏電流退化的個體性差異；(2)漏電流非線性數(shù)據(jù)的處理。

圖1 漏電流隨時間變化的散點連線

同一批光耦，由于在制造工藝、設(shè)計誤差以及環(huán)境、材料等因素的影響，表現(xiàn)出漏電流的退化速率不一致的個體性差異。在正式試驗過程中，由圖1可以看出，這種現(xiàn)象尤為突出。厲海濤[3]在對衛(wèi)星動量輪進(jìn)行可靠性評估時，將x0和λ均看作隨機變量，進(jìn)而對動量輪進(jìn)行可靠性評估。但是動量輪的數(shù)據(jù)是在非加速試驗條件下搜集的，亦即為實時監(jiān)測數(shù)據(jù)，并不涉及加速問題。Wang[4]和郭波[5]將λ及σW都看成隨機變量，但是所假定的分布類型并未得到檢驗，而且其給出的EM算法計算復(fù)雜，并不適合推廣。蔡忠義[6]和唐圣金[7]將λ看成服從正態(tài)分布的隨機變量，給出了考慮個體差異的壽命模型，既便于計算又達(dá)到較好的模型擬合效果。目前關(guān)于非線性數(shù)據(jù)的處理主要是采用時間尺度變換模型，時間尺度變換模型最早由Whitmore[8]提出，諸多文獻(xiàn)采用其模型，實例證明其具有不錯的實用性[9]。

基于以上的分析，將漏電流退化數(shù)據(jù)進(jìn)行時間尺度變換，使漏電流的非線性數(shù)據(jù)變?yōu)榫€性數(shù)據(jù)，然后將λ進(jìn)行隨機化處理，構(gòu)建考慮個體差異的加速退化模型，再采用兩步極大似然估計方法對未知參數(shù)進(jìn)行估計。由于x0與失效閾值相比幾乎可以忽略不計，并且x0較為集中，僅有一個點游離于集中區(qū)域之外，因此將x0取均值，而不是把x0看成隨機變量，如果將其看成隨機變量，不僅沒有必要而且還會大大增加參數(shù)估計的復(fù)雜程度[10]。

1.2 基于隨機變量的加速模型

光耦漏電流的加速方程滿足阿倫尼烏斯加速模型，對于基于Wiener過程的退化模型而言，假定漂移系數(shù)λ與應(yīng)力相關(guān)，則相應(yīng)的加速模型為：

λi=aexp(-b/Ti)

(2)

式(2)中，a、b為未知常數(shù)；Ti為絕對溫度。

根據(jù)式(2)可以知道，在同一應(yīng)力水平下，各個樣本的退化速度是一樣的。前文已述，個體性差異決定了不同光耦漏電流退化速率的不一致，誤差會隨著確定性參數(shù)的使用而產(chǎn)生。因此，提出一種基于隨機變量的阿倫尼烏斯模型，用以描述光耦之間的退化差異。則在第i個應(yīng)力下第j個光耦的加速方程為：

(3)

通過式(3)可知，第i個應(yīng)力下考慮光耦個體退化差異的漂移系數(shù)λi可以表示為：

(4)

2 步進(jìn)應(yīng)力條件下基于維納過程的數(shù)據(jù)描述與非線性退化數(shù)據(jù)的建模

2.1 步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計模型

在第i個應(yīng)力下，第j個光耦在第q次測量時相比第q-1次測量時性能退化增量為：

(6)

時間間隔為：

(7)

則根據(jù)維納過程的性質(zhì)可得：

(8)

2.2 非線性退化數(shù)據(jù)的建模

對于非線性的數(shù)據(jù)，采用由Whitmore[8]提出的時間尺度變換模型，將其變?yōu)榫€性數(shù)據(jù)。其常見函數(shù)為：

τ=Λ(t)=tc

(9)

式(9)中，c為常數(shù)且大于0。當(dāng)c<1時，數(shù)據(jù)為凸型退化，當(dāng)c>1時，數(shù)據(jù)為凹型退化。這兩種數(shù)據(jù)均為非線性數(shù)據(jù)，而當(dāng)c=1時，數(shù)據(jù)為線型退化，即線性數(shù)據(jù)。當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)越來越多的非線性數(shù)據(jù)，c值開始慢慢偏離1，非線性數(shù)據(jù)越多，c值的偏離程度就越大。式(9)的優(yōu)點在于可以處理線性與非線性數(shù)據(jù)并存的情況。

因此，本文采用上述變換模型，將漏電流數(shù)據(jù)[t,X(t)]改寫為[τ,Y(τ)]，故可以將式(1)改寫為：

Y(τ)=x0+λτ+σWW(τ)

(10)

設(shè)失效閾值為Df，則基于維納過程的光耦漏電流首達(dá)失效時的壽命可靠度函數(shù)為：

(11)

式(11)中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。經(jīng)過簡單推導(dǎo)，可以得到變換后的可靠度函數(shù)為：

(12)

令τ=Λ(t)，Y(τ)=X(t)，則式(12)可化為：

(13)

(14)

式(14)是最為關(guān)心的可靠度函數(shù)，由于λ與應(yīng)力有關(guān)，因此嚴(yán)格來說這是一個二元函數(shù)，當(dāng)應(yīng)力給定時，如常應(yīng)力，故又變成了一元函數(shù)[11]。因此下一步的重點就是估計式(14)中的相關(guān)參數(shù)。

3 可靠度函數(shù)的求解

3.1 兩步極大似然估計法

前文將漏電流數(shù)據(jù)[t,X(t)]變換為[τ,Y(τ)]，故式(8)可變換為：

(15)

式(15)中，

(16)

(17)

(18)

(19)

可以求出：

(20)

(21)

理論上來說，式(20)和式(21)在擁有退化數(shù)據(jù)情況下解出來的，但是仔細(xì)觀察上述兩式，都包含b和c，因此使用兩步估計法求解相關(guān)參數(shù)。

(22)

3.2 閾值與可靠度曲線

通過前面的推導(dǎo)和建立的模型，給定n=6，l=4，k1=23，k2=11，k3=10，k4=9，T1=70+273.15，T2=90+273.15，T3=110+273.15，T0=25+273.15，結(jié)合測量的數(shù)據(jù)，可以計算出維納過程漂移系數(shù)、擴散系數(shù)等各項參數(shù)值如表1所示。

表1 各項參數(shù)估計值

現(xiàn)在所關(guān)心的是失效閾值Df。根據(jù)摸底情況來看，當(dāng)Df=70 μA時，光耦進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)，但是那時光耦已經(jīng)產(chǎn)生了實質(zhì)性失效，即不能完成預(yù)定功能。通過與光耦生產(chǎn)廠家進(jìn)行溝通，廠家也給不出明確的說法，因為沒有對該產(chǎn)品貯存可靠性進(jìn)行深入研究，因此也無法提供具體的失效閾值。因此，經(jīng)過討論，決定設(shè)立游動閾值，即從60 μA開始，2 μA為步長，一直到70 μA。其可靠度曲線如圖2所示。

圖2 基于游動閾值的光耦維納過程可靠度曲線

如圖2所示，最下方的可靠度曲線為失效閾值為60 μA時的可靠度曲線，依次排列，最上方的可靠度曲線為70 μA時的可靠度曲線。隨著閾值的提高，可以看出t0.9不斷增加，t0.9介于220 000小時(約為25.46年)至237 600小時(約為27.5年)。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建的維納過程可靠性模型，一是考慮到個體化差異，將維納過程中的漂移系數(shù)隨機化處理，并且建立了隨機變量阿倫尼烏斯模型，使較傳統(tǒng)未考慮個體差異而固定漂移系數(shù)的方法更符合實際；二是使用兩步極大似然估計方法，可以求解未知參數(shù)的估計值，克服傳統(tǒng)估計方法的局限性；三是對非線性數(shù)據(jù)的處理，c的估計值為1.495 1，顯然大于1，按照分類來說為凹退化，如果直接將漏電流的退化數(shù)據(jù)看成線性數(shù)據(jù)，則其評定的準(zhǔn)確度必然大大下降，因此對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化處理，使其更加符合維納過程的特性。