面向再生制動能利用的地鐵列車時刻表優(yōu)化模型

劉宏杰，唐 濤，夏夕盛，陳黎潔，付瑾瑜

(1.北京交通大學 電子信息工程學院，北京 100044; 2.交控科技股份有限公司，北京 100070; 3.中國鐵道科學研究院集團有限公司 標準計量研究所，北京 100081; 4.河北省實驗中學, 石家莊 051430)

地鐵系統(tǒng)因安全、舒適、方便、快捷、準點、節(jié)能等優(yōu)點，已成為緩解大城市交通壓力的首選方式，但是其依然消耗大量的電能[1].隨著能源價格不斷增長和環(huán)境保護的需要，減少地鐵系統(tǒng)能源消耗的研究近年來已成為熱點話題[2].由于列車牽引能耗在地鐵系統(tǒng)總能耗中占比重較大[3-5]，因此針對牽引能耗降低的研究成為主要方向.主要方法包括減少列車運行阻力、采用列車節(jié)能駕駛策略以及再生制動能量的利用等[1].其中，再生制動能量是指在列車制動階段，通過再生制動系統(tǒng)從動能轉(zhuǎn)換得到的電能.

近些年再生制動系統(tǒng)已經(jīng)在地鐵中得到廣泛的應用[6].再生制動能量可以反饋到列車供電網(wǎng)中供牽引列車或其他用電設(shè)備使用，以減少對供電站的用電需求.再生制動能量在牽引能耗中占的比重較大，因此最大化再生制動能利用量的研究成為目前的研究熱點.值得注意的是，再生制動能量必須立即被消耗掉，否則會造成電網(wǎng)電壓的升高，危及用電設(shè)備的安全.再生制動能量的利用方式有3種[7-8]，包括：可以通過能量存儲設(shè)備(例如超級電容)對其進行臨時存儲并在需要的時候再次釋放；也可以通過優(yōu)化時刻表的方式對在線列車的牽引和制動進行同步，以使得再生制動能量能夠立即被牽引列車所消耗；或者通過大功率電阻將其轉(zhuǎn)化為熱能進行消耗.能量存儲設(shè)備能夠大幅度提升再生制動能的利用率，同時還能夠有效緩解在列車牽引或制動時電網(wǎng)電壓的波動，但是由于其成本較高，尚未能得到普及[5].對時刻表進行優(yōu)化能夠在不增加硬件成本的情況下提升再生能源利用(Regenerative Energy Utilization，REU)，因此成為首選方式[7].時刻表優(yōu)化的基本思路是通過對時刻表的組成元素進行微調(diào)，增大列車牽引和制動時間的重疊，使再生制動能量能更多地用于其他列車的牽引，從而減少供電站的牽引用電需求.不能立即被牽引列車使用的再生制動能量通常通過電阻轉(zhuǎn)換為熱能，以避免電網(wǎng)電壓的波動.

通過時刻表優(yōu)化以提升REU的研究已引起廣泛關(guān)注.文獻[9]首次考慮REU，提出一種非線性多目標的時刻表優(yōu)化模型.文獻[10]針對平峰時期的時刻表優(yōu)化問題，提出一種能夠最大化同一供電區(qū)內(nèi)列車牽引和制動重疊時間的模型，并采用商用CPLEX軟件求解該問題.文獻[11]利用仿真方法研究REU，并研究了發(fā)車時刻和站臺預留時長的調(diào)整對REU的影響.文獻[12]采用混合整數(shù)規(guī)劃方法，通過優(yōu)化列車發(fā)車時間來最大化REU.文獻[13]提出一種列車節(jié)能操縱和時刻表調(diào)整的一體化優(yōu)化方式，并設(shè)計了一種遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)來求解問題.文獻[14]假設(shè)再生制動能量只能被相鄰列車使用,提出一種調(diào)度規(guī)劃問題來同步相鄰列車的牽引和制動操作.他們采用GA求解問題，對列車間隔時間和停站時長進行了優(yōu)化.文獻[6]提出一種更符合實際的REU模型.在該模型中，列車進站制動時產(chǎn)生的再生制動能量可以被正在從該車站出發(fā)的牽引列車使用,提出一種雙目標優(yōu)化問題來最大化REU和最小化乘客等待時長，采用GA求解問題對列車間隔時間和停站時長進行了優(yōu)化.

列車間隔時間和停站時長都是時刻表的重要組成元素，對其進行微調(diào)能夠在較少或不影響乘客服務(wù)質(zhì)量的前提下實現(xiàn)REU的提高，因此成為該類型優(yōu)化問題的常用決策變量.可是，對影響地鐵服務(wù)質(zhì)量的首、末班車時刻在以往研究中未得到足夠關(guān)注.以文獻[13]和[14]為例，不同列車間的間隔時間被認為是相同的，而且其取值在優(yōu)化過程中被減小.這樣雖然使得在實驗時間內(nèi)的REU得到提高，但是對于整體地鐵系統(tǒng)來講，其帶來的問題是日運營車次數(shù)量的增加或者運營時長的縮短.而這兩個問題在實際中都是不期望的.大多既有研究對于時刻表優(yōu)化問題的求解采用了簡單易用的GA,并獲得了比既有時刻表更好的結(jié)果，較少嘗試其他優(yōu)化算法來尋找更好的求解方式和結(jié)果，或者對不同算法進行對比.

本文作者在既有研究成果的基礎(chǔ)上，提出一種新的時刻表優(yōu)化模型來最大化地鐵系統(tǒng)的REU.模型中首次考慮了日運營列車車次數(shù)量和首末班車時間均不能改變的實際約束，并采用了不同的列車間隔時間使問題具有可行解.同時，提出一種基于人工蜂群(Artificial Bee Colony,ABC)的智能優(yōu)化算法來求解問題.在此基礎(chǔ)上，基于北京地鐵燕房線的實際數(shù)據(jù)進行了仿真實驗，優(yōu)化后的REU比既有時刻表提升了132.29%；另外，通過將基于ABC的智能優(yōu)化算法與GA進行對比，證明了該算法的有效性.最后，通過對存在隨機干擾情況下的REU進行仿真分析，驗證了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性.

1 時刻表優(yōu)化模型

地鐵系統(tǒng)中列車的運行路徑如圖1所示.每列車從始發(fā)站(站臺1)出發(fā)，沿途經(jīng)停所有車站，當其到達終端折返站(站臺N)后列車進行折返，之后重復類似的過程直到到達終點站(站臺2N-1).為方便數(shù)學建模描述，各車站按照1至N依次編號.除終端折返站N外，每個車站n含有兩個位于不同方向(上行/下行)的站臺，分別標記為站臺n和2N-n；在不影響REU計算的前提下，終端折返站N標記為只含有一個站臺N.注意車站N除包含站臺N的停站過程外，還包括列車折返換端過程.連接站臺n和n+1的區(qū)間標記為區(qū)段n.

圖1 地鐵列車運行線路示意圖Fig.1 Subway train running line sketch

列車時刻表包含了各列車在各個站臺的進站時間、出站時間、停站時長和列車間隔時間等.為方便計算REU，本文與文獻[13, 15]保持一致，假設(shè)列車在區(qū)間按照節(jié)能駕駛方案運行，由牽引、惰行和制動三個階段組成.該過程中相關(guān)參數(shù)如圖2所示，紅色點劃線代表牽引階段，黑色虛線代表惰行階段，實線代表制動階段.

為了計算REU，建立列車時刻表優(yōu)化模型，首先需要建立各列車運行過程中各關(guān)鍵時刻的關(guān)系，并計算各個牽引和制動階段的電功率.根據(jù)圖2，對任意列車和任意區(qū)間,可得

(1)

由于列車在終端折返站N進行折返，其發(fā)車時刻的計算與其他站臺不同，可得

(2)

式中:xi,n為列車i在站臺n的停站時長；Φ為列車在終端折返站N的折返時長.

(3)

列車i的旅行時長τi由其在各區(qū)間的運行時長、各站臺的停站時長和終端折返站N的折返時長決定，如下式所示

(4)

在停站過程中，列車速度為0；在區(qū)間運行過程的不同階段，列車均按照勻加速過程運行.因此，不同時刻的列車速度vi(t)滿足：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)各列車牽引時段和制動時段的不同取值情況可得

(12)

式中:k=2N-2.

從而，根據(jù)以上變量間的關(guān)系，可以計算獲得一個地鐵系統(tǒng)中的REU.本文列車時刻表優(yōu)化的目標是最大化REU，通過將列車間隔時間和停站時長作為控制變量，從安全、成本和服務(wù)質(zhì)量的角度出發(fā)，考慮到首、末班車發(fā)車時間不變、列車旅行時長等約束，建立時刻表優(yōu)化問題的數(shù)學模型如下：

maxE=f(H,X)

(13)

(14)

i∈{1,2,…,I},n∈{1,2,…,2N-2}

(15)

(16)

(17)

hi∈Z+,i∈{1,2,…,I-1}

(18)

xi,n∈Z+,i∈{1,2,…,I},

n∈{1,2,…,2N-2}

(19)

式中：H和X分別為列車間隔時間向量和停站時長向量，滿足H=(h1,h2,…h(huán)i,…,hI-1) 和X=(X1,X2,…,Xi,…,XI).其中，對任意的i∈{1,2,…,I}，有Xi=(xi,1,xi,2,…,xi,2N-2).

2 基于人工蜂群的智能優(yōu)化算法

本文采用基于ABC[16-19]的算法來解決所提出的時刻表優(yōu)化問題，其工作流程如圖3所示.

為了降低ABC算法陷入局部最優(yōu)解的機率，在ABC算法迭代M2次收斂于一個近似最優(yōu)解后，算法會進行重啟，并重新開始搜索.

圖3 基于ABC的優(yōu)化算法流程圖Fig.3 Procedure of ABC-based optimized algorithm

在每次優(yōu)化迭代過程中，利用ABC算法的機制更新前nb個解，并利用第nb+1個解保存上次迭代過程中找到的最好結(jié)果，從而防止優(yōu)化過程中解的質(zhì)量變差.其中，nb為整體蜂群中蜜蜂的數(shù)量，包括ne個引領(lǐng)蜂、no個跟隨蜂和ns個偵察蜂，即nb=ne+no+ns.

對于引領(lǐng)蜂和跟隨蜂，其優(yōu)化過程是在之前某一個解的基礎(chǔ)上，利用局部搜索算子生成一個新解.為了保證新解的多樣性，局部搜索算子每次按照ps,pi,pm和pc的概率從交換、插入、變異和交叉四個算子中隨機選擇一個.引領(lǐng)蜂和跟隨蜂工作機理的區(qū)別是，前者依次從之前獲得的較好解中找到一個作為其工作基礎(chǔ)，而后者則每次在這些較好解中采用輪盤賭的方式找到一個解作為其工作基礎(chǔ).

偵察蜂則總是通過隨機方式生成各個新解，以保證算法的全局搜索能力.

為提高算法收斂速度，每次生成的新解需要檢查其可行性，并對不能同時滿足約束式(14)～式(17)的解立即進行修復，從而減少不必要的計算量.

3 實驗結(jié)果和分析

3.1 試驗參數(shù)和結(jié)果

本節(jié)基于北京地鐵燕房線的數(shù)據(jù)進行了仿真實驗，并將基于ABC的算法與GA進行了對比.燕房線共有9個車站，按照本文所述模型，共有17個站臺和16個區(qū)間.列車在各站臺的停站時長和各區(qū)間的運行時長如表1所示.其中：DEP為出發(fā)站臺編號；ARV為到達站臺編號.注意列車運行到站臺2N-1后會結(jié)束其旅行，因此不需要關(guān)注在該站臺的停站時長.另外，既有時刻表中，不同列車在同一站臺的停站時長相同，在同一區(qū)間的運行時長也相同，且各相鄰列車的間隔時間也一致.列車間隔時間和其他相關(guān)的參數(shù)如表2所示.為了跟既有時刻表保持一致，本文實驗過程中各列車的停站時長也保持一致.即：對于所有的n∈{1,2,...,2N-2}，滿足xi,n=xj,n, ?i,j∈{1,2,...,I}.

表1 站臺停站時長和區(qū)間運行時長

表2 燕房線的其他參數(shù)

由于本文時刻表優(yōu)化模型的非線性和復雜性，難以通過商用軟件(如CPLEX)在可接受的時間內(nèi)獲得精確解.為了驗證算法的有效性，分別采用本文所提出的基于ABC的算法和GA[6, 14]算法對該時刻表優(yōu)化問題進行了求解.基于ABC的算法中，引領(lǐng)蜂、跟隨蜂和偵察蜂的數(shù)量分別設(shè)置為10、10和20(蜂群整體的數(shù)量為40)；每次優(yōu)化迭代50代后算法重啟，重啟3次(總共運行4次，總迭代次數(shù)為200)；交換、插入、變異和交叉算子的選擇概率分別為0.1、0.1、0.2和0.6.為了保證兩種算法對比的公平性，設(shè)置GA的種群為40，最大迭代次數(shù)為200，GA算法采用變異和交叉算子，且兩者的概率分別為0.2和0.8.

兩種算法分別仿真運行了5次，所獲得的優(yōu)化結(jié)果對比如表 3所示.其中：REUABC為基于ABC的算法優(yōu)化后的REU；REUGA為GA優(yōu)化后的REU；IRABC為REUABC相對于既有時刻表的增長率；IRGA為REUGA相對于既有時刻表的增長率.同時，將既有時刻表代入到模型中，可得其對應的REU為18.38 kJ/kg.可見，兩種算法都能夠用于時刻表優(yōu)化求解，并能夠比既有時刻表大幅提升REU.同時，無論是所獲得的最好值還是平均值，基于ABC的算法所獲得的解的質(zhì)量均優(yōu)于GA.

表3 再生制動能利用量優(yōu)化結(jié)果對比

圖4給出了基于ABC的算法在獲得最優(yōu)解時的收斂過程.可見算法在迭代過程中能夠迅速收斂到一個近似最優(yōu)解，并在之后不斷的對其改進.

圖5給出了所獲得的優(yōu)化時刻表和既有時刻表的對比.為了將其與既有時刻表的差別展示的更清楚，圖5(a)為優(yōu)化后的時刻表中各列車間隔時間與既有時刻表中的差值，圖5(b)顯示了優(yōu)化后的時刻表中和既有時刻表中的停站時長.可見大多數(shù)間隔時間和停站時長的改變幅度都很小(遠小于規(guī)定的調(diào)整門限).通過對時刻表較小的調(diào)整，可以在對乘客服務(wù)質(zhì)量影響較小(列車間隔時間和停站時長的改變都很小，旅行時長滿足準點性要求，首/末班車投入服務(wù)的時間均不變)的前提下，使REU得到大幅度的提升(相對于既有時刻表，最佳優(yōu)化結(jié)果的REU增長率達到132.29%，5次優(yōu)化結(jié)果的平均增長率達到114.73%).

圖4 基于ABC的算法收斂過程Fig.4 Convergence process of ABC-based algorithm

(a)優(yōu)化前后列車間隔時間變化

(b)優(yōu)化前后停站時長對比圖5 優(yōu)化時刻表和既有時刻表的對比Fig.5 Optimized timetable vs. current one

3.2 優(yōu)化時刻表的魯棒性

在干擾情況下的魯棒性是通過時刻表優(yōu)化提高REU的方法所面臨的最大問題[20]，而小幅度的實時干擾在地鐵系統(tǒng)中是難以避免的[21].因此，對優(yōu)化時刻表在不同幅度干擾情況下的REU進行了仿真分析.實驗過程中，本文對每一個決策變量(即間隔時間和停站時長)均施加了一定程度的隨機干擾.隨機干擾的取值方式是在{-δ,0,δ}中隨機取一個值.δ取不同數(shù)值時的實驗結(jié)果如表 4所示.其中：REUδ為 存在干擾δ時的REU.每一組實驗均進行了100次，表4中展示的為其平均值.增長率是指優(yōu)化后時刻表在干擾情況下的REU相對于既有時刻表中REU的增長率.

注意δ=0表示不存在干擾時的情況.可見，隨著干擾幅度的加大，優(yōu)化時刻表的REU逐步降低.但是，即使受到3s干擾的情況下，其REU仍比既有時刻表提高了70.67%.因此，優(yōu)化時刻表具有一定的魯棒性，無論在正常情況下還是存在干擾時，均能夠?qū)崿F(xiàn)一定程度的節(jié)能.

表4 干擾情況下的再生制動能利用量

4 結(jié)論

本文在考慮地鐵系統(tǒng)首、末班車服務(wù)時刻不變和列車運行準點性等實際約束的前提下，通過優(yōu)化時刻表來提升再生制動能利用量.通過設(shè)計基于ABC的智能優(yōu)化算法并基于燕房線的數(shù)據(jù)對問題進行仿真求解，使優(yōu)化結(jié)果比既有時刻表提升了132.29%.另外，通過與GA對比，證明了該算法的有效性.通過施加隨機干擾，驗證了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性.

為了進一步實現(xiàn)地鐵系統(tǒng)的節(jié)能運行，下一步計劃結(jié)合時刻表優(yōu)化方法和安裝能量儲存裝置的方式，研究合理的配置方法，進一步提升REU；同時，計劃研究列車運行調(diào)整方法，使列車受到干擾時能夠盡快恢復到計劃時刻表，減少不必要的能量浪費.