《乘法的初步認(rèn)識(shí)》教學(xué)前測(cè)、反思和實(shí)踐

邵國(guó)華

【摘 要】提起乘法，很多人首先想到的就是乘法口訣表。很多孩子覺得自己能把乘法口訣背得滾瓜爛熟，還會(huì)計(jì)算乘法習(xí)題，就懂乘法了。真的是這樣嗎？筆者在開學(xué)一個(gè)月左右，對(duì)9個(gè)班的379名二年級(jí)孩子進(jìn)行了有關(guān)乘法的前測(cè)，大量的數(shù)據(jù)說明，絕大部分的孩子是不理解乘法意義的，即便口訣很熟練的孩子。結(jié)合統(tǒng)計(jì)結(jié)果，筆者進(jìn)行了反思，并在教學(xué)實(shí)踐中通過“重組主題圖，動(dòng)手圈一圈”等形式，試圖喚醒孩子們按群計(jì)數(shù)的意識(shí)，從而溝通加法和乘法的聯(lián)系;能結(jié)合矩形圖，理解一個(gè)乘法算式所表示的兩種意義;引導(dǎo)孩子運(yùn)用多種方式進(jìn)行表征，豐富乘法模型的認(rèn)識(shí)。

【關(guān)鍵詞】乘法;前測(cè);反思;教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類號(hào)】G632.3?????? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）06-0229-02

一、課前思考

現(xiàn)象一

“老師，我已經(jīng)會(huì)背乘法口訣表了，我也會(huì)做乘法題目了，你可以考考我鬧！”作為班主任，當(dāng)暑假返校后，詢問孩子們暑假有哪些收獲的時(shí)候，有孩子很自豪地說出了上面的話，而且隨后不少孩子也跟著回應(yīng)：我也會(huì)，我也會(huì)……課后我隨意問了幾個(gè)孩子“三四十二”是什么意思，最厲害的也就答到“3×4=12”這一層面。

現(xiàn)象二

“老師，這個(gè)乘法算式寫兩種不對(duì)吧？8個(gè)4和4個(gè)8算式差不多，但是意思好像不一樣??？”這是一位學(xué)生家長(zhǎng)在我上這一課之前給我發(fā)來(lái)的微信原文（估計(jì)是準(zhǔn)備提前給孩子做一些鋪墊），同時(shí)配上了書本習(xí)題上的照片。這位家長(zhǎng)是80后，年齡和我差不多，我們讀書那會(huì)兒用的教材，特別強(qiáng)調(diào)8個(gè)4一定要用“4×8”來(lái)表示的。

筆者的思考

乘法是二上教材的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容，它占了兩個(gè)單元的篇幅。目前很多家長(zhǎng)都有提前鋪墊的意識(shí)。開學(xué)初粗粗統(tǒng)計(jì)了我所任教的其中一個(gè)班的孩子，有近80%的孩子都去讀過或者背過乘法口訣了。但是，孩子們真的理解乘法了嗎？上面兩個(gè)現(xiàn)象令筆者進(jìn)入了思考：什么是乘法？為什么要學(xué)乘法？乘法的意義真的是全新的知識(shí)嗎？如何引導(dǎo)孩子理解一道加數(shù)相同的加法可以用兩個(gè)乘法算式來(lái)表示？一個(gè)乘法算式為什么能表示兩種不同的含義？究竟該如何展開教學(xué)呢？帶著這些問題，筆者首先進(jìn)行了前測(cè)。

二、教學(xué)前測(cè)

前測(cè)對(duì)象：二年級(jí)學(xué)生。實(shí)際操作時(shí)，筆者對(duì)本校（城郊）7個(gè)班，以及城區(qū)和農(nóng)村各1個(gè)班，總計(jì)9個(gè)班的379名二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。

前測(cè)時(shí)間：開學(xué)1個(gè)月左右，最后一次前測(cè)在距離上《乘法的初步認(rèn)識(shí)》還間隔了一個(gè)多單元。

前測(cè)方法：題目測(cè)試。有6個(gè)班用的是第一份檢測(cè)單，還有3個(gè)班在對(duì)第一次前測(cè)進(jìn)行簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)與分析后，將前測(cè)題稍作調(diào)整，用的是第二次的檢測(cè)單。

通過這次前測(cè)，筆者發(fā)現(xiàn)大部分的孩子都聽說過乘法，而且在選擇“沒聽說過”或沒有選擇的同學(xué)中，還有近三分之一的孩子在回答第2題時(shí)，出現(xiàn)了乘法算式或口訣，這部分孩子其實(shí)也已經(jīng)與乘法接觸過。從測(cè)試題4中，我們發(fā)現(xiàn)不少的孩子用了兩種不同的加法算式來(lái)表征自己所畫的圖，而寫出乘法算式的孩子，往往能將兩個(gè)加法算式都寫出來(lái)。這就引起了筆者的思考：乘法的模型孩子們并不是第一次接觸！在學(xué)習(xí)100內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，2個(gè)2個(gè)數(shù)、5個(gè)5個(gè)數(shù)，10個(gè)10個(gè)數(shù)數(shù)，已經(jīng)為學(xué)習(xí)乘法埋下了伏筆。乘法其實(shí)就是幾個(gè)幾個(gè)累加的一種簡(jiǎn)便方法。為此，筆者又對(duì)第一次檢測(cè)單進(jìn)行了調(diào)整，結(jié)合了吳衛(wèi)東老師關(guān)于乘法的前測(cè)，增加了一些習(xí)題，看看那些聽說過乘法的孩子，能否在相同加數(shù)增加的情況下，出現(xiàn)用乘法表示的式子。這次前測(cè)，筆者分別選擇了城區(qū)、城郊和農(nóng)村各一個(gè)班進(jìn)行了前測(cè)。首先請(qǐng)孩子們完成檢測(cè)單（1），收起來(lái)后再完成檢測(cè)單（2）。第二份前測(cè)習(xí)題和結(jié)果如下：

小朋友們，請(qǐng)依據(jù)你的理解，按要求完成下面的問題。用時(shí)7分鐘。

從前測(cè)反饋結(jié)果看，每所學(xué)校都有近三分之一的孩子有按群數(shù)的思路，其中城郊的學(xué)校略偏低，大約占五分之一左右。大部分按群數(shù)的孩子都出現(xiàn)了按群圈數(shù)再數(shù)的過程，也有個(gè)別孩子在橫線上寫了方法，但是沒有出現(xiàn)圈的過程。

一上《百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》這一單元曾學(xué)習(xí)過按群計(jì)數(shù)這一內(nèi)容，間隔數(shù)月，孩子們有所遺忘，由此可見，最原始的方法是出現(xiàn)最多的。但從前測(cè)中也發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：無(wú)論孩子們用什么方法數(shù)，三所學(xué)校孩子們的錯(cuò)誤率均在31%左右。

從反饋結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，每所學(xué)校大部分的孩子都聽說過乘法。這里出現(xiàn)“沒聽說”的這個(gè)別孩子，在第6問“你認(rèn)為乘法是怎樣的”，其實(shí)都出現(xiàn)了乘法算式，包括漏做這題的孩子。這與第一次前6個(gè)班的前測(cè)結(jié)果大徑相同。也可以這么說，孩子們雖然沒有真正接觸過乘法，但是或多或少都與乘法“見過面”，完全沒有聽說的（包括第6題空著沒填的），每班就1到2人。

本次檢測(cè)的三個(gè)班學(xué)生人數(shù)分別是45、43和45人。從前測(cè)反饋情況來(lái)看，圖畫錯(cuò)的孩子，算式肯定都寫錯(cuò)了;圖畫對(duì)的孩子中，也有部分孩子寫算式的地方還在畫圖，屬于題目意思不理解。三所學(xué)校所有孩子中，能畫對(duì)圖并且用兩道乘法算式來(lái)表示的孩子總共4人;能出現(xiàn)一道乘法算式的共計(jì)36人。從中也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鋪設(shè)“文字提示來(lái)畫圖”這一臺(tái)階后，能出現(xiàn)乘法算式的孩子明顯比第4題只有圖來(lái)寫算式的孩子還要多。還有一個(gè)原因，就是第5、第6題的題目中提到了“乘法”這一詞，提醒了部分孩子用乘法算式來(lái)表示。在前測(cè)中，有孩子發(fā)現(xiàn)其實(shí)2個(gè)2個(gè)地加起來(lái)，就是在數(shù)雙數(shù)。

三、從前測(cè)中發(fā)現(xiàn)的問題

1.孩子們對(duì)乘法的了解僅僅停留在新算式和新符號(hào)的出現(xiàn)。

從兩次前測(cè)中統(tǒng)計(jì)得到，有近90%左右的孩子聽說過乘法，但是在請(qǐng)他們用畫圖等方式來(lái)表現(xiàn)乘法的時(shí)候，70%左右的孩子都寫了乘法算式或乘法口訣。當(dāng)然，這對(duì)于孩子們來(lái)說的確是新的知識(shí)，但是就《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課而言，它與本課的教學(xué)目標(biāo)還相距甚遠(yuǎn)。

2.在大部分學(xué)生的頭腦中有乘法算式卻沒有乘法模型。

大部分的孩子都聽說過乘法，但是乘法究竟是怎么回事，什么時(shí)候可以用乘法，孩子們還是不明確的。從前測(cè)結(jié)果可知，孩子們能主動(dòng)運(yùn)用乘法解決問題的孩子都極其有限。尤其是第二次前測(cè)的3個(gè)班級(jí)，檢查單1已經(jīng)出現(xiàn)了按群計(jì)算的圖，但是能想到用乘法列式的孩子除城區(qū)學(xué)校相對(duì)比較多（有20%）以外，其他兩所學(xué)校均只有2.2%的孩子在圓圈數(shù)量最多的時(shí)候用到了乘法。

四、帶著問題開展教學(xué)實(shí)踐

1.重組主題圖，喚醒按群計(jì)數(shù)的意識(shí)。

有研究者認(rèn)為，小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是最為重要的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)家又對(duì)乘法的現(xiàn)實(shí)模型進(jìn)行了研究，最為重要的現(xiàn)實(shí)模型為等量組的聚集等4種模型，而等量組的聚集被認(rèn)為是最基本的一種模型。筆者對(duì)等量組聚集的理解就是按群計(jì)數(shù)。

（1）發(fā)現(xiàn)加數(shù)的局限性。

第一次試教時(shí)，筆者首先采用了書本的主題圖，分別是小飛機(jī)3個(gè)3個(gè)數(shù)，小火車6個(gè)6個(gè)數(shù)，過山車2個(gè)2個(gè)數(shù)。教學(xué)過程中筆者請(qǐng)小朋友想象：如果過山車不只7個(gè)車廂，有10個(gè)車廂，那過山車上有幾個(gè)小朋友可以怎么列式表示？這時(shí)矛盾產(chǎn)生了：有小朋友認(rèn)為這個(gè)只能用加法表示，因?yàn)槌朔谠E表中沒有這樣的口訣了。大部分孩子之前已經(jīng)接觸過乘法口訣了，所以這也限制了孩子們的思維——乘法就是表內(nèi)乘法。

（2）改變加數(shù)的狹隘性。

帶著試教過程中遇到的問題，筆者又進(jìn)行第二次教學(xué)，將主題圖徹底改成了手，之后還以此上了展示課。筆者請(qǐng)小朋友猜謎入手：兩棵小樹十個(gè)杈，不長(zhǎng)葉子不開花。能寫會(huì)算還會(huì)畫，天天干活不說話。筆者將“十個(gè)杈”作為主線，引導(dǎo)孩子用算式來(lái)表示2雙手、3雙手、4雙手及5雙手的手指數(shù)。選擇手作為主題情景有兩個(gè)原因：一是可以突破孩子們固有的思維——乘法只有表內(nèi)乘法;二是10作為按群計(jì)數(shù)的單位，數(shù)數(shù)與計(jì)算都比較方便，在理解乘法意義時(shí)，學(xué)生也比較容易說清楚。但是在執(zhí)教過程中又出現(xiàn)了瑕疵：當(dāng)請(qǐng)學(xué)生觀察加數(shù)有什么特點(diǎn)時(shí)，大部分孩子都說到——加數(shù)都是10。換言之，在部分小朋友心里理解為——只有加數(shù)是10才能用乘法來(lái)表示了，這與筆者的原意圖——引出加數(shù)都相同這一初衷有了偏差。因?yàn)檫@次試教全部以“手”作為主題圖，相同加數(shù)就唯一了（還有一個(gè)班出現(xiàn)了5+5+5+……的式子）。

2.動(dòng)手圈一圈，溝通兩類算式的聯(lián)系。

這些長(zhǎng)長(zhǎng)的連加算式為什么可以用這么簡(jiǎn)單的新算式來(lái)表示呢？這是很多小朋友想不明白卻又不敢問出口的問題，也正是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要小朋友借助多種感官來(lái)進(jìn)行表征與理解了。筆者從小飛機(jī)能坐幾人入手，請(qǐng)孩子們自己來(lái)分析。3+3+3+3+3為什么可以用5×3表示呢？（這里大部分小朋友首先想到的乘法算式都是5×3，估計(jì)是從“5個(gè)3”遷移過來(lái)的。）班級(jí)中有個(gè)別孩子已經(jīng)知道這個(gè)式子的意義了，如何讓他們教會(huì)其他孩子呢？

（1）數(shù)形結(jié)合釋意義。

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。乘法，對(duì)于孩子們來(lái)說看似很熟悉，其實(shí)是完全陌生的知識(shí)，運(yùn)用圖來(lái)解釋抽象的式子無(wú)疑是最佳策略了。無(wú)論是加法算式還是乘法算式中的“3”，孩子們都很容易從圖中找出來(lái)。為了能讓每一個(gè)孩子都能清楚地理解數(shù)據(jù)的意義，執(zhí)教中筆者這樣提問：老師發(fā)現(xiàn)加法和乘法算式中都有3，誰(shuí)能在圖中找到3呢？請(qǐng)你上來(lái)圈一圈。多次試教下來(lái)，筆者發(fā)現(xiàn)上來(lái)的孩子在沒有提示下，都是圈出1個(gè)3就完工了。雖然這樣已經(jīng)能解釋3的含義了——一架飛機(jī)坐了3個(gè)人。但如何能讓小朋友快速找到乘數(shù)5并理解它呢？筆者采用了追問的方式：“3還有嗎？”往往在這樣的追問下，孩子會(huì)把所有的“3”都在圖中圈出來(lái)?！芭叮瓉?lái)3都藏在這里，所以寫加法算式時(shí)，需要寫（? ）個(gè)3相加?。　苯處煹幕腥淮笪蚺c拖音式的填空，會(huì)讓一些原本理解模模糊糊的小朋友也跟著明朗起來(lái)?！澳钦l(shuí)能在圖中找到這個(gè)5呢？”這其實(shí)是本節(jié)課最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，因?yàn)樗幌瘛?”一樣那么直觀地就可以找到。試教過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有不少孩子能解釋“5就是5個(gè)3”，這些小朋友可以說理解了，但是其他小朋友呢？如何通過圖來(lái)幫助他們理解5的含義呢？指一指，數(shù)一數(shù)，把隱藏在圖中的5直觀地找出來(lái)。筆者在執(zhí)教時(shí)，請(qǐng)孩子們找的過程中進(jìn)行適當(dāng)標(biāo)注。

這個(gè)藏在圖中比較隱蔽的“5”一定要讓每一個(gè)孩子都能找到它，那么才能有效地理解它意義。圈一圈，指一指，說一說，用各種方式來(lái)結(jié)合著圖來(lái)理解，從而明白，原來(lái)“5”就是飛機(jī)的架數(shù)。

五、實(shí)踐后的點(diǎn)滴感悟

這是筆者第三次執(zhí)教這一內(nèi)容，最早一次在2007年，中間間隔11年。結(jié)果所呈現(xiàn)的情況，在筆者看來(lái)，覺得還是比較滿意的。在接下來(lái)時(shí)間里，筆者覺得需要提醒自己如何設(shè)計(jì)后測(cè)習(xí)題，以便在下一次的執(zhí)教后檢測(cè)孩子們的學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)

[1]孫昌識(shí)，姚平子.兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育，人民教育出版社，2004年版.

[2]鞏子坤.有理數(shù)運(yùn)算的理解水平及其教與學(xué)的策略研究，西南大學(xué)博士學(xué)位論文，2006.

[3]義務(wù)教育教科書，教師教學(xué)用書，二年級(jí)上冊(cè)，2016年版.

[4]一下人教版數(shù)學(xué)書[G].浙江：人民教育出版，2015.10.

[5]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1.