多面體系統(tǒng)定結(jié)構(gòu)H2/H∞控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)

王 飚,郭雅麗

(長(zhǎng)安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引言

由于環(huán)境的復(fù)雜性，構(gòu)建的模型一般為非線性系統(tǒng)，通常需要將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性模型再進(jìn)行研究。但是這種方法精確度低下，難以滿足人們的需求。魯棒控制應(yīng)運(yùn)而生,并且在多個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。H2設(shè)計(jì)可使系統(tǒng)性能更優(yōu)良,H∞設(shè)計(jì)對(duì)系統(tǒng)的不確定性有更好的魯棒性，混合H2/H∞能夠很好地將優(yōu)良的性能與魯棒性結(jié)合起來(lái)。但是該方法存在設(shè)計(jì)過(guò)程較復(fù)雜、階數(shù)高的缺點(diǎn)，很難在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)得到廣泛應(yīng)用[1]。近年來(lái),低階、定階以及定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)以其成本低、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，重新受到了人們的重視。固定結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)在理論和實(shí)踐中都是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。其中，非凸秩約束和雙線性矩陣不等式(bilinear matrix inequalities,BMI)在計(jì)算上難以實(shí)現(xiàn)。一些研究者嘗試解決這些非凸和BMI問(wèn)題，以找到一個(gè)局部最優(yōu)控制器，因而提出了幾種降階的迭代方法來(lái)設(shè)計(jì)控制器[2-3]。多面體表示是描述物理系統(tǒng)參數(shù)缺乏的一般方法。這種不確定性包括區(qū)間參數(shù)不確定性[4]、橢球參數(shù)不確定性[5]以及多模型系統(tǒng)不確定性。對(duì)于多面體系統(tǒng)，固定結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)更加復(fù)雜。本文結(jié)合極點(diǎn)配置，提出了一種基于線性矩陣不等式(linear matrix inequalities，LMI)的定結(jié)構(gòu)H2/H∞[6]控制器設(shè)計(jì)方法。

1 魯棒控制及LMI介紹

考慮以下?tīng)顟B(tài)空間方程描述的線性時(shí)變不確定系統(tǒng)[7]：

(1)

式中：x為狀態(tài)變量；w為外源性輸入；y為輸出；δ[·]為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)算子和離散時(shí)間系統(tǒng)的前向算子；(A,B,C,D)(α)為凸有界(多面體)不確定的域φ。

(2)

式中：任何不確定矩陣(A,B,C,D)(α)，可根據(jù)參數(shù)變量α表示為多面體頂點(diǎn)(Ai,Bi,Ci,Di)的凸集合。

1.1 H2和H∞范數(shù)

1.1.1 H∞范數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)H∞控制[8-10]結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制結(jié)構(gòu)圖

H∞控制的目的就是設(shè)計(jì)反饋控制器K,使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,并確保從擾動(dòng)輸人w到被控輸出z之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw的H∞范數(shù)極小或小于某一正實(shí)數(shù)γ,即:

‖Tzw(s)‖∞=Supσmax[Tzw(jw)]<γ

(3)

H∞范數(shù)是系統(tǒng)頻率響應(yīng)的最大奇異值的峰值,它反映的是系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)下所能承受的最大擾動(dòng)度量,主要考慮系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能則沒(méi)有要求。

1.1.2 H2范數(shù)

H2控制[11-12]的目的就是設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器K使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,而且從擾動(dòng)輸人w到被控輸出z之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw的H2范數(shù)極小或小于某一正數(shù)γ,即:

(4)

系統(tǒng)的H2范數(shù)具有明確的物理意義,它的平方等于系統(tǒng)脈沖響應(yīng)總的輸出能量,也等于系統(tǒng)在白噪聲輸入時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出方差。其既反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,又是控制系統(tǒng)的一個(gè)重要性能指標(biāo)。

1.1.3 H2/H∞混合控制

在實(shí)際問(wèn)題的處理中,對(duì)控制指標(biāo)的要求是多方面的,既要求在有擾動(dòng)的情況下系統(tǒng)能夠保持穩(wěn)定(即擾動(dòng)到被控輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于某一-γ0),又要求從擾動(dòng)到被控輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)的H2范數(shù)盡可能小，以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。H2/H∞混合標(biāo)準(zhǔn)控制系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 H2/H∞混合標(biāo)準(zhǔn)控制系統(tǒng)框圖

圖2所示的H2/H∞混合標(biāo)準(zhǔn)控制系統(tǒng)中：w為外部輸入(如參考信號(hào),干擾噪聲等),z∞與z2分別表示與H∞指標(biāo)、H2指標(biāo)相關(guān)的輸出信號(hào)，u為控制輸入信號(hào)，y為測(cè)量輸出信號(hào)，G為廣義被控信號(hào),K為控制器。

H2/H∞混合控制問(wèn)題是針對(duì)廣義的被控對(duì)象來(lái)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)反饋控制器，必須滿足以下設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。

①圖2所示閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定。

②閉環(huán)傳遞函數(shù)陣Tz∞w(s)滿足‖Tzw(s)‖∞<γ。

③閉環(huán)傳遞函數(shù)Tz2w(s)滿足min‖Tzw(s)‖2。

這樣的控制器K稱為H2/H∞混合的最優(yōu)控制器。

1.2 不確定性系統(tǒng)魯棒控制器的設(shè)計(jì)

考慮下面離散線性時(shí)不變單輸入單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

(5)

式中：參數(shù)變量θ為有著q個(gè)頂點(diǎn)的多面體；co{θ1,θ2,θ3,θ4)為一組凸包。

設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的負(fù)反饋結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，其核心是設(shè)計(jì)一個(gè)定結(jié)構(gòu)控制器：

(6)

該定結(jié)構(gòu)控制器需滿足以下要求。

①閉環(huán)系統(tǒng)是內(nèi)在穩(wěn)定的。

②閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了范數(shù)小于常數(shù)γ。

利用LMI對(duì)定結(jié)構(gòu)魯棒控制器性能進(jìn)行評(píng)估，并且引入Schur穩(wěn)定多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)建傳遞函數(shù)矩陣：

E(z)=enzn+en-1zn-1+…+e1z+e0

(7)

(8)

式中：Ψ為多項(xiàng)式，依賴于參數(shù)變量θ；A、B、C、D為常數(shù)矩陣。

1.3 關(guān)于線性矩陣不等式的結(jié)論

在魯棒控制中，解決不確定問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問(wèn)題，或帶有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問(wèn)題。以下是定結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)所需要的一些引理。

無(wú)論是林毅夫教授還是我們?cè)谡n上探討的結(jié)論，都可以看出我們并沒(méi)有對(duì)理論盲目的尊崇，也沒(méi)有認(rèn)為理論是絕對(duì)正確的，而是將理論一分為二的看待，有時(shí)候理論與經(jīng)驗(yàn)是相輔相成的，有時(shí)候理論與經(jīng)驗(yàn)是背離的。從這點(diǎn)我們可以看出，經(jīng)濟(jì)學(xué)與教育學(xué)對(duì)于理論與經(jīng)驗(yàn)問(wèn)題的看法是一致的，教育學(xué)并不是孤立存在的，它與其他學(xué)科是有互通的。

Con1(Hi,Pi,E)<0

(9)

Con1(Hi,Pi,E)>0

(10)

(11)

(12)

2 實(shí)例分析

2.1 標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的控制器的設(shè)計(jì)

以下系統(tǒng)有三個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn):

(13)

為此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定控制器，并且這個(gè)控制器的加權(quán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的范數(shù)要小于最小上限。

(14)

(15)

2.1.1 全階控制器的設(shè)計(jì)

在解決定階控制器的設(shè)計(jì)之前，要闡述一下本文提出方法的優(yōu)點(diǎn)，那就是范數(shù)邊界單調(diào)遞減到一個(gè)定值。

(16)

設(shè)計(jì)了一個(gè)與K1(z)有著相同結(jié)構(gòu)(5階)的控制器。一般而言，選擇的中心多項(xiàng)式要包含權(quán)函數(shù)的分母。選擇中心多項(xiàng)式E(z)=Wd(z)(z-0.5)8,零點(diǎn)在z=0.5。

加權(quán)傳遞函數(shù)H(z)與中心多項(xiàng)式范數(shù)的更新如圖3所示。

圖3 加權(quán)傳遞函數(shù)H(z)與中心多項(xiàng)式范數(shù)的更新

圖3表明，這個(gè)方法可快速收斂到相同的范數(shù)邊界7.453 8。

現(xiàn)在考慮一個(gè)5階控制器的設(shè)計(jì)：

(17)

式中：K2的范數(shù)為2.014 6，比K1小得多。

2.1.2 低階控制器的設(shè)計(jì)

以上所設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)器K1(z)有兩個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)，所以傳統(tǒng)的方法不能減少控制器的階數(shù)，使其小于兩階?，F(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)一階控制器，使中心多項(xiàng)式5次迭代更新后得到下界γ=2.243 1：

(18)

為了顯示中心多項(xiàng)式對(duì)結(jié)果的影響，考慮中心多項(xiàng)式E(z)=Wd(z)(z-a)4。a分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5。不同中心多項(xiàng)式對(duì)范數(shù)的影響如圖4所示。對(duì)于不同的多項(xiàng)式，有一階控制器的加權(quán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的范數(shù)邊界的單調(diào)遞減。

圖4 不同中心多項(xiàng)式對(duì)范數(shù)的影響

2.2 多面體系統(tǒng)的控制器的設(shè)計(jì)

考慮一個(gè)被多面體不確定性影響的3階系統(tǒng)：

(19)

式中:θ0=-0.2;θ1=-1.2;θ2=0;θ3=-0.1。

假設(shè)所有的參數(shù)相較標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)不確定性達(dá)到±12%，所以參數(shù)的不確定性可以用一個(gè)16個(gè)點(diǎn)的多面體(超立方體)形式體現(xiàn)。

為此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)二階控制器，包括一個(gè)積分器和能得到最小范數(shù)邊界γ的傳遞函數(shù)。

(20)

首先，對(duì)于所有的點(diǎn)，都考慮一個(gè)普遍的中心多項(xiàng)式E(z)=Wd(z)(z-0.5)5，并且使用引理1中的條件生成一個(gè)有著上界γ=1.297 32的二階穩(wěn)定控制器。

然后，使用引理2，解決下列的優(yōu)化問(wèn)題：LMI條件滿足則存在最小的γ。這樣就得到了一個(gè)魯棒控制器。將其作為穩(wěn)定控制器，然后經(jīng)過(guò)一系列迭代后得到下列的控制器：

(21)

對(duì)于這個(gè)控制器，范數(shù)的上界γ=0.552 72。這樣，經(jīng)過(guò)一系列的迭代改善了魯棒控制器的性能，使得范數(shù)上界單調(diào)遞減。

2.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

采用HIFOO評(píng)估所設(shè)計(jì)的控制器。HIFOO是為定階控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個(gè)MATLAB工具包，用于設(shè)計(jì)不確定系統(tǒng)定階控制器。使用程序語(yǔ)言定義變量并描述各個(gè)線性矩陣不等式,寫出優(yōu)化條件min‖Tzw(s)‖2,利用mincx函數(shù)求解線性矩陣不等式組,得出相應(yīng)結(jié)果。

取γ=0.55272來(lái)驗(yàn)證1.1.3節(jié)中提出的系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。此時(shí)，對(duì)應(yīng)的H2范數(shù)為0.256 3，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)都在左半平面，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，滿足第一個(gè)條件。從‖H∞‖<γ可以看出，其仍然滿足二個(gè)條件。當(dāng)γ=0.552 72時(shí)，H2范數(shù)為0.256 3，顯然小于H2范數(shù)的上界,滿足第三個(gè)條件。

因此,本方法設(shè)計(jì)的控制器滿足H2/H∞混合控制的各項(xiàng)指標(biāo)。從系統(tǒng)的極點(diǎn)分布來(lái)看,系統(tǒng)有一個(gè)負(fù)實(shí)主導(dǎo)極點(diǎn)。它使得控制系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài),系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的響應(yīng)速度相對(duì)緩慢,這也使得系統(tǒng)本身具有較好的魯棒性。此例中，本文的控制器效果更好，而且更重要的是，它保證了整個(gè)多面體的性能不僅僅是點(diǎn)，即本文控制器適用于系統(tǒng)的所有狀態(tài)，而非某一狀態(tài)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用線性矩陣不等式方法，提出了多面體系統(tǒng)定結(jié)構(gòu)控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法基于定結(jié)構(gòu)非凸集的內(nèi)凸逼近，給出了魯棒控制器的設(shè)計(jì)。試驗(yàn)結(jié)果表明，通過(guò)多次迭代結(jié)果會(huì)收斂于次優(yōu)解，并且范數(shù)上界會(huì)出現(xiàn)單調(diào)遞減。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)全階低階控制器和不確定系統(tǒng)定階控制器的實(shí)例分析以及試驗(yàn)仿真，驗(yàn)證了此方法的可行性。該方法設(shè)計(jì)的魯棒控制器增益小、動(dòng)態(tài)性能好、魯棒性強(qiáng),滿足混合控制器的性能指標(biāo)。