數(shù)學(xué)思想方法系列講座（2）

函數(shù)和方程是初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，它們都可以用來描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，是解決實(shí)際問題的重要工具。

從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過程。算術(shù)主要研究具體的、確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，方程主要研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，函數(shù)主要研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程是立足于“式”的相等關(guān)系，函數(shù)卻是變量間的依賴關(guān)系。

函數(shù)是初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的主干，主要包括函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，重點(diǎn)介紹了幾類典型的函數(shù)。函數(shù)的思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題。具體來說，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想，即用函數(shù)的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它貫穿于小學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)的過程中逐漸形成，并為研究這些函數(shù)服務(wù)的。在研究方程、不等式、復(fù)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容時(shí)，函數(shù)思想也起著十分重要的作用。

方程是初中代數(shù)的主要內(nèi)容。初中階段主要學(xué)習(xí)幾類方程和方程組的解法，但在初中階段很難形成方程的思想。所謂方程的思想，就是分析、研究數(shù)學(xué)問題中變量間的關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程（不等式）或方程（不等式）組，解方程（不等式）或方程（不等式）組等步驟，達(dá)到求值目的的解題思路和策略，是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)。運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決，是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

函數(shù)和方程雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們之間有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如3x-5=7。函數(shù)至少要有兩個(gè)變量，兩個(gè)變量依據(jù)一定的法則相對(duì)應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以是解析式、圖像和表格等，如集合A為大于等于1、小于等于20的整數(shù)，集合B為小于等于40的正偶數(shù)，那么兩個(gè)集合的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用y=2x表示，也可以用圖象表示，還可以用表格表示。

函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的。函數(shù)與方程、不等式是通過函數(shù)值等于零、大于零或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想。

對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函數(shù)問題（例如：求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。

函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0就化為不等式f（x）>0，借助于函數(shù)的圖像與性質(zhì)可解決相關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。

函數(shù)與方程思想在解決問題中的應(yīng)用，一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題;二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的。

函數(shù)與方程的思想是數(shù)學(xué)的基本思想，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。教學(xué)中，我們可以使用選擇題和填空題訓(xùn)練函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力的關(guān)系角度進(jìn)行綜合教學(xué)和訓(xùn)練。

函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等。方程思想的應(yīng)用可分為逐漸提高的四個(gè)層次：（1）解方程或不等式;（2）含參數(shù)的方程或不等式的討論;（3）轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的研究，如曲線的位置關(guān)系、函數(shù)的性質(zhì)、集合的關(guān)系;（4）構(gòu)造方程或不等式求解。

我們來看看下面兩個(gè)問題的教學(xué)：

問題1. 若不等式x2+ax+1≥0對(duì)于一切x∈（0，[12]]成立，則a的最小值是（ ）。

A. 0B. -2C. -[52]D. -3

教學(xué)中可這樣引導(dǎo)學(xué)生分析和思考：

①分離變量，有a≥-（x+[1x]），x∈（0，[12]]恒成立，右端的最大值為-[52]，故選C。

②看成關(guān)于a的不等式，由f（0）≥0，且f（[12]）≥0可求得a的范圍。

③設(shè)f（x）=x2+ax+1，結(jié)合二次函數(shù)圖像，分對(duì)稱軸在區(qū)間的內(nèi)外三種情況進(jìn)行討論。

④f（x）=x2+1，g（x）=-ax，則結(jié)合圖形（像）可知原問題等價(jià)于f（[12]）≥g（[12]），即a≥-[52]。

⑤利用選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)，D不成立，而C成立，故選C。

不難看出，思路①～④具有函數(shù)觀點(diǎn)，可謂居高臨下，而思路⑤又充分利用了題型特點(diǎn)。

問題2.若拋物線[y=-x2+nx-1]和兩端點(diǎn)為A（0，3），B（3，0）的線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。

教學(xué)時(shí)先引導(dǎo)學(xué)生由方程思想將曲線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程的解的問題，再由方程有解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的實(shí)根分布問題，最后通過解不等式（組）得到所求范圍。因此，在綜合問題教學(xué)中，解決一個(gè)問題常常不止需要一種數(shù)學(xué)思想，而是兩種數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)用。例如，函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)用，它們間的相互轉(zhuǎn)換一步步使問題獲得解決，轉(zhuǎn)換的途徑為：函數(shù)→方程→函數(shù)，或方程→函數(shù)→方程。

實(shí)際上，函數(shù)與方程是相互聯(lián)系的，在一定條件下，它們可以相互轉(zhuǎn)化。函數(shù)思想在于揭示問題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，運(yùn)用函數(shù)思想解題，重在對(duì)問題中的變量的動(dòng)態(tài)研究，從變量的運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系和發(fā)展角度打開思路;而方程思想則是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。函數(shù)思想與方程思想常常是相輔相成的，函數(shù)的研究離不開方程。列方程（組）、解方程（組）和研究方程（組）的特性，都是應(yīng)用函數(shù)與方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問題。

在函數(shù)與方程思想教學(xué)中，應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：（1）深刻理解一般函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的具體特征，是應(yīng)用函數(shù)思想的基礎(chǔ)。（2）在解決非函數(shù)問題時(shí)，要仔細(xì)觀察和分析問題中的各元素，產(chǎn)生由此及彼的思想，構(gòu)造出相關(guān)的函數(shù)模型，使問題獲得巧妙地解決。（3）許多數(shù)學(xué)問題中都含有多元參變量，根據(jù)題目需要變換“主元”往往能出奇制勝，但不要脫離題目本身的條件。（4）函數(shù)方程思想與其他幾種思想融合使用，才能顯示出其強(qiáng)大威力，不要脫離其他思想單獨(dú)“鉆題”，浪費(fèi)時(shí)間。

函數(shù)思想，不只是利用函數(shù)的方法技巧來研究和解決有關(guān)函數(shù)自身的問題，更重要的是運(yùn)用函數(shù)的觀念去分析問題、解決問題，它的精髓是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)建函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，主要體現(xiàn)在：構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì);選定主元，揭示函數(shù)關(guān)系;選取輔助變?cè)?，確定函數(shù)關(guān)系;利用二項(xiàng)式定理構(gòu)造函數(shù);用函數(shù)的思想解答數(shù)列、解析幾何、立體幾何等問題;建立函數(shù)關(guān)系解答應(yīng)用問題;等等。

方程思想，說白了就是若變量之間的關(guān)系是通過解析式表示的，則可以把解析式看成一個(gè)等式，然后運(yùn)用方程的理論就可以使問題得到解決。主要體現(xiàn)在：直接解方程、分析方程的解，通過換元構(gòu)成新方程，直接構(gòu)造方程求解。

由此可見，熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ)，善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。

高慧明

北京市中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，現(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué);教育部課程改革“全國先進(jìn)工作者”，教育部“國培計(jì)劃”全國中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長培訓(xùn)特邀主講專家，受邀為教育部“國培計(jì)劃”做有關(guān)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、班級(jí)管理、教師專業(yè)成長等專題報(bào)告多場;在《教育研究》《中國教育學(xué)刊》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)通報(bào)》等學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文500余篇，其中100余篇被中國人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》《中小學(xué)教育》全文轉(zhuǎn)載;已出版?zhèn)€人專著《高中數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用》《高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律與教學(xué)策略》《讓高中生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)》《高慧明數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與研究》（叢書）等多部，應(yīng)邀主編、參編教材和教學(xué)著作30余部。