基于壓縮感知的電能質(zhì)量壓縮采樣重構(gòu)算法

張 銳 吳庭宇

（哈爾濱理工大學自動化學院，哈爾濱，150080）

引 言

隨著科學技術(shù)的不斷發(fā)展、進步，智能電網(wǎng)已經(jīng)成為電網(wǎng)技術(shù)發(fā)展的必由之路，保障電網(wǎng)安全、可靠、穩(wěn)定的運行是智能電網(wǎng)的必然要求[1]。這無疑提高了獲取高質(zhì)量的電網(wǎng)電能質(zhì)量信號數(shù)據(jù)的要求，由于傳統(tǒng)的電能質(zhì)量信號數(shù)據(jù)采集受到奈奎斯特(Nyquist)采樣定理的約束，使得想要恢復原信號必須要求采樣頻率為信號最高頻率的2倍以上，這樣就會采集大量的數(shù)據(jù)，而且獲得的很多數(shù)據(jù)都是無用的，不僅對采樣設(shè)備的要求較高，而且對數(shù)據(jù)的傳輸也有很大的負擔。因此，研究一種低采樣率的技術(shù)對電能質(zhì)量信號的檢測，分析和處理具有重要的意義和前景。

壓縮感知理論(Compressed sensing,CS)正是在這樣的背景下由Donoho等人[2-4]提出來的，該理論使得以較少的采樣點恢復出原信號成為了可能。CS理論為信號處理領(lǐng)域打開了一扇新的大門，它突破了Nyquist采樣定理對傳統(tǒng)信號采集的限制，因此該理論一經(jīng)提出就受到圖像處理、醫(yī)療成像、地質(zhì)勘探、雷達探測等領(lǐng)域?qū)＜覍W者的高度關(guān)注，而且還被美國科技評論評為“2007年度十大科技進展”[5-7]。

本文主要研究的是電能質(zhì)量擾動信號的重構(gòu)算法。在壓縮采樣匹配追蹤算法(Compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)[8]的基礎(chǔ)上，針對CoSaMP算法預選階段對候選原子選擇過多、測量次數(shù)多、重構(gòu)時間長的問題，提出一種改進的壓縮采樣匹配追蹤(Modified compressive sampling matching pursuit,MCSMP)電能質(zhì)量擾動信號重構(gòu)算法。該算法改變了候選集的選擇方法，并以感知矩陣與殘差的相關(guān)度變化閾值作為迭代停止的條件[9]，MCSMP算法不僅可以減少重構(gòu)時間，而且還可以提高電能質(zhì)量信號的恢復質(zhì)量。

1 壓縮感知重構(gòu)算法

1.1 壓縮感知理論基礎(chǔ)

假設(shè)信號x是電能質(zhì)量原始信號，為了不失一般性，假設(shè)x本身不是稀疏的，而是可稀疏化的，其在稀疏基Ψ上的投影為θ，即

式中：x為信號在時間域的表達；θ為其在變換域Ψ上的表示，而且θ中只有Κ個非零項，其他Ν-Κ個項為零。那么就可以認為信號x在稀疏變換矩陣Ψ下的表示是稀疏的，θ的稀疏度為Κ，當使用觀測矩陣Φ對x進行觀測時，可以得到觀測值

式中：Α為感知矩陣。這樣就把對原信號x的重構(gòu)問題就轉(zhuǎn)化成對稀疏信號θ的求解，再通過稀疏反變換得到x。由于Μ＜Ν，因此該式為欠定方程組，沒有確定解，是NP-Hard問題。當感知矩陣Α滿足有限等距性質(zhì)(Restricted isometry property,RIP)[10]時有

式中δΚ∈(0,1)。上述問題可以轉(zhuǎn)化為l0范數(shù)下的最優(yōu)化問題

若考慮到誤差δ，δ為一個較小正常數(shù)，則可以寫成

或者是轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)下的凸優(yōu)化問題

壓縮感知理論框架主要由信號稀疏變換基、觀測矩陣和重構(gòu)算法構(gòu)成，它們分別被看作是壓縮感知理論的基礎(chǔ)前提、關(guān)鍵和核心。

1.2 信號稀疏基的選擇

作為壓縮感知理論實現(xiàn)的前提，稀疏變換基的選擇主要有離散傅里葉變換基(Discrete Fourier transform，DFT)，離散余弦變換基(Discrete cosine transform，DCT)，離散小波變換基(Discrete wavelet transform，DWT)和冗余字典等[11]，由于原信號為電能質(zhì)量信號，其在頻域上的稀疏性較好，考慮到傅里葉變換的正交性，而且具有構(gòu)造簡單，速度快，表示過程復雜度低的特點，因此，稀疏基選擇傅里葉變換基。

1.3 觀測矩陣的選擇

觀測矩陣是壓縮感知實現(xiàn)的關(guān)鍵，前面提到壓縮感知高概率重構(gòu)的保證是感知矩陣要滿足路由信息協(xié)議（Routing information protocol，RIP）條件，實際情況是要驗證一個感知矩陣是否滿足RIP條件較難，不過已經(jīng)證明：感知矩陣的RIP條件等價于觀測矩陣與稀疏基高度不相關(guān)[12]。因為獨立同分布的高斯隨機矩陣與大部分稀疏基的不相關(guān)度很高，具有普適性，所以本文中的觀測矩陣選擇高斯隨機矩陣。

1.4 重構(gòu)算法的選擇

鑒于解決不同范數(shù)的優(yōu)化問題所采用的方法不同，壓縮感知的重構(gòu)算法主要分為：基于解決l0范數(shù)最小化的貪婪算法、基于解決l1范數(shù)最小化的凸優(yōu)化算法和一些組合算法。其中凸優(yōu)化算法的重構(gòu)效果較好，但是計算比較復雜，運算時間較長，而組合算法重構(gòu)時間短，但是重構(gòu)效果不好，貪婪算法憑借其計算速度快，重構(gòu)效果較好備受廣泛使用。貪婪匹配追蹤類算法主要有匹配追蹤算法(Matching pursuit，MP)[13]，采用了正交化的正交匹配追蹤算法(Orthogonal MP，OMP)[14]，以及在它們基礎(chǔ)上發(fā)展起來的加入了正則化的正則化正交匹配追蹤算法(Regularized OMP，ROMP)[15]與帶有回溯選擇的CoS-aMP等。

由于CoSaMP算法有二次選擇原子的能力，可以剔除初次選擇中錯誤的原子，所以選擇其作為電能質(zhì)量擾動信號的重構(gòu)算法，并且針對CoSaMP算法存在的不足，對原算法進行優(yōu)化改進，提出了MCSMP算法。

2 基于MCSMP的電能質(zhì)量重構(gòu)算法

2.1 CoSaMP算法

CoSaMP算法是以O(shè)MP為基礎(chǔ)發(fā)展的一種貪婪迭代追蹤算法，該算法通過對候選集的初步選擇，支撐集的二次選擇確定，通過最小二乘法對原信號不斷估計逼近，完成重構(gòu)原信號的目的。具體算法步驟如下。

輸入：觀測矩陣Φ，稀疏變換基Ψ，觀測值y，稀疏度Κ。

輸出：重構(gòu)的原信號x。

步驟1初始化，殘差r=y，索引值集合C=空集，F(xiàn)=空集，迭代次數(shù)t=1。

步驟2計算感知矩陣與當前殘差的內(nèi)積，并在內(nèi)積的絕對值中選出最大的2Κ項存入集合C，C=

步驟3更新候選原子集合Ft=[Ft-1,C]。

步驟4最小二乘估計

步驟5支撐集的裁剪，從集合b中挑選出絕對值最大的K項存入θ，并且相應更新Ft中的原子。

步驟6殘差更新，信號估計，rt=y-Αθ，x=Ψθ。

步驟7循環(huán)停止判定，若是滿足迭代的停止條件t＞Κ，那么停止迭代并輸出重構(gòu)信號，如果不滿足，執(zhí)行t=t+1，并返回步驟2。

2.2 MCSMP算法

2.2.1 候選原子的選擇

CoSaMP算法在每一次循環(huán)迭代時，對候選原子的選擇原則都是選擇殘差與感知矩陣內(nèi)積絕對值最大的2K個原子，而這些原子中大部分都是錯誤的原子，在支撐集的確定時會通過回溯的方式被裁剪掉，這樣不僅增加了計算復雜度，增加了算法重構(gòu)的計算時間，甚至還會影響到重構(gòu)精度。對于稀疏度越大的信號影響越大，針對這一問題，受到分段弱閾值共軛梯度算法[16-17]的啟發(fā)，采用模糊閾值的方法代替CoSaMP算法中對候選集原子選擇的固定數(shù)量方式

式中：c為模糊閾值，a和b為可設(shè)置的模糊閾值參數(shù)，rand(1)的作用是生成0到1之間的隨機數(shù)。因為每次迭代時，由殘差新引出的原子數(shù)目很小，相比于CoSaMP每次選擇2K個原子，采用模糊閾值的選擇方式更合理。一般a取0.6～0.8之間的數(shù)值，b取0.8～1之間的數(shù)值，使用這種選擇方式，可以有效減少候選集原子初選時的錯誤率，而且為后續(xù)支撐集原子的裁剪減少了計算量，同時減少了算法的運算時間。

2.2.2 迭代停止條件的確定

CoSaMP算法的終止迭代條件過于依賴稀疏度K，需要循環(huán)迭代K次之后才會終止循環(huán)，然而實際情況是很多時候，在迭代次數(shù)沒有達到K時，信號就可以精確重構(gòu)了，繼續(xù)迭代不僅增加了迭代時間，而且也有可能影響重構(gòu)精度。針對這一問題，MCSMP算法采用感知矩陣與殘差的相關(guān)度變化閾值為迭代停止條件。在每次循環(huán)迭代時計算感知矩陣與當前殘差相關(guān)度的最大值wt，并將其同上一次循環(huán)迭代時感知矩陣與殘差相關(guān)度的最大值wt-1相比較，如果它們的差的絕對值小于一定閾值γ，那么就終止循環(huán)，如果不滿足就繼續(xù)循環(huán)。這樣通過改變迭代停止條件就可以高效地減少循環(huán)計算次數(shù)，進而提升重構(gòu)速度。

2.2.3 MCSMP算法步驟

輸入：觀測矩陣Φ，稀疏變換基Ψ，觀測值y，稀疏度Κ。

輸出：重構(gòu)的原信號x。

步驟1初始化，殘差r=y，索引值集合C=空集，F(xiàn)=空集，迭代次數(shù)t=1。

步驟2計算感知矩陣與當前殘差的內(nèi)積，并根據(jù)模糊閾值選出符合條件的項存入C，C={| Αj,rt-1|≥ cmax| Αj,rt-1|},j=1,2,…,N。

步驟3更新候選原子集合，F(xiàn)t=[Ft-1,C]。

步驟4最小二乘估計bFt=y，=0，其中=(ΑFt)-1。

步驟5支撐集原子裁剪，選出b里面絕對值最大的K項存入θ，并相應更新Ft。

步驟6根據(jù)當前殘差rt=y-Αθ，計算感知矩陣與當前殘差的相關(guān)度wt，wt= max| Αj,rt|。

j=1,2,…,N

步驟7如果滿足終止條件|wt-1-wt|＜γ，那么停止循環(huán)并輸出重構(gòu)信號，如果不滿足，t=t+1，返回步驟 2。

3 實驗仿真結(jié)果及分析

3.1 實驗環(huán)境

為驗證MCSMP算法的正確性和有效性，本文在MATLAB R2013a實驗仿真平臺上，根據(jù)國家標準生成常見的電能質(zhì)量擾動信號樣本，如電壓暫升、暫態(tài)振蕩、電壓尖峰、電壓凹陷、諧波和電壓波動等。并根據(jù)MCSMP重構(gòu)算法步驟編寫代碼，對生成的各擾動信號樣本進行采樣重構(gòu)測試。采樣頻率參數(shù)設(shè)置成1 600 Hz，基波頻率為50 Hz，樣本信號長度為320，觀測值的維數(shù)為96。由于參數(shù)a,b和γ的選擇會影響到MCSMP算法重構(gòu)的質(zhì)量和重構(gòu)所用的時間，為了確定合理的參數(shù)值，使用不同的參數(shù)值對隨機生成的不同稀疏度的信號樣本進行1 000次實驗，實驗結(jié)果表明：把模糊選擇閾值的參數(shù)設(shè)置成a=0.8，b=0.95，控制停止迭代的參數(shù)值設(shè)置為γ=10-6時，可以在保證重構(gòu)效果的前提下有效地減少重構(gòu)時間，所以，本文中所有實驗MCSMP算法的參數(shù)設(shè)置均如上所述。

3.2 重構(gòu)波形

上述幾種電能質(zhì)量擾動信號的原始信號波形，重構(gòu)信號波形和重構(gòu)誤差波形圖分別如圖1—8所示。

圖1 電壓暫升信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.1 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the voltage swell signal

圖3 電壓中斷信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.3 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the voltage interruption signal

圖2 電壓暫降信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.2 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the voltage sag signal

圖4 暫態(tài)振蕩信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.4 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the voltage oscillation signal

由圖1—8可知，MCSMP算法能夠以較小的誤差，良好地質(zhì)量重構(gòu)各電能質(zhì)量擾動信號，其中，電壓波動重構(gòu)誤差均值為0.001 2 pu，短時諧波重構(gòu)誤差均值為0.019 6 pu，其余擾動信號重構(gòu)誤差均值則在兩者之間。

圖5 短時諧波信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.5 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the short-time harmonic signal

圖7 電壓凹陷信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.7 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the voltage notch signal

圖6 電壓尖峰信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.6 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the voltage spike signal

圖8 電壓波動信號MCSMP算法重構(gòu)信號和重構(gòu)誤差Fig.8 MCSMP reconstruction signal and reconstructionerror of the voltage fluctuation signal

3.3 評價指標

為了能夠更客觀科學地分析MCSMP算法的重構(gòu)性能，利用以下性能指標對各種擾動信號的重構(gòu)效果進行定性評估。

（1）重構(gòu)信噪比（Signal-noise ratio，SNR）

式中：x(i)為原信號，x?(i)為重構(gòu)信號，N為信號長度，下同。

（2）均方誤差百分值（Mean-square error，MSE）

（3）能量恢復系數(shù)（Energy-recovery percentage，ERP）

3.4 MCSMP算法重構(gòu)結(jié)果以及性能分析

使用MCSMP算法對各種電能質(zhì)量擾動信號樣本分別進行100次仿真重構(gòu)實驗，計算各自的平均評價指標，結(jié)果如表1所示。從表1中能夠明顯看到MCSMP重構(gòu)算法對以上幾種電能質(zhì)量擾動信號樣本的重構(gòu)性能指標較好。除了短時諧波外其他電能質(zhì)量擾動信號的重構(gòu)信噪比均在30 dB以上，均方誤差百分值都在4.00%以下，能量恢復系數(shù)差值均在1.5%以內(nèi)，能夠以很小的能量損失重構(gòu)原始信號。

3.5 與其他重構(gòu)算法性能對比

為了驗證MCSMP算法在重構(gòu)速度上的改進效果，采用改進前后的兩種算法分別對信號長度Ν=256，觀測值維數(shù)Μ=150，信號稀疏度為K的隨機信號進行采樣重構(gòu)，稀疏度K取10～54之間的數(shù)值（稀疏度K大于54之后CoSaMP在N=256，M=150的條件下無法進行有效的重構(gòu)），每個稀疏度K各進行100次實驗，算出每個稀疏度K的平均運行時間。

從圖9中可以明顯看出，當稀疏度K＜42時，兩種算法對信號重構(gòu)所需要的時間非常接近，MCSMP算法的重構(gòu)速度稍微慢一點，而當稀疏度K＞42之后，CoSaMP算法重構(gòu)所需要的時間不僅比MCSMP算法多，而且以較大的速率快速增長，相比之下，MCSMP算法重構(gòu)所需時間的增長就非常緩慢。也就是說，隨著稀疏度增大，MCSMP算法在重構(gòu)速度上的優(yōu)勢就會越來越明顯。而且在本次實驗中，當稀疏度K＞54之后，CoSaMP算法無法對信號樣本進行有效的重構(gòu)，而MCSMP算法卻依然可以，說明MCSMP算法改進方法有效。

繼續(xù)對比MCSMP算法與其他同類重構(gòu)算法對電能質(zhì)量擾動信號進行重構(gòu)時的性能表現(xiàn)，以電壓暫升信號為樣本信號，將MCSMP算法與CoSaMP算法、ROMP算法和OMP算法在相同的實驗條件下分別對電壓暫升信號樣本進行重構(gòu)仿真實驗，各個評價指標均為實驗100次的平均值，具體指標如表2所示。

從表2中可以看出，在相同的實驗條件下對電壓暫升擾動信號進行重構(gòu)，MCSMP算法的重構(gòu)信噪比為44.35 dB，比其他3種算法的重構(gòu)信噪比都高，均方誤差百分值是4種算法中最低的，能量損失也較小，在重構(gòu)速度上只比ROMP算法稍慢，比其他兩種算法快。由此可見，改進后的MCSMP算法能以較高的信噪比，較低的均方誤差百分值和較快的速度完成對電能質(zhì)量擾動信號的重構(gòu)。

進一步分析4種算法對電壓暫升信號重構(gòu)的信噪比與均方誤差百分值隨觀測值變化的變化趨勢。每個觀測值對應的信噪比與均方誤差百分值均為100次實驗的平均值。如圖10和圖11所示，信噪比隨觀測值的增加而增加，而均方誤差百分值隨觀測值的增加而減小，當觀測值低于120時，兩者均變化較大，觀測值大于120時趨于穩(wěn)定。對于4種算法來說，當觀測值小于120時，觀測值的數(shù)量對于重構(gòu)性能的影響較大。從圖10與圖11兩個指標圖中能夠明顯看出，MCSMP算法的重構(gòu)性能在兩個性能指標曲線圖中都是最好的。

表1 MCSMP對電能質(zhì)量擾動信號重構(gòu)性能指標Tab.1 Performance index of power quality disturbance signal reconstructed by MCSMP

圖9 MCSMP算法與CoSaMP算法不同稀疏度下的平均運算時間比較Fig.9 Comparison of the average operation time under different sparsity of MCSMP algorithm and CoSaMP algorithm

表2 各算法電壓暫升重構(gòu)性能指標對比Tab.2 Reconstruction performance comparison of the voltage swell signal under different algorithms

圖10 電壓暫升信號在4種算法下信噪比隨觀測值變化曲線Fig.10 Changing curves with measurements of SNR of voltage swell signal under four algorithms

圖11 電壓暫升信號在4種算法下均方誤差百分值隨觀測值變化曲線Fig.11 Changing curves with measurements of MSE of voltage swell signal under four algorithms

4 結(jié)束語

本文介紹了CS理論基礎(chǔ)，并針對CoSaMP算法存在的不足，提出改進的MCSMP重構(gòu)算法，主要做了兩個方面的改進：（1）采用模糊閾值的方法替代了CoSaMP算法中固定個數(shù)的原子選擇方式，為算法后續(xù)的裁剪減輕了負擔；（2）使用殘差與感知矩陣相關(guān)度的變化量作為算法的迭代停止條件，避免了原算法在重構(gòu)時進行不必要的迭代，進而提高了算法的重構(gòu)速度。然后將MCSMP算法應用在電能質(zhì)量信號的重構(gòu)上，并與同類的其他算法進行重構(gòu)性能的對比實驗,具體結(jié)果為：

（1）采用MCSMP算法對常見的幾種電能質(zhì)量擾動信號進行重構(gòu)測試，仿真實驗的重構(gòu)性能指標結(jié)果表明：MCSMP算法能夠在滿足信號分析要求的條件下高質(zhì)量重構(gòu)常見電能質(zhì)量擾動信號。

（2）分析MCSMP算法與CoSaMP算法的運行速度，實驗結(jié)果表明：稀疏度較小時兩者運行速度差距不大，稀疏度大于42之后，MCSMP算法有較大的速度優(yōu)勢。又對比了同類別的其他算法，MCSMP算法在信噪比SNR，均方誤差百分值MSE，能量恢復系數(shù)ERP和重構(gòu)時間上都有較好的性能表現(xiàn)。

電能質(zhì)量擾動信號具有較大的帶寬，按照Nyquist采樣定理需要采集大量的數(shù)據(jù)，給數(shù)據(jù)的采集、傳輸增加了負擔與成本，鑒于電能質(zhì)量信號在頻域有較好的稀疏性，故將CS理論應用到電能質(zhì)量信號的采集與重構(gòu)上。本文提出的MCSMP算法能夠以較少的觀測點重構(gòu)電能質(zhì)量擾動信號，實現(xiàn)信號采樣和壓縮的完美結(jié)合，重構(gòu)效果較好、速度快，對于電能質(zhì)量擾動信號重構(gòu)算法的發(fā)展有很大的促進作用?？紤]到實際工程應用中電能質(zhì)量信號的稀疏度通常無法獲得，所以研究一種可以自動匹配不同稀疏度的重構(gòu)算法是筆者下一步的研究方向。