靜態(tài)電磁場(chǎng)計(jì)算中的廣義有限差分法應(yīng)用

張翌 蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術(shù)學(xué)院

有限差分是電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的一種重要方法，在很多的領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用，比如電機(jī)溫度場(chǎng)的計(jì)算、磁場(chǎng)的計(jì)算等，對(duì)于一些網(wǎng)格變形或者復(fù)雜幾何的問題，如何有效的使用網(wǎng)格劃分的方式進(jìn)行磁場(chǎng)計(jì)算是一項(xiàng)非常重要的難題。無網(wǎng)格法不同于其他的網(wǎng)格數(shù)值計(jì)算，無網(wǎng)格重要是通過節(jié)點(diǎn)信息的方式建立函數(shù)，然后根據(jù)節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系建立鏈接，解決了傳統(tǒng)方法中存在的缺陷。無網(wǎng)格方法在近年來受到了廣泛關(guān)注，成為工程計(jì)算領(lǐng)域中的熱點(diǎn)話題。

1 研究背景

無網(wǎng)格法中，邊界型無網(wǎng)格是在邊界元法的發(fā)展中所得到的一種新的格式配置方法，在邊界元法的基礎(chǔ)上完善了問題維數(shù)的優(yōu)勢(shì)，根據(jù)邊界配點(diǎn)得到邊界元法中較為復(fù)雜的計(jì)算方式。邊界型無網(wǎng)格方法在近幾年的發(fā)展中廣受歡迎，有多種不同的計(jì)算方法，每一種計(jì)算方法都有其自身獨(dú)特的功能，同時(shí)也或多或少的存在一些問題，比如此種方法限制了其應(yīng)用范圍；區(qū)域性無網(wǎng)格正好彌補(bǔ)了邊界型方法中存在的缺陷，對(duì)各種微分方程的邊值計(jì)算具有一定的適用性特點(diǎn)，在工程計(jì)算領(lǐng)域中得到了廣泛的而應(yīng)用。區(qū)域性無網(wǎng)格也有多種不同的計(jì)算方法，其中以廣義有限差分法為主，也就是本文重點(diǎn)介紹的內(nèi)容，廣義有限差分法作為一種新興的區(qū)域性無網(wǎng)格計(jì)算方法，集合了多種功能，組合了控制方程中的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)，解決了傳統(tǒng)有限差分法中存在的依賴性特點(diǎn)，同時(shí)，使用該方法所生成的稀疏陣能夠進(jìn)行快速求解，在國(guó)內(nèi)外的研究中都得到了廣泛的研究，特別是工程領(lǐng)域。自適應(yīng)廣義有限差分法以進(jìn)行自動(dòng)配電，滿足一定的精度要求，還可以實(shí)現(xiàn)四階偏微分方程的邊值計(jì)算，并對(duì)其進(jìn)行求解。對(duì)廣義有限差分法進(jìn)行詳細(xì)的研究后，得到各種因素對(duì)廣義有限差分法帶來的數(shù)值結(jié)果影響。

2 廣義有限差分法基本概念

廣義有限差分法分步驟進(jìn)行，在求解的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行任意設(shè)置，找到與其距離相近的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就稱之為支持域，在這個(gè)支持域中有很多個(gè)點(diǎn)，將多個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值分別在泰勒處展開。得到：

根據(jù)公式（1），得到：

公式（2）表示殘差函數(shù)，根據(jù)最小二乘原理，將公式（2）中的相關(guān)元素進(jìn)行求值，得到：

3 廣義有限差分法的計(jì)算過程

廣義有限差分法在構(gòu)建線性方程的時(shí)候，可以使用泰勒和最小二乘相結(jié)合的方式進(jìn)行構(gòu)建，這種構(gòu)建方式并不需要對(duì)插值函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)還可以有效的避免太過復(fù)雜的區(qū)域?qū)W(wǎng)格帶來的計(jì)算阻礙。在實(shí)際的應(yīng)用過程中，廣義有限差分法與其他的無網(wǎng)格計(jì)算方法相同，比較適用于偏微分方程的計(jì)算問題。既然可以計(jì)算偏微分的方程問題，也可以計(jì)算電磁場(chǎng)問題，其計(jì)算步驟為：

假設(shè)在該網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)有一個(gè)區(qū)域，用 表示，則靜態(tài)電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型為：

其靜態(tài)磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算公式為：

根據(jù)廣義有限差分法的相關(guān)理論知識(shí)，可以將電磁場(chǎng)的計(jì)算步驟進(jìn)行以下總結(jié)：

在區(qū)域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)放點(diǎn)；然后根據(jù)泰勒公式構(gòu)建矩陣；對(duì)于區(qū)域內(nèi)多個(gè)節(jié)點(diǎn)形成代數(shù)方程。在進(jìn)行離散的過程中，一定要注意，如果節(jié)點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，需要盡可能的滿足條件，得到：

如果節(jié)點(diǎn)沒有在區(qū)域內(nèi)，需要滿足條件：

完成上述的計(jì)算后，計(jì)算方程組的值。

4 實(shí)例分析

為了更好的使用廣義有限差分法進(jìn)行靜態(tài)電磁場(chǎng)的計(jì)算，需要不斷完善其計(jì)算方法，在處理一些較為復(fù)雜的問題時(shí)，傳統(tǒng)的有限差分法會(huì)對(duì)網(wǎng)格存在一定的依賴性，從而造成計(jì)算的結(jié)果存在較大的偏差。所以，為了更好地驗(yàn)證廣義有限差分法的有效性，對(duì)比傳統(tǒng)的有限元方法與廣義有限差分法在模擬電位與磁場(chǎng)分布時(shí)的不同之處，將復(fù)雜求解域考慮其中，他對(duì)避雷針的電位分布進(jìn)行模擬計(jì)算，并對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以得到在計(jì)算問題中所存在的差異性。

在具體的實(shí)例中，如果沒有對(duì)其進(jìn)行具體的說明，分布的方式均采用絕對(duì)誤差的方式進(jìn)行計(jì)算，采用四階泰勒展開式的方式對(duì)算例的數(shù)值逼近進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值之間的相對(duì)誤差為：

對(duì)存在金屬電磁場(chǎng)的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，比如有一個(gè)接地的金屬槽，頂蓋與底面的電位分別為與0，能夠滿足區(qū)域內(nèi)的方程條件，其求解的區(qū)域方程為：

解析公式為：

在求解的區(qū)域中選擇若干個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)中所選擇讓點(diǎn)作為支撐域，并使用廣義有限差分法進(jìn)行配電，從而得到有限元的網(wǎng)格解剖結(jié)果。根據(jù)計(jì)算公式，能夠得到廣義有限差分法求解的金屬槽電位，同時(shí)還能夠得到磁場(chǎng)分布的最終結(jié)果。通過不同的計(jì)算方式，能夠得到不同的電位分布效果，說明不管使用哪一種方式都能夠得到較為可靠的計(jì)算結(jié)果。使用廣義有限差分法能夠得到更為準(zhǔn)確的精度，降低相對(duì)誤差，而有限元方法的計(jì)算精度較差些，說明使用廣義有限差分法還是具有十分明顯的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)束語

綜上所述，在靜態(tài)電磁場(chǎng)的計(jì)算中將廣義有限差分法應(yīng)用其中，能夠在非常復(fù)雜的電磁場(chǎng)環(huán)境中得到非常精確的計(jì)算效果，其非線性處理的問題需要作進(jìn)一步的研究。