不同雷諾數(shù)下圓柱繞流多重分形研究

東喬天 張淼

【摘 要】湍流是世界復(fù)雜問題之一，目前還沒有方法準(zhǔn)確的描述湍流。研究通過多重分形去趨勢波動分析（MFDFA）流體力學(xué)中基本的圓柱繞流問題，通過CFD計算獲得四個不同雷諾數(shù)速度場，利用MFDFA方法研究了不同雷諾數(shù)速度流場的尺度特性。結(jié)果在不同雷諾數(shù)下，圓柱繞流的速度場數(shù)據(jù)在變?yōu)橥牧鲿r呈現(xiàn)出不同的尺度特性，雷諾數(shù)越大，湍流的分形測量值越高。本文提供了一種描述自然界湍流的方法。

【關(guān)鍵詞】多重分形;MFDFA;圓柱繞流;湍流

中圖分類號： TP393.06 文獻標(biāo)識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）03-0239-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.03.100

0 引言

當(dāng)人類對自然有更深入的了解時，多重分形不僅僅限于幾何或統(tǒng)計領(lǐng)域，近年來隨著人們對混沌世界和湍流的關(guān)注，多重分形分析逐漸被應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域。流體從層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲿r，可以清晰的發(fā)現(xiàn)某些多重分形特征[1]，而這也為湍流學(xué)者提供了一個新的視角[2]。隨著實驗流體技術(shù)和計算流體力學(xué)的發(fā)展，對湍流分形測量的研究越來越多，如PIV技術(shù)等，可以獲得整個速度場。圓柱繞流是流體動力學(xué)中的一種基本流，當(dāng)雷諾數(shù)較低時，圓柱繞流呈現(xiàn)層流。然而，隨著雷諾數(shù)的增加，流動轉(zhuǎn)化為湍流，當(dāng)流動條件改變時，可以觀察各種卡門渦街的各種形成。

本文著重研究了不同雷諾數(shù)引起的圓柱繞流的多重分形勘探。雷諾數(shù)在一定程度上取決于湍流強度，對于不同的流場，應(yīng)該有不同的分形測度來描述。因此，本文試圖通過計算流體力學(xué)和MFDFA方法，找出圓柱繞流多重分形與雷諾數(shù)的關(guān)系規(guī)律。

1 CFD模型

雷諾數(shù)是本研究中唯一變量，使用相同的網(wǎng)格計算4個不同雷諾數(shù)工況（Re=1，102，103，104），以減少網(wǎng)格數(shù)量或質(zhì)量引起的誤差。

Re=（V×D×ρ）/μ，式中，V為來流速度，D為圓柱直徑，ρ為流體密度，μ為流體粘度。為了方便地改變雷諾數(shù)，來流速度、圓柱直徑和流體粘度都設(shè)置為1。

網(wǎng)格圓柱直徑D=1，整個計算域為80D×40D的矩形，圓柱距速度入口20D，距速度出口60D，距上下壁面20D，以避免速度進出口和壁面的干擾。

圖1顯示了雷諾數(shù)從1到104時，圓柱繞流速度云圖結(jié)果。隨著雷諾數(shù)的增加，邊界層越來越薄。且需要注意的是，當(dāng)雷諾數(shù)較低時，圓柱周圍的流動是層流（如Re=1所示），但當(dāng)雷諾數(shù)增加時，圓柱尾流變成湍流。

2 MFDFA分析

數(shù)值模擬只是獲得整個速度場數(shù)據(jù)的一種方法。為了分析圓柱繞流的多重分形特征，以圓柱后中心線的速度量為研究對象。圖2為不同雷諾數(shù)下圓柱繞流中心線速度場，當(dāng)圓柱繞流為層流時，速度級平穩(wěn)上升，無波動，但當(dāng)氣流轉(zhuǎn)為湍流時，速度級數(shù)據(jù)隨著雷諾數(shù)的增加波動更大。

3 結(jié)果

通過線性多項式去趨勢方法獲得了波動函數(shù)Fq（s），在最小二乘法方程假設(shè)下，擬合h（q）。

從圖3可以明顯看出，當(dāng)Re=102，103，104時，α最小值接近0.84，當(dāng)Re=1時，最小值為1.12;在所有雷諾數(shù)下，f（α）最大值為1。應(yīng)注意，當(dāng)流動從層流轉(zhuǎn)換為湍流時， f（α）最大值的位置值逐漸向前移動，當(dāng)Re=100，α0=1.56，當(dāng)Re=1000，α=1.85，當(dāng)Re=10000，α0=2.25。α被稱為局部分形，它表示一個小區(qū)域的分形，換句話說，α0反映了平均分形度量。隨著雷諾數(shù)的增加，α0增加，湍流的分形也越復(fù)雜。另一方面，隨著雷諾數(shù)的增加，多重分形寬度Δα也隨之增大，進一步證明了多重分形特征的尺度更大。還應(yīng)注意的是，當(dāng)Re=1，流動處于層流，f（α）最大值α=2（圖6中用虛線表示），這意味著層流的多重分形特征接近2維。

綜上所述，當(dāng)圓柱繞流為層流時，圓柱繞流速度大小的分形接近二維。湍流的分形測度隨雷諾數(shù)的增加而增大，隨湍流的發(fā)展而增大。

4 結(jié)論

近年來學(xué)者提出了許多描述湍流特征的方法和技術(shù)，這些方法和技術(shù)鼓勵我們使用分形或多重分形等技術(shù)來分析速度數(shù)據(jù)。本文用CFD計算了不同雷諾數(shù)下圓柱繞流的速度場，并通過MFDFA方法對不同雷諾數(shù)下的多重分形特征、多重分形譜、最大位置和寬度進行了分析，研究結(jié)果表明，層流的分形測量維度接近于2維，當(dāng)流動從層流轉(zhuǎn)為湍流時，隨著雷諾數(shù)的增加，多重分形特征的尺度越大，湍流的分形測量值越高。本研究對流體進行深入的多重分形研究，為認(rèn)識和描述自然界的湍流提供了新的途徑。在下一階段，將整個圓柱繞流的尾流場作為數(shù)據(jù)分析，作為一個系列開展多重分形分析，系統(tǒng)地描述湍流特征。

【參考文獻】

[1]Mandelbrot B B. Intermittent turbulence in self-similar cascades-Divergence of high moments and dimension of the carrier[J].Journal of Fluid Mechanics， 1974， 62（2）： 331-358.

[2]Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature[M]. Macmillan， 1983.