雙壓電疊堆驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器率相關(guān)遲滯建模與分析

李宇陽，朱玉川，李仁強(qiáng)，王振宇，羅 樟

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,江蘇 南京 210016)

0 引言

壓電疊堆執(zhí)行器(PSA)利用壓電陶瓷剛度大，輸出力大，響應(yīng)快和分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于光學(xué)、航空航天、電靜液作動(dòng)器、振動(dòng)控制及醫(yī)療等技術(shù)領(lǐng)域[1]。但壓電陶瓷輸出位移小，且具有遲滯非線性，如壓電疊堆的輸出位移為0.1%～0.2%，導(dǎo)致其應(yīng)用范圍受限。因此，如何合理地將壓電陶瓷的位移放大，使其可應(yīng)用于更多場(chǎng)合成為一個(gè)亟待解決的問題。

針對(duì)智能材料驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器輸出位移小的缺陷，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了杠桿放大、菱形放大、壓曲放大及柔性鉸鏈等多種位移放大機(jī)構(gòu)，雖然這幾種放大機(jī)構(gòu)都可實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器位移的成倍放大，但都存在一個(gè)共性問題，即隨著輸入信號(hào)頻率的升高，輸出位移幅值會(huì)出現(xiàn)較大幅度的衰減。蔣鑫[2]研制的壓曲放大式磁致伸縮執(zhí)行器樣機(jī)，其動(dòng)態(tài)頻寬可達(dá)50 Hz；黃衛(wèi)清等[3]研制了一種4根壓電疊堆驅(qū)動(dòng)的菱形放大機(jī)構(gòu)，實(shí)驗(yàn)表明，在100 V的驅(qū)動(dòng)電壓下，10 Hz時(shí)輸出位移約為18 μm，在100 Hz內(nèi)，頻率每升高10 Hz，輸出位移將減小0.3 μm。研究者的研究范圍多在100 Hz以內(nèi)，未提供更多的位移-頻率數(shù)據(jù)。然而，在電液伺服閥、航空航天作動(dòng)器等領(lǐng)域均需具有高頻響應(yīng)特性的PSA[4]。

壓電材料除輸出位移小外，其固有遲滯特性也受到研究者們的廣泛關(guān)注。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者用Preisach模型、Bouc-Wen模型、Maxwell模型及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等描述PSA的滯環(huán)。Goldfarb等[5]首先采用中心對(duì)稱的Maxwell模型描述壓電材料的遲滯特性，采用無質(zhì)量、受摩擦力的物塊-彈簧系統(tǒng)的輸出力與輸入位移的關(guān)系來描述遲滯現(xiàn)象。裘進(jìn)浩等[6]在此基礎(chǔ)上提出了一種非對(duì)稱的Maxwell模型，將原模型基礎(chǔ)單元拆分成一個(gè)上升段的基礎(chǔ)單元和一個(gè)下降段的基礎(chǔ)單元，使基礎(chǔ)單元的力-位移曲線由原Maxwell模型對(duì)稱的四邊形變?yōu)樘菪?，具有描述非?duì)稱滯環(huán)的能力。

為實(shí)現(xiàn)壓電疊堆執(zhí)行器高頻大位移和高精度控制，本文設(shè)計(jì)了一種雙壓電疊堆執(zhí)行器(DPSA)。它由2個(gè)規(guī)格不同的壓電疊堆同時(shí)驅(qū)動(dòng)(復(fù)合驅(qū)動(dòng))，2個(gè)壓電疊堆間通過套筒連接，通過位移疊加方式實(shí)現(xiàn)位移的增大，并在600 Hz復(fù)合驅(qū)動(dòng)時(shí)輸出位移僅衰減了7.1%。同時(shí)，本文還對(duì)DPSA進(jìn)行遲滯建模與仿真分析，運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程、準(zhǔn)靜態(tài)下的非對(duì)稱Maxwell模型及一階慣性環(huán)節(jié)等建立了DPSA的率相關(guān)模型，并將模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，在600 Hz內(nèi)幅值最大誤差不超過1.71 μm，均方根誤差最大為1.34 μm。對(duì)比結(jié)果證明,本文所建立模型可較準(zhǔn)確地描述執(zhí)行器的遲滯非線性。

1 原理與結(jié)構(gòu)

圖1為DPSA原理圖(以向上為正方向)。2個(gè)壓電疊堆由一個(gè)套筒連接，筒形壓電疊堆1(PZT1)伸長(zhǎng)會(huì)同時(shí)帶動(dòng)套筒向正方向運(yùn)動(dòng)，套筒的運(yùn)動(dòng)會(huì)帶動(dòng)壓電疊堆2(PZT2)向正方向運(yùn)動(dòng)，處于套筒內(nèi)的PZT2在跟隨套筒正向運(yùn)動(dòng)的同時(shí)自身也會(huì)伸長(zhǎng)，從而PZT2頂端的輸出位移是兩疊堆位移的疊加，實(shí)現(xiàn)了在相同執(zhí)行器長(zhǎng)度下產(chǎn)生更大輸出位移的效果。

圖1 DPSA原理圖

根據(jù)現(xiàn)有的壓電疊堆型號(hào)，考慮2個(gè)壓電疊堆間的嵌套關(guān)系，DPSA結(jié)構(gòu)如圖2所示。其中，PZT1和PZT2是2個(gè)不同尺寸的環(huán)型壓電疊堆(PZT1的型號(hào)為PTH1502619201，外徑?26 mm、內(nèi)徑?19 mm、長(zhǎng)度18 mm；PZT2的型號(hào)為PTH1501206201，外徑?12 mm、內(nèi)徑?6 mm、長(zhǎng)度20 mm)。由于PZT2需將導(dǎo)線引出以驅(qū)動(dòng)，故在套筒底部開一個(gè)45°、寬度比導(dǎo)線稍寬的圓弧槽。

圖2 DPSA結(jié)構(gòu)示意圖

在2個(gè)壓電疊堆同時(shí)伸長(zhǎng)時(shí)，傳遞到輸出桿的伸長(zhǎng)量是2個(gè)壓電疊堆位移的疊加，碟簧同時(shí)為2個(gè)壓電疊堆提供必要的預(yù)壓力；2個(gè)壓電疊堆同時(shí)縮短時(shí)，碟簧的回復(fù)力將輸出桿壓回，從而實(shí)現(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。此結(jié)構(gòu)中，碟簧同時(shí)為2個(gè)壓電疊堆提供相同大小的預(yù)壓力，故碟簧的預(yù)壓力應(yīng)滿足：

F預(yù)

(1)

式中:F預(yù)為碟簧提供的預(yù)壓力;F預(yù)max1為PZT1所能承受的最大預(yù)壓力;F預(yù)max2為PZT2所能承受的最大預(yù)壓力。

為防止壓電疊堆損壞，通過調(diào)整預(yù)緊端蓋的旋合長(zhǎng)度，使2個(gè)壓電疊堆承受的初始預(yù)壓力保持在500 N左右。

2 率相關(guān)遲滯非線性模型及參數(shù)辨識(shí)

2.1 非對(duì)稱Maxwell準(zhǔn)靜態(tài)模型

本文采用非對(duì)稱Maxwell模型對(duì)DPSA進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)建模。非對(duì)稱Maxwell模型由若干個(gè)梯形基礎(chǔ)單元疊加而成，梯形可分解為上升段和下降段[6]2個(gè)基礎(chǔ)單元，如圖3(a)、(b)所示。上升段和下降段2個(gè)基礎(chǔ)單元的輸入與輸出分別用2個(gè)有向的三角形單元進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，最終2個(gè)三角形單元可合并成梯形基礎(chǔ)單元。

圖3 非對(duì)稱Maxwell模型基礎(chǔ)單元

上升基礎(chǔ)單元的輸入(位移x)與輸出(輸出力Fu)的關(guān)系可表示為

(2)

下降基礎(chǔ)單元的輸入(位移x)與輸出(輸出力Fd)的關(guān)系可表示為

(3)

最終將各個(gè)單元模型并聯(lián)疊加，得到系統(tǒng)模型表達(dá)式[6]為

(4)

式中：Fi(kT)為第i個(gè)單元當(dāng)前輸出力；Fi((k-1)T)為第i個(gè)單元前一個(gè)采樣周期的輸出力；fui,fdi,kui,kdi分別為第i個(gè)單元上升段摩擦力、下降段摩擦力、上升段彈簧彈性系數(shù)及下降段彈簧彈性系數(shù)；T為采樣周期；Δx為輸入位移增量。

非對(duì)稱Maxwell模型實(shí)質(zhì)是將單位化后的靜態(tài)遲滯曲線的上升段與下降段各取n個(gè)點(diǎn)，斜率變化大的地方取點(diǎn)密集，斜率變化小的地方取點(diǎn)稀疏，通過第i點(diǎn)與第i-1個(gè)點(diǎn)之間的斜率與第i點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，辨識(shí)出n個(gè)ku1i、kd2i與Δxi，從而將原靜態(tài)遲滯曲線簡(jiǎn)化成多段斜率不同且首尾相連的有向線段，完成對(duì)遲滯曲線的描述。分別對(duì)DPSA中2個(gè)壓電疊堆進(jìn)行基于Maxwell模型的準(zhǔn)靜態(tài)參數(shù)辨識(shí)，首先要獲得兩疊堆各自的遲滯曲線。得到兩疊堆各自的準(zhǔn)靜態(tài)遲滯曲線的方法為：在圖2所示的DPSA中，用頻率為1 Hz、峰-峰值140 V、偏置70 V的電壓驅(qū)動(dòng)PZT1，得到PZT1的電壓-位移遲滯曲線；再用同樣的電壓信號(hào)驅(qū)動(dòng)PZT2，得到PZT2的電壓-位移遲滯曲線。在對(duì)兩疊堆分別進(jìn)行Maxwell準(zhǔn)靜態(tài)遲滯辨識(shí)的過程中，上升段和下降段均各取20個(gè)點(diǎn)。由于模型參數(shù)較多，本文僅對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。將PZT1、PZT2的歸一化電壓-位移遲滯曲線分別與辨識(shí)后的Maxwell模型的遲滯曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。由圖可知，Maxwell模型可精確描述執(zhí)行器的滯環(huán)。

圖4 Maxwell模型與實(shí)際滯環(huán)比較

在準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)，壓電疊堆的阻尼力和慣性力可忽略，在輸入電壓-力-位移的傳遞過程中，可認(rèn)為壓電疊堆的力-位移為線性關(guān)系，故電壓-位移與電壓-力的歸一化遲滯曲線相同，因此，將Maxwell歸一化遲滯模型作為壓電疊堆準(zhǔn)靜態(tài)下的電壓-力單位遲滯模型，用Fh1(t)和Fh2(t)表示。

2.2 率相關(guān)遲滯模型的建立

(5)

圖5 DPSA系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

參 數(shù)數(shù) 值PZT1質(zhì)量m1 /g38.16套筒質(zhì)量m2/g6.25PZT2質(zhì)量m3/g15.40輸出桿質(zhì)量m4/g10.31PZT1剛度k1/(N·μm-1)360套筒剛度k2/(N·μm-1)297PZT2剛度k3/(N·μm-1)100輸出桿剛度k4/(N·μm-1)1 654碟簧剛度k5/(N·μm-1)3.24套筒阻尼c2/(N·s·m-1)1 000輸出桿阻尼c4/(N·s·m-1)800碟簧阻尼c5/(N·s·m-1)600

壓電疊堆各項(xiàng)參數(shù)由廠家提供，套筒與輸出桿的參數(shù)由零件結(jié)構(gòu)計(jì)算得到。由于PZT1為單端固定的壓電疊堆，根據(jù)動(dòng)能等效原理[8]，其等效質(zhì)量為m1/3，在仿真中PZT1用其等效質(zhì)量搭建模型。

引入動(dòng)力學(xué)方程描述DPSA系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，但動(dòng)力學(xué)方程并不包含壓電疊堆自身輸出力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。為了描述壓電疊堆輸出力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，將壓電疊堆的力響應(yīng)分為靜態(tài)力響應(yīng)與動(dòng)態(tài)力響應(yīng)，最終壓電疊堆輸出力的形式為二者按比例進(jìn)行疊加，即

(6)

式中：j為壓電疊堆的序號(hào)(j=1,2)，分別表示PZT1與PZT2；Fj(t)為式(5)中F1與F2等同；Fsj(t)為PZTj的靜態(tài)力響應(yīng)；ksj為PZTj靜態(tài)力比例系數(shù)；Fdj(t)為PZTj輸出的動(dòng)態(tài)力響應(yīng)；kdj為PZTj動(dòng)態(tài)力比例系數(shù)。

PZTj的動(dòng)態(tài)力可視為一階慣性環(huán)節(jié)[9]，F(xiàn)sj與Fdj分別為

(7)

式中：kpj為PZTj的單位力放大倍數(shù)，在數(shù)值上等于壓電疊堆的阻斷力；τj為PZTj的一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)，其值可由壓電疊堆階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)得出；Fhj(t)為歸一化處理后的Maxwell模型描述的準(zhǔn)靜態(tài)單位力滯環(huán)。

在輸入電壓頻率很低時(shí)，系統(tǒng)可視為準(zhǔn)靜態(tài)系統(tǒng)，τj的影響可忽略，則在輸入電壓頻率很低時(shí)可化簡(jiǎn)為

Fj(t) =(ksj+kdj)·kpj·Fhj(t) =

kpj·Fhj(t)

(8)

聯(lián)立式(5)～(8)，當(dāng)輸入電壓頻率很低時(shí)，DPSA的電壓-位移遲滯曲線由Maxwell模型與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程決定；當(dāng)輸入電壓頻率高時(shí)，DPSA電壓-位移遲滯曲線由Maxwell模型、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和兩壓電疊堆的一階慣性環(huán)節(jié)共同決定,從理論上說明了該模型可描述DPSA的靜態(tài)遲滯特性和動(dòng)態(tài)遲滯特性。

利用上述理論，在Matlab/Simulink中建立的仿真模型如圖6所示。在模型中通過控制開關(guān)S1與S2的開閉可模擬PZT1、PZT2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)及復(fù)合驅(qū)動(dòng)的狀態(tài)。

圖6 DPSA系統(tǒng)Simulink模型

2.3 遲滯模型參數(shù)辨識(shí)

PZTj一階慣性環(huán)節(jié)的單位力比例系數(shù)kpj在數(shù)值上等于壓電疊堆的阻斷力，由廠家提供的參數(shù)可知，PZT1和PZT2阻斷力分別為7 200 N和3 000 N，故kp1=7 200，kp2=3 000。

由于τj為壓電疊堆自身的性質(zhì)，需去除壓電疊堆外的其他零件進(jìn)行階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，但疊堆工作時(shí)需要一定的預(yù)壓力，因此，在辨識(shí)τj的實(shí)驗(yàn)中移除碟簧，將輸出桿用上端蓋壓緊，下方用稱重力傳感器測(cè)量力響應(yīng)，如圖7所示。

圖7 力響應(yīng)測(cè)試結(jié)構(gòu)圖

在此結(jié)構(gòu)下進(jìn)行了140 V階躍電壓下PZT1單獨(dú)驅(qū)動(dòng)及PZT2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，力響應(yīng)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)如圖8所示。信號(hào)發(fā)生器輸出的階躍信號(hào)經(jīng)功率放大器放大后輸入PZTj，疊堆產(chǎn)生的力會(huì)由底部的壓力傳感器采集、轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，并輸入示波器進(jìn)行顯示。直流電源用來為壓力傳感器供電。

圖8 力響應(yīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試

平臺(tái)一階慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)[10]為

(9)

式中：Fj(t)為PZTj的階躍力；Fmaxj為PZTj階躍響應(yīng)恒定后的力。

實(shí)驗(yàn)中，由于稱重傳感器存在底噪，且所測(cè)得的階躍力為毫伏級(jí)，所用稱重傳感器的靈敏度為600 N/V，故所得結(jié)果存在較大噪聲。為消除噪聲影響，在Matlab中借助Curve Fitting Tool工具對(duì)測(cè)得的階躍力響應(yīng)曲線用式(9)擬合，得到在140 V電壓下PZT1、PZT2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)的階躍力響應(yīng)曲線，如圖9所示，由式(9)可得τ1=138.5 μs，τ2=120.9 μs。

3 執(zhí)行器仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

圖10為雙壓電疊堆執(zhí)行器實(shí)物及其位移測(cè)試平臺(tái)。信號(hào)發(fā)生器輸出的正弦電壓經(jīng)功率放大器放大后輸入PZT1與PZT2，使DPSA輸出桿產(chǎn)生位移，此位移由電渦流采集后轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)在示波器上顯示。

圖10 雙壓電疊堆執(zhí)行器實(shí)物及其位移測(cè)試平臺(tái)

將得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真作對(duì)比，以驗(yàn)證仿真模型的準(zhǔn)確性。在峰-峰值140 V、偏置70 V的電壓、碟簧預(yù)壓力500 N的條件下，對(duì)PZT1單獨(dú)驅(qū)動(dòng)、PZT2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)、復(fù)合驅(qū)動(dòng)3種情況的滯環(huán)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖11～14所示。復(fù)合驅(qū)動(dòng)下模型檢驗(yàn)誤差如表2所示。

圖11 1 Hz驅(qū)動(dòng)DPSA電壓-位移滯環(huán)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

圖12 100 Hz驅(qū)動(dòng)DPSA電壓-位移滯環(huán)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

圖13 300 Hz驅(qū)動(dòng)DPSA電壓-位移滯環(huán)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

圖14 600 Hz驅(qū)動(dòng)DPSA電壓-位移滯環(huán)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

頻率/Hz均方根誤差/μm幅值最大誤差/μm10.4860.711000.9141.033001.0441.636001.3401.71

由圖11～14及表2可知，建立的模型可較好地描述PZT1單獨(dú)驅(qū)動(dòng)的遲滯曲線，對(duì)于PZT2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)及復(fù)合驅(qū)動(dòng)的情況，此模型在準(zhǔn)靜態(tài)下可準(zhǔn)確描述執(zhí)行器滯環(huán)，在動(dòng)態(tài)時(shí)可描述滯環(huán)變化趨勢(shì)。600 Hz內(nèi)，復(fù)合驅(qū)動(dòng)下幅值最大誤差不超過1.71 μm，均方根誤差最大為1.34 μm，隨著頻率的增加，模型誤差有增大趨勢(shì)。在準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)幅值存在誤差的可能原因是壓電疊堆實(shí)際的阻斷力與廠家提供的阻斷力有微小差別，且每次實(shí)驗(yàn)時(shí)功率放大器的放大倍數(shù)可能存在微小波動(dòng)。綜上所述，此模型描述DPSA動(dòng)態(tài)特性的可行性得到驗(yàn)證。

PZT1、PZT2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)及復(fù)合驅(qū)動(dòng)的位移隨頻率的關(guān)系如圖15所示。由位移-頻率曲線可知，到600 Hz為止，DPSA在3種驅(qū)動(dòng)模式下的位移衰減均未達(dá)-3 dB，復(fù)合驅(qū)動(dòng)時(shí)在600 Hz衰減7.1%，與其他位移放大機(jī)構(gòu)相比，響應(yīng)頻率有很大提升，與同等長(zhǎng)度的壓電疊堆執(zhí)行器相比，輸出位移可達(dá)2倍。

圖15 不同驅(qū)動(dòng)形式下DPSA位移-頻率的關(guān)系

4 結(jié)束語

本文提出并設(shè)計(jì)了一種雙壓電疊堆復(fù)合驅(qū)動(dòng)的執(zhí)行器，包含2根尺寸不同的壓電疊堆，可單獨(dú)驅(qū)動(dòng)，也可同時(shí)驅(qū)動(dòng)。利用非對(duì)稱Maxwell模型建立在靜態(tài)下2個(gè)壓電疊堆的電壓-力單位遲滯曲線，并通過一階慣性環(huán)節(jié)描述壓電疊堆的動(dòng)態(tài)遲滯曲線，將合成后的力輸入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。通過仿真與實(shí)驗(yàn)的位移對(duì)比，600 Hz內(nèi)復(fù)合驅(qū)動(dòng)的幅值最大誤差不超過1.71 μm，均方根誤差最大為1.34 μm，說明Simulink模型可描述滯環(huán)變化趨勢(shì)，且有一定的預(yù)測(cè)性。執(zhí)行器在600 Hz內(nèi)，位移衰減了7.1%，與其他位移放大機(jī)構(gòu)相比，其具有很好的高頻性能。本文從原理上驗(yàn)證了雙壓電疊堆作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)位移疊加的可行性，若需要得到更大的疊加位移，可采用更長(zhǎng)且可互相匹配的壓電疊堆進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。