加速度瞬心研究綜述

高申煣，周 濤，韓 剛，王鳳娟

（齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

加速度在理論力學(xué)中具有重要地位，是動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)之間的橋梁。目前，平面圖形各點(diǎn)速度的求解有基點(diǎn)法、投影法和速度瞬心法，在理論力學(xué)課本中表述為在求解加速度時(shí)應(yīng)用基點(diǎn)法，步驟較為繁瑣。應(yīng)用速度瞬心法求解平面運(yùn)動(dòng)剛體上任何一點(diǎn)的速度時(shí)較為簡(jiǎn)便，速度瞬心定義為：在某一瞬時(shí)，平面圖形內(nèi)速度等于零的點(diǎn)稱(chēng)為瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱(chēng)速度瞬心。那么對(duì)于加速度是否也可以應(yīng)用加速度瞬心法來(lái)進(jìn)行求解呢，有很多力學(xué)工作者進(jìn)行了不斷的探究，并對(duì)加速度瞬心進(jìn)行定義為“平面運(yùn)動(dòng)剛體任一瞬時(shí)，加速度為零的點(diǎn)稱(chēng)為加速度瞬心”[1]。作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，每一瞬時(shí)有一個(gè)速度瞬心和一個(gè)加速度瞬心，一般情況下是兩個(gè)點(diǎn)[2]。隨著對(duì)加速度瞬心的不斷深入研究，越來(lái)越多的學(xué)者發(fā)現(xiàn)應(yīng)用加速度瞬心的方便性和準(zhǔn)確性，因此文章對(duì)加速度瞬心的確定方法以及相應(yīng)的性質(zhì)進(jìn)行了總結(jié)和展望。

1 加速度瞬心的確定方法研究現(xiàn)狀

目前多數(shù)學(xué)者應(yīng)用基點(diǎn)法進(jìn)行加速度瞬心理論推導(dǎo)，在某一瞬時(shí)平面圖形的角速度為ω，角加速度為α，已知A的加速度為，以A為基點(diǎn)，平面圖形內(nèi)相異于A的任一點(diǎn)B的加速度為，如圖1所示。

圖1

應(yīng)用基點(diǎn)法求加速度，則有

當(dāng)αBA=αA時(shí)，由于二者方向相反，因此B點(diǎn)的加速度為零，根據(jù)加速度瞬心定義可知此時(shí)B點(diǎn)為加速度瞬心。

孫祝紅[3]提出七種確定剛體的加速度瞬心方法，其中兩種較為方便，其一為：如果給出兩點(diǎn)加速度方向，加速度瞬心為兩條加速度瞬心線(xiàn)的交點(diǎn)。加速度瞬心線(xiàn)是以加速度方向?yàn)榛鶞?zhǔn)線(xiàn)，與角加速度方向同向地轉(zhuǎn)過(guò)θ得到的一條線(xiàn)。當(dāng)角速度為零時(shí)，根據(jù)公式（2）可得θ角為直角，此時(shí)剛體的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于瞬時(shí)平移；當(dāng)角加速度為零時(shí)，可得θ角為零，只有法向加速度，各點(diǎn)的法向加速度交點(diǎn)為加速度瞬心。方法二是找外接圓，即已知A、B兩點(diǎn)加速度方向，設(shè)其交點(diǎn)為C，做ABC三點(diǎn)外接圓，則加速度瞬心一定在該外接圓上。再找兩點(diǎn)其一的加速度瞬心線(xiàn)，瞬心線(xiàn)與外接圓的交點(diǎn)即為加速度瞬心。其文章中根據(jù)加速度瞬心總結(jié)了一個(gè)性質(zhì)，即平面圖形上各點(diǎn)的加速度大小與該點(diǎn)到加速度瞬心B的距離成正比。實(shí)際上根據(jù)公式（3）也可以看出這一性質(zhì)，因?yàn)楫?dāng)B點(diǎn)為加速度瞬心時(shí)，平面圖形上任何相異于B點(diǎn)C的加速度為

所以C點(diǎn)的加速度只與到加速度瞬心的距離有關(guān)，且成正比例。

許政[4]等人根據(jù)基點(diǎn)法提出了找加速度瞬心的方法，在特殊情況下應(yīng)用幾何法找瞬心加速度，其過(guò)程方法與孫祝紅的有些重疊。廖薇[5]等人提出了一種在已知角加速度時(shí)確定加速度瞬心的簡(jiǎn)單方法，但也是應(yīng)用了基點(diǎn)法、公式（2）以及公式（3）。

夏煥雄[6]等人總結(jié)了平面運(yùn)動(dòng)剛體加速度瞬心性質(zhì)，給出了依據(jù)三點(diǎn)加速度方向確定加速度瞬心的代數(shù)證明。但該證明思想同孫祝紅的瞬心加速度線(xiàn)交點(diǎn)法大體一致，推導(dǎo)出兩個(gè)結(jié)論：任意點(diǎn)的加速度方向與該點(diǎn)加速度瞬心位矢方向間的夾角相等；此夾角實(shí)質(zhì)上就是前面提過(guò)的角θ。平面運(yùn)動(dòng)剛體中任意點(diǎn)加速度大小與該點(diǎn)加速度瞬心位矢大小成正比。這就是公式（3）。因此，對(duì)于求解加速度時(shí)，無(wú)論應(yīng)用基點(diǎn)法還是加速度瞬心法，公式（1）、（2）、（3）都是核心部分。

盧其宜[7]等人提出確定曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中連桿加速度瞬心位置的方法，即根據(jù)已知條件作外接圓，可求解連桿上任一點(diǎn)的加速度問(wèn)題，具有工程實(shí)際意義。

張新華[8]針對(duì)剛體平面運(yùn)動(dòng)的加速度分析提出加速度雙心法，即平面運(yùn)動(dòng)剛體存在切向加速度瞬心（切心）和法向加速度瞬心（法心），任何一點(diǎn)的加速度為相對(duì)于切心的切向加速度和相對(duì)于法心的法向加速度矢量和。法向加速度瞬心與速度瞬心重合，切向加速度瞬心不好確定，在一些工程中不方便。

樊麗儉[9]在文獻(xiàn)[4]基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了加速度瞬心。以基點(diǎn)法為出發(fā)點(diǎn)，如果A為加速度瞬心，平面運(yùn)動(dòng)的剛體就可以看成是繞加速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而可求得剛體上各點(diǎn)加速度，這一結(jié)論與文獻(xiàn)[3]相一致。

奚順興[10]等人根據(jù)幾種特殊情況對(duì)加速度瞬心進(jìn)行了一系列的討論。平面運(yùn)動(dòng)的剛體作瞬時(shí)平移時(shí)，如圖2所示。

圖2

當(dāng)A、B瞬時(shí)平移時(shí)，此時(shí)其角速度為零，則A和B的加速度垂線(xiàn)交點(diǎn)P為加速度瞬心。此外，還總結(jié)了三個(gè)直接判斷加速度瞬心的情況為：當(dāng)圓環(huán)（盤(pán)）沿直線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，環(huán)（盤(pán)）心的加速度為零，加速度瞬心在環(huán)心。用基點(diǎn)法求解這類(lèi)情況，當(dāng)盤(pán)作勻速純滾動(dòng)時(shí)，以環(huán)心為基點(diǎn)，這樣看來(lái)，與加速度瞬心法思路相重合；陳家駿[11]提出四種特殊情況下加速度瞬心確定方法：兩點(diǎn)加速度矢互相平行；B點(diǎn)加速度矢沿AB連線(xiàn)；兩點(diǎn)加速度矢間夾任意角度；B點(diǎn)加速度沿某一方向的分量為已知。劉道云[12]應(yīng)用加速度瞬心法解“由靜止開(kāi)始”的初瞬時(shí)相關(guān)問(wèn)題，初瞬時(shí)平面圖形的速度瞬心和加速度瞬心重合，因此可以按速度瞬心確定方法來(lái)確定加速度瞬心。

2 加速度瞬心的應(yīng)用

剛體繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面上有AB兩點(diǎn)，已知OA=2OB，某瞬時(shí) αA=10ms2，方向如圖。則此時(shí)B點(diǎn)加速度大小和方向。

圖3

應(yīng)用加速度瞬心性質(zhì)，O點(diǎn)的加速度為零，可以將O看為加速度瞬心，根據(jù)A點(diǎn)的加速度方向可知圖形的角加速度方向?yàn)槟鏁r(shí)針，根據(jù)文獻(xiàn)[1]加速度瞬心性質(zhì)可以判斷出B點(diǎn)的加速度方向與OB成60o，逆時(shí)針斜向上；加速度大小與點(diǎn)到加速度瞬心的距離成正比，所以有

因此可快速準(zhǔn)確地求解出B點(diǎn)加速度。當(dāng)然，此題可以用基點(diǎn)法，以O(shè)為基點(diǎn)分別對(duì)A、B兩點(diǎn)列方程聯(lián)立求解，較為繁瑣。我們根據(jù)核心公式[2]和[3]也可以求解。

3 結(jié)語(yǔ)

文章通過(guò)回顧現(xiàn)階段學(xué)者和科研人員對(duì)加速度瞬心的研究發(fā)現(xiàn)，目前多數(shù)文獻(xiàn)都是在研究如何確定加速度瞬心、加速度瞬心的性質(zhì)等，且加速度瞬心的確定很大一部分都是根據(jù)基點(diǎn)法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)的，但是數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)證明的較少。此外，加速度瞬心在連桿機(jī)構(gòu)方面的應(yīng)用較少，應(yīng)該向工程應(yīng)用方向進(jìn)行更多地深入研究，以更好地解決工程實(shí)際問(wèn)題。