基于熱力學(xué)規(guī)律對熱傳導(dǎo)正反問題的求解

安亞帥 張鵬程 武暢

摘要：目前我國有很多工作需要在高溫環(huán)境中作業(yè)，高溫作業(yè)專用服作為人與環(huán)境的中間體，充當(dāng)人體保護(hù)層，由此對熱防護(hù)服內(nèi)部熱傳遞規(guī)律的研究是問題的關(guān)鍵.通過數(shù)據(jù)的分析，從I層到IV層建立熱傳遞模型. 基于假設(shè)，主要考慮一種熱傳遞形式——熱傳導(dǎo).熱量由高溫環(huán)境向人體傳導(dǎo)需要穿過構(gòu)成專用服 裝的三層織物材料以及III層與皮膚的間隙.分別建立I、II、III和IV層的導(dǎo)熱偏微分方程式及定解的邊界條件.根據(jù)差分法對偏微方程先進(jìn)行離散化處理，再逐層計(jì)算，求得 每層材料的溫度分布.然后，將得到的溫度分布實(shí)際測的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，優(yōu)化模型，得到最優(yōu)溫度分布.

關(guān)鍵詞：偏微分方程；有限差分法

模型的建立與求解

本文主要考慮一種熱傳遞形式——熱傳導(dǎo).傳熱即由溫差而引起的能量的轉(zhuǎn)移，在 任何時(shí)候，只要在某個(gè)介質(zhì)或者是兩個(gè)介質(zhì)之間存在溫差，便會(huì)發(fā)生傳熱，這種傳熱我們稱為熱傳導(dǎo)，也叫熱擴(kuò)散.傅里葉定律描述了熱傳導(dǎo)的基本定律，即在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時(shí)間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反.熱傳導(dǎo)率是描述材料導(dǎo)熱能力的屬性.為簡便建立模型，假設(shè)熱傳導(dǎo)率不隨溫度變化，看成一個(gè)常量[1].

1模型的建立

I 層高溫作業(yè)專用服中的熱傳遞

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立高溫作業(yè)專用服第 I 層的導(dǎo)熱微分方程 [2]：

I 層初始條件為：

第 I 層邊界條件為：

這里，CA 為第 I 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時(shí)間；x 是垂直于高溫作業(yè)專用 服水平坐標(biāo)；kI 是第 I 層的熱傳導(dǎo)率；LI 是第 I 層的厚度.

II 層高溫作業(yè)專用服中的熱傳遞

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立高溫作業(yè)專用服第 II 層的導(dǎo)熱微分方程：

第二層的邊界條件為：

這里，CA 為第 II 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時(shí)間；x 是垂直于高溫作業(yè)專用 服水平坐標(biāo)；kII 是第 II 層的熱傳導(dǎo)率；LII 是第 II 層的厚度.

III 層高溫作業(yè)專用服中的熱傳遞

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立高溫作業(yè)專用服第 III 層的導(dǎo)熱微分方程：

第三層的邊界條件為：

這里，CA 為第 II 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時(shí)間；x 是垂直于高溫作業(yè)專用 服水平坐標(biāo)；kII 是第 II 層的熱傳導(dǎo)率；LII 是第 II 層的厚度.

IV 層高溫作業(yè)專用服中的熱傳遞

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，可以得到空氣層的熱傳遞模型：

第四層的初始條件：

第四層的邊界條件為：

這里，CA為 IV 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時(shí)間；x 是垂直于高溫作業(yè)專用服水平坐標(biāo)；kIV 是 IV 層的熱傳導(dǎo)率；LIV 是 IV 層的厚度；Lsum =LI+ LII+LIII；tmax是暴露在高溫環(huán)境中的時(shí)間.

2模型的求解

一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的偏微分方程，求解偏微分方程一般都很復(fù)雜，利用有限差值法，先對一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的偏微分方程進(jìn)行離散，確定每層邊界.由左邊界已知溫度，對 其進(jìn)行逐層迭代，然后代入所給的數(shù)據(jù)求得每次材料邊界的溫度.

建立有限差分方程組，上文我們已經(jīng)確定了函數(shù)邊界條件，由中心差分 公式可得到下面的顯函數(shù)方程：

由此建立起 n 個(gè) m 元線性方程組，由迭代法解該方程組即可獲得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值.根據(jù)有限差分法對偏微分方程先進(jìn)行離散化處理，再逐層計(jì)算，求得每層材料的溫 度分布.對于不同的時(shí)刻，溫度分布如圖 2所示：

圖 2 中：X 是垂直于高作業(yè)專用服水平坐標(biāo)，T 為溫度. 由圖可知：當(dāng)時(shí)間為零時(shí)，高溫作業(yè)專用服各層的溫度都為 37?C，隨時(shí)間的增加，熱量逐漸向防護(hù)服內(nèi)傳導(dǎo)，高溫 作業(yè)專用服各層溫度逐漸升高. 當(dāng)達(dá)到某一溫度時(shí)，溫度達(dá)到平衡. 溫度變化趨勢及溫度 分布與實(shí)際的數(shù)據(jù)相吻合.

參考文獻(xiàn)

[1] 朱方龍，服裝的熱防護(hù)功能 [M]，北京，中國紡織出版社，2015.10.

[2] 楊能彪. 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算 [J]. 青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué) 版），2006（04）：24-26.

[3] 李恒熹. 關(guān)于傅立葉（Fourier）定律的表述 [J]. 益陽師專學(xué)報(bào)，1988（06）：79-81+85.

（作者單位：1.河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院；

2.河北工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院）