聚焦“中點” 多樣解題

王海軍

摘要：直線與圓錐曲線的位置關系問題突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學思想方法的應用，要求學生具有較強的分析問題、解決問題的能力及計算能力.本文就“設而不求法”“點差法”“參數(shù)法”三種方法解決中點弦問題加以對比，發(fā)現(xiàn)利用直線的參數(shù)方程解決中點弦問題有“一石二鳥”之效.

關鍵詞：設而不求;點差法;參數(shù)方程

直線與圓錐曲線的位置關系問題是近年來解析幾何問題中的一個高頻考點，尤其是與圓錐曲線有關的相交弦問題以及存在性問題，此類問題計算量偏大，屬于難點，突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學思想方法的應用，要求學生具有較強的分析問題、解決問題的能力及計算能力圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題填空題和解答題中都是命題的熱點.它的一般方法有：“設而不求”法，點差法[1]。本文將從直線的參數(shù)方程這一角度求解中點弦問題.

題1已知橢圓.x2/36+y29=1和點P（4，2），直線l經(jīng)過點P且與橢圓交于A、B兩點.當P點恰好為線段AB的中點時，求l的方程.

解法1設直線l的斜率為k，則其方程為y-2=h（x-4）.

聯(lián)立{36～=1，y-2=k（x-4），消去y得（1+4h2）x2-ly-2=k（x-4）.（32k2-16k）x+（64h：2-64hk-20）=0.

若設A（x，，y1），B（x2，y2），則x+x2=32h2-16k1+4h：2‘

由于AB的中點恰好為P（4，2），所以2x1+x216=k2-8h1+4k2=4.解得k;=-二，且滿足△>0

這時直線的方程為y-2=-1/2（x-4）.

即y=—1/2x+4.

評析此法借助于根與系數(shù)的關系，采用了設而不求的數(shù)學思想.其優(yōu)點在于思路清晰，學生利于理解，便于掌握.此法的不足在于：一是對于直線的傾斜角為90°的情形，需要另行討論;二是對學生的運算能力要求較高，如聯(lián)立方程組消元的過程、檢驗直線是否存在的過程.

解法2設A（x，yi），B（x2，y2），則有=1.（369369

兩式相減得36X2-x36（y2+y1）'=0

整理得hAB=y2-y1__9（x2+x）_

由于P（4，2）是AB的中點，所以x+x2=8，y1+9x8y2=4.于是hxB=36x42”=1/2

所以直線AB的方程為y-2=一（x-4）.

即y=一一x+4.

評析此法為代點相減法（點差法）.此法的優(yōu)點在于易列出5個方程，求得直線的斜率，這一步運算量小不足之處在于：一是直線的斜率不存在的情形此法不可用;二是檢驗的過程依然比較繁瑣，仍需要聯(lián)立方程組，利用方程組有解檢驗，這一步對運算能力的要求依然較高.

解法3設弦AB所在的直線方程為「x=4+tcos0ly=2+tsinθ（t為參數(shù)）.

代入方程等+￥=1，整理得（1+3sin20）t2+（16sinθ+8cos0）t-4=0.①

因為點P（4，2）是弦AB的中點，由參數(shù)t的幾何意義可知，方程①的兩個實根t，t2滿足關系t+t2=0.即16sinθ+8cosθ=0，所以k=tanθ=一

于是直線AB的方程為y-2=-（x-4）.

即y=-x+4.

評析此法為參數(shù)法.即：利用直線的參數(shù)方程「x=x0+tcosθly=yo+tsin0（t為參數(shù)，0為直線的傾斜角）解題，具體如下：設A、B兩點對應的參數(shù)分別為tr，t2，由M（xo，yo）是線段AB的中點知t+tr=0，進而可解出直線的斜率。此法相對于上述兩種方法，不需要考慮直線的傾斜角是否為90°的情形，其次運算量較小，對運算能力的要求較低，而且易于檢驗直線是否存在，明顯優(yōu)于上述兩種方法.

題2已知雙曲線x2-y2/2號=1，經(jīng)過點P（1，1）能否作-條直線l，使l與雙曲線交于A、B，且點P是線段AB的中點若存在這樣的直線I，求出它的方程，若不存在，說明理由.

本題利用韋達定理的解答過程在本文中不再贅述，下面給出點差法和參數(shù)法的解答過程.

解析1（點差法）設存在被點P平分的弦AB，且A（x[，y1）、B（x2，y2）.則x+x2=2，y1+y2=2.

由x一一=1，x-2，兩式相減，得（x+x2）（x1-xn）一（y1+y2）（y1-yz）=0.所以hsn=yu-Y2=2xI-x2

故直線AB方程為y-1=2（x-1）.ry-1=2（x-1）

由（y1+y2）（y1-yz）消去y，得2x2-4x+3=0

因為=（-4）2-4x2x3=-8<0，所以直線AB與雙曲線無交點，即這樣的直線I不存在.

解析2（參數(shù)法）設弦AB所在的直線方程為px=1+tcosθly=1+tsinθ（t為參數(shù)）.

代人方程x2一=1，整理得（2cos30-sin20）t2+（4cosθ-2sin0）t-1=0..②

因為點P（1，1）是弦AB的中點，由參數(shù)t的幾何意義可知，方程②的兩個實根t，t2滿足關系t1+t2=0.即4cos0-2sin0=0，所以h=tanθ=2.

但是需要注意此時方程②為（2cos'θ-4cos20）t2-1=0.即：2tcos20+1=0.此方程無解，所以不存在這樣的直線I.

評析本題屬于探索性問題中的存在性問題，與直接求中點弦的方程是有區(qū)別的.直接求中點弦的方程，間接說明中點弦所在直線是存在的.而存在性問題卻不一定存在，所以必須檢驗.

利用“設而不求”法或者是“點差法”解決此類問題，需要先假設直線存在，先求出直線方程，再利用消元后的二次方程是否有兩不等實根確定中點弦所在直線是否存在，驗證過程相對較為繁瑣，運算能力要求較高.而利用直線的參數(shù)方程可起到“一石二鳥”之效.只要將直線的參數(shù)方程代人圓錐曲線方程就可得關于參數(shù)t的一元二次方程，利用參數(shù)t的幾何意義.可求中點弦所在直線的斜率，此時若_次方程中t2的系數(shù)與常數(shù)項異號，則關于被點M平分的弦一般存在;若二次方程中2的系數(shù)與常數(shù)項同號，則被點M平分的弦可能不存在.

數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學結(jié)果的重要手段.通過直線的參數(shù)方程解決中點弦問題，既有助于促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，又有利于培養(yǎng)學生程序化思考問題的習慣，從而提升學生的數(shù)學運算能力，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

參考文獻：

[1]楊順武.圓錐曲線中點弦問題的解題方法[J].高中課程輔導，2014（10）：291.