離面工作條件下光譜儀多光柵槽型優(yōu)化設計?

陳力斯 胡中文 姜海嬌

(1 中國科學院國家天文臺南京天文光學技術研究所 南京 210042)

(2 中國科學院天文光學技術重點實驗室(南京天文光學技術研究所)南京 210042)

(3 中國科學院大學 北京 100049)

1 引言

空間天文光學觀測是天文觀測技術的重要發(fā)展方向之一.我國在載人航天重大科學工程項目的支持下,正在開展大規(guī)模多波段成像和無縫光譜巡天的研制任務.無縫光譜巡天依托空間站平臺開展從紫外波段到近紅外波段低分辨率無縫光譜觀測,是空間站光學巡天任務中的兩大功能之一.該巡天任務的開展對研究宇宙的起源與演化、探索紫外及早期宇宙的研究等有極為重要的科學意義.

無縫光譜巡天極限星等在一定程度上受無縫光譜效率和無縫光譜光柵衍射效率制約,光柵衍射效率的數(shù)值模擬方法可分為標量波理論和矢量波理論兩大類.標量衍射模型缺乏足夠的精度.矢量波理論本質(zhì)上是嚴格求解麥克斯韋方程,經(jīng)常采用積分法與微分法.其中積分法以有限元法[1]和邊界元法[2]為代表,微分法以嚴格耦合波分析(RCWA)方法為主,同時還包括坐標變換法[3]、有限差分法[4]、基于快速傅里葉分解(FFF)的微分算法[5]等.在光柵衍射效率的優(yōu)化方面,基于標量衍射理論的研究者采用的優(yōu)化設計算法包括各種梯度算法、投影算法、模擬退火算法等.基于矢量波理論的研究者優(yōu)化算法采用遺傳算法、模擬退火法、差分進化算法和梯度下降法等[6?15].

本文針對我國空間站無縫光譜巡天任務優(yōu)化衍射光柵的效率,基于RCWA理論,綜合模式搜索法和差分進化算法的基礎上,對空間無縫光譜3個波段紫外、可見光和近紅外光柵進行了優(yōu)化設計.具體的優(yōu)化過程是首先根據(jù)光譜儀zemax文件確定各個光柵工作的入射角以及離面角,然后依據(jù)上述工作條件優(yōu)化光柵槽型得到最優(yōu)衍射效率.優(yōu)化結果表明,無縫光譜儀中工作在不同波段、不同入射角和不同離面角的多塊光柵通過合理控制槽型,所有光柵在閃耀波長處的理論平均衍射效率可以達到0.83.

2 無縫光譜儀器光柵及光柵衍射效率的仿真

2.1 無縫光譜儀器光柵配置

無縫光譜儀器的核心色散元件是工作在焦面附近的光柵組件,它由工作在不同波段的24塊光柵拼接而成.在光學設計中,各塊光柵單獨優(yōu)化設計達到系統(tǒng)各項指標,每塊光柵工作的入射角、離面角以及工作級次均不相同.前端望遠鏡系統(tǒng)采用離軸三反結構、主鏡口徑2 m、焦比F14,24塊光柵工作在3個不同波段GI、GU、GV,波長范圍覆蓋255–1000 nm.其中GI波段對應波長范圍是620–1000 nm,GU波段對應波長范圍是255–420 nm,GV波段對應波長范圍是400–650 nm,所有的光柵均為透射式平面刻劃光柵,光柵尺寸110 mm×50 mm,工作波段的光柵刻線密度GI為150 g/mm,GV為235 g/mm,GU為333 g/mm.24塊光柵在系統(tǒng)中的整體布局如圖1所示.

圖1 光柵組件整體布局Fig.1 The layout of grating components

2.2 光柵衍射效率仿真的嚴格耦合波分析

從電磁學的觀點來看,求解光柵問題本質(zhì)上是解決邊界值問題.嚴格耦合波分析方法也叫傅立葉模態(tài)方法,傅立葉模態(tài)方法只是解決這個邊界值問題的其中一種方法,它的簡潔性使它成為最常用的衍射光柵建模方法[16].該方法的特點是將電場和磁場擴展為Floquet-Fourier系列同時將介質(zhì)的介電常數(shù)用傅里葉級數(shù)展開,最終轉(zhuǎn)化為求解麥克斯韋方程對應的矩陣特征值問題.首先將包含光柵的3維物理空間分為3個區(qū)域:頂部含有入射平面波的半無限區(qū)域I,入射及反射電磁場在該區(qū)域;中間區(qū)域也稱為光柵區(qū)域或周期區(qū)域G,在該區(qū)域介質(zhì)邊界或折射率存在周期性變化;底部半無限區(qū)域II,透射的電磁場在該區(qū)域,如圖2所示[17].入射/反射區(qū)域I和透射區(qū)域II的折射率分別為nI和nII.光柵的周期為Λ,占空比為f,其線高為d,槽寬w=fΛ.在光柵區(qū)域中建立如圖2所示的直角坐標系,圖中θ為入射光的入射角,入射波波矢kI所在的鉛垂面與xoz平面夾角為?,電場矢量E與kI所在鉛垂面的夾角為Ψ,入射光在自由空間中的波長記為λ0.

圖2 錐形衍射示意圖Fig.2 Schematic diagram of the conical diffraction

應用RCWA求解光柵問題時,首先將光柵區(qū)域的相對介電常數(shù)展開成Fourier級數(shù)的形式,εg為相對介電常數(shù)Fourier展開時的第g級分量.入射場可以用Ψ、θ、?、nI、λ0表示出來.

區(qū)域I的電場矢量為入射電場與各級反射波電場的和,區(qū)域II的電場矢量為各級透射波電場的和.i級反射波的復振幅矢量用Ri表示,i級透射波的復振幅矢量用Ti表示.Ri和Ti均為待定.表達式中的各個波矢分量由弗洛蓋定理求得.

對于光柵區(qū)域的電場矢量Eg和磁場矢量Hg,可用Fourier級數(shù)展開為空間諧波的疊加.電場矢量磁場矢其中、分別為x、y、z方向的單位矢量,ε0為真空中的介電常數(shù),μ0為真空中的磁導率,j為虛數(shù)單位.根據(jù)弗洛蓋定理,第i級波矢在x方向的分量kx,i=k0[nIsinθcos??在y方向的分量ky=k0nIsinθsin?,其中k0=為入射光束在真空中的波數(shù).Sx,i(z)、Sy,i(z)和Sz,i(z)分別是i級衍射諧波的電場復振幅矢量Si(z)在x、y、z方向上的分量.同理,Ux,i(z)、Uy,i(z)和Uz,i(z)分別是第i級衍射諧波磁場復振幅矢量Ui(z)在x、y、z方向上的分量.記Sx= (···,Sx,?2,Sx,?1,Sx,0,Sx,1,Sx,2,···)和=同理,記、分別為Sx,i、Ux,i各個不同級次的x方向分量對z求2階偏導排列成的矩陣.化簡可得到矩陣形式[17]:

其中Ky為一對角元為常數(shù)的N維對角陣,其對角元為波矢分量ky,H為一個N維Toeplitz矩陣,其矩陣元素為光柵介電系數(shù)的各級傅里葉分量.Kx是依次以為對角元構成的對角矩陣,同理Ky是依次以ky,?N,ky,?N+1,···ky,0,···,ky,N?1,ky,N為對角元構成的對角矩陣.此時,麥克斯韋方程組的求解化為求解微分方程(1)式,可以求得Sx、Ux的通解,用求得的Sx、Ux求Sy、Uy.

到這里,光柵區(qū)域中電場矢量和磁場矢量都已求出,有一些常數(shù)需要通過求解邊界條件求得.根據(jù)入射媒質(zhì)和光柵的邊界z= 0處邊界條件方程和光柵和基底的邊界z=d處的邊界條件方程以及在入射媒質(zhì)和基底區(qū)域中利用電場矢量與光波矢量的正交條件[17]可以求得第i級的Ri和Ti.

第i級反射光的衍射效率DEri和第i級透射光的衍射效率DEti為:

其中kI、kII分別為區(qū)域I、II的波數(shù),kI,zi和kII,zi的表達式可以統(tǒng)一表示為:

其中,l=I,II,這里l是一個記號.l= I時對應的nl為nI,對應的是入射/反射區(qū)域I的折射率.Re是取實部運算.Rix、Riy和Riz分別是Ri在x、y、z方向上的分量.同理,Tix、Tiy和Tiz分別是Ti在x、y、z方向上的分量.

對于無縫光譜儀實際的應用,很多時候矩形槽型的光柵不能得到最優(yōu)衍射效率.非矩形槽型的光柵衍射效率計算需要采用階梯近似,將該槽型劃分成多層矩形槽型并配合傳輸矩陣方法實現(xiàn),我們用Matlab編寫了計算任意槽型光柵衍射效率的程序.

3 無縫光譜儀中光柵衍射效率的優(yōu)化

對于單光柵,若待優(yōu)化參數(shù)只有1個,直接采用枚舉法搜索最優(yōu)參數(shù)時需要接近半小時,搜索時間隨最優(yōu)參數(shù)的個數(shù)呈指數(shù)增長.對于無縫光譜儀中的24塊光柵,優(yōu)化程序運行的時間很長,為了提高運算速度,本文采用模式搜索法和差分進化算法結合的方法進行光柵優(yōu)化.

3.1 光柵衍射效率優(yōu)化的模式搜索法和差分進化算法

光柵的優(yōu)化問題本質(zhì)上都可以歸結為關于待反演參數(shù)的某種目標函數(shù)的全局極值問題[18].常用的全局優(yōu)化方法有遺傳算法、模擬退火法、禁忌搜索法等.本文采用模式搜索法和差分進化算法對光柵槽形進行優(yōu)化.模式搜索法[19]是Hooke和Jeeves于1961年提出的,這種方法的基本思想是通過迭代力圖使產(chǎn)生的序列沿“山谷”走,從而接近極小點.差分進化算法和標準進化算法的計算步驟幾乎一樣,不同的是差分進化算法首先執(zhí)行變異過程:在當前種群中隨機選擇3個個體,選里面的2個個體構造差分向量加到第3個個體之上.實現(xiàn)上述變異過程后,執(zhí)行交叉操作和選擇操作,較好的個體進入下一代繼續(xù)迭代,直到滿足算法的終止條件.模式搜索法能快速地收斂到局部最優(yōu)值,本文中經(jīng)過模式搜索法得到差分進化算法的初始種群.利用差分進化算法全局擇優(yōu)的特點,有效避免局部最優(yōu)值,提升了運算效率.該方法相比較于單純依靠隨機方法產(chǎn)生的初始種群具有更大的適應性.算法流程圖如圖3所示.

圖3 優(yōu)化算法流程圖Fig.3 Flow chart of the optimization algorithm

3.2 無縫光譜儀中光柵衍射效率優(yōu)化的算法流程

首先,我們要確定光柵的待優(yōu)化參數(shù)并對光柵建模.不同槽型光柵待優(yōu)化的參數(shù)不同,可以將光柵參數(shù)表示成p= [p1,p2,···,pM],M是待優(yōu)化的參數(shù)個數(shù).對于矩形光柵如圖4 (a),待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為P1= [Λ,d,w].對于鋸齒型(Sawtooth)光柵如圖4 (b),其頂角為直角,有2個幾何參量:光柵周期Λ,左底角la,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為P2= [Λ,la].對于三角形光柵如圖4 (c),三角形光柵有3個幾何參量:光柵周期Λ、左底角la、右底角ra,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為P3=[Λ,la,ra].

對于無縫光譜儀中的光柵,在光學設計中考慮到光譜儀的光譜效率等,刻線密度已經(jīng)確定,因此對于矩形光柵,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為Q1= [d,w].對于三角形光柵,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為Q2=[la,ra].對于鋸齒型光柵待優(yōu)化的參數(shù)為la.光柵基底與光柵區(qū)選取同樣的材料:熔融石英.對于單塊光柵優(yōu)化時,假設工作入射角為3.8?,離面角為10?,工作在+1級.

其次,對光柵待優(yōu)化參數(shù)賦初始值并確定目標函數(shù).在我們的程序中初始值是采用Matlab隨機函數(shù)產(chǎn)生的.對目標函數(shù)的選取,我們一方面要求在閃耀波長處衍射效率盡量大,另一方面,要求在該波段兩端的邊緣波長的衍射效率能大于0.6.記q為待優(yōu)化參數(shù),光柵面形優(yōu)化的數(shù)學模型可以表示為:

其中λ1、λm分別為兩端的波長,λb為閃耀波長.

然后,調(diào)用嚴格耦合波分析算法和模式搜索法,獲得局部最優(yōu)值.

最后,將得到的局部最優(yōu)值作為差分進化算法的初始種群,調(diào)用嚴格耦合波分析算法和差分進化算法,求得最優(yōu)解.

圖4 不同光柵槽型圖Fig.4 Different grating grooves

3.3 光譜儀中多光柵衍射效率的優(yōu)化

該光譜儀中色散元件部分由24塊光柵拼接而成,每塊光柵工作的入射角、離面角以及工作級次均不相同.對于光譜儀中的24塊光柵的衍射效率同時進行優(yōu)化,首先建立光路中光柵的幾何模型,計算各個光柵工作的入射角和離面角.對于不同的光柵,優(yōu)化光柵參數(shù),得到最優(yōu)衍射效率.算法流程如下:(1)根據(jù)無縫光譜儀zemax文件,建立空間直角坐標系,根據(jù)光路的幾何模型求得每個光柵工作的入射角和離面角;(2)根據(jù)待優(yōu)化參數(shù),第1步計算出來的光柵工作參數(shù)以及采用基于RCWA的衍射效率程序,采用模式搜索法和差分進化算法結合的方法優(yōu)化衍射效率.

4 仿真結果

4.1 單光柵衍射效率優(yōu)化結果以及優(yōu)化算法驗證

對于無縫光譜儀近紅外波段的一塊光柵,其對應的工作參數(shù)為:入射角3.8?、波長255–420 nm、刻線密度333 g/mm、閃耀波長337.5 nm、未加增透膜,選擇鋸齒型槽型光柵,優(yōu)化左底角獲得工作在+1級次上衍射效率.通過優(yōu)化光柵參數(shù),可以得到:左底角為12.5?時在保證邊緣波長衍射效率均大于0.6的情況下,+1級衍射效率最大.圖5是衍射效率曲線.

圖5 單光柵最優(yōu)化衍射效率曲線Fig.5 The optimal diffraction efficiency curve for a single grating

圖6是通過窮舉法得到的衍射效率與左底角的關系,驗證了優(yōu)化程序的正確性.可以看到盡管在左底角為12.5?時閃耀波長+1級衍射效率不是最大,但是保證了邊緣波長處衍射效率大于0.6,這在工程上具有重要意義.

圖6 通過窮舉法得到的衍射效率與左底角的關系Fig.6 The relationship between diffraction efficiency and the left bottom angle obtained by enumeration

分別對光柵的槽型設置為矩形和正弦形最優(yōu)衍射效率曲線如圖7所示.可以看到在我們應用背景下,矩形槽型和正弦形槽型最大衍射效率小于0.4,鋸齒型槽型光柵最優(yōu)衍射效率大于0.4.因此在無縫光譜儀光譜儀中,衍射光柵的類型選擇鋸齒型槽型光柵.

圖7 矩形槽型和正弦形槽型最優(yōu)衍射效率Fig.7 The optimal diffraction efficiency for the rectangular and sinusoidal grooves

4.2 多光柵衍射效率優(yōu)化結果

本文對24塊光柵槽型同時進行優(yōu)化,由于不同的光柵工作的入射角、離面角以及光柵本身刻線密度工作級次均不相同,但是考慮到在工程實際中,工作在同一波段內(nèi)的光柵的槽型參數(shù)盡量相同,所以需要對所有光柵同時進行優(yōu)化,獲得最優(yōu)衍射效率.

首先求得光譜儀中每個光柵工作的入射角和離面角,如表1所示.根據(jù)上面求得的每個光柵工作的入射角和離面角,可以對多個光柵同時優(yōu)化.在進行多光柵優(yōu)化的過程中,我們一方面考慮工作波段邊緣波長處衍射效率能盡量大,并且同一波段內(nèi)工作的8塊光柵的槽型參數(shù)盡量相同,另一方面需要獲得在閃耀波長處最大衍射效率.最優(yōu)化槽型參數(shù)結果如下:當光柵工作在+1級時,較小的角度對應的直角邊作為工作面,當光柵工作在–1級時,較大的角度對應的直角邊作為工作面,優(yōu)化結果如表2.對于多光柵,GI波段光柵槽型左右底角分別為15?和75?,GU波段光柵槽型左右底角分別為13.5?和76.5?,GV波段光柵槽型左右底角分別為15.5?和74.5?,對應的中心波長在各自工作級次上平均衍射效率可以達到0.83.

表1 光譜儀中不同光柵的入射角和離面角Table 1 The incident and azimuth angles of different gratings in the spectrometer

表2 光譜儀中不同光柵最終衍射效率Table 2 The final diffraction efficiency of different gratings in the spectrometer

5 結論

本文基于嚴格耦合波分析,采用模式搜索法和差分進化算法結合的優(yōu)化算法對光柵槽形進行優(yōu)化,得到了衍射效率高且滿足工程需要的光柵槽形,達到了預期的目的,滿足了光譜儀研制的需要.模式搜索法和差分進化算法結合的優(yōu)化方法通過模式搜索法得到初始種群,利用差分進化算法全局擇優(yōu)的特點,有效避免局部最優(yōu)值,提升了運算效率,對其他研究中實際光柵的優(yōu)化制作有一定的指導作用.