自由電磁場(chǎng)理論的量子規(guī)范變換和生成元判據(jù)

孫為民

（南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇南京210093）

核子自旋結(jié)構(gòu)問題的研究，自20世紀(jì)80年代后期發(fā)軔以來，在實(shí)驗(yàn)與理論的交互推動(dòng)和促進(jìn)下有了驕人的發(fā)展［1］，在高能物理現(xiàn)象學(xué)界，形成了“高能自旋物理”獨(dú)特的小型專業(yè)領(lǐng)域。JI［2］的原創(chuàng)性基礎(chǔ)研究首次給出了核子自旋的規(guī)范不變分解方案，多年來，此方案被學(xué)界公認(rèn)為最標(biāo)準(zhǔn)的分解形式，指引著自旋物理的研究方向和工作脈絡(luò)。2008 年，CHEN 等［3］提出并建立了一種新的、完全QCD意義的核子自旋分解的整體性方案，在自旋物理領(lǐng)域引發(fā)了一股熱潮［4-5］。 此后，研究者從不同角度，改進(jìn)和發(fā)展了CHEN等的方案，并提出不同的意見和看法，極大地豐富了現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)與理論體系。其中LEADER［6］獨(dú)樹一幟，認(rèn)為CHEN等［3］堅(jiān)持的“規(guī)范不變性”完全沒有必要，現(xiàn)實(shí)規(guī)范理論中，甚至連一個(gè)物理系統(tǒng)的總動(dòng)量、總角動(dòng)量算符也并非規(guī)范不變的。因此，他認(rèn)為堅(jiān)持“規(guī)范不變性”的分解原則是多余和不足取的，在構(gòu)造一般意義的動(dòng)量、角動(dòng)量分解方案時(shí)，最基本的要求是“各部分的動(dòng)量、角動(dòng)量算符”是“相應(yīng)的粒子場(chǎng)算符的平移、轉(zhuǎn)動(dòng)生成元”。據(jù)此提出最原始的“正則形式”的總動(dòng)量和角動(dòng)量分解方式才是自然和物理上唯一正確的。此后，CHEN［7］回應(yīng)并指出，如果定義與考慮“物理的規(guī)范場(chǎng)、費(fèi)米子場(chǎng)”算符，那么，文獻(xiàn)［3］中的“動(dòng)量、角動(dòng)量算符”自然也滿足這一“生成元判據(jù)”。文獻(xiàn)［7］討論的情形，實(shí)質(zhì)上是限于所謂的“庫(kù)倫規(guī)范”的 GIE（Gauge invariant extention，規(guī)范不變擴(kuò)展形式），從數(shù)學(xué)角度看，這種所謂的“物理場(chǎng)”算符，就是通常所說的“Dirac變量”。文獻(xiàn)［4］認(rèn)為，對(duì)于一般的 GIE（即推廣的Dirac變量），這種“生成元判據(jù)”自然是滿足的。因而，這一點(diǎn)似乎已經(jīng)有了“定論”。

本文將重新探討這一問題。事實(shí)上，“生成元判據(jù)”的檢驗(yàn)，需用到量子化場(chǎng)算符的“等時(shí)對(duì)易關(guān)系”，而在規(guī)范理論中，選擇不同的量子化規(guī)范，會(huì)有不同的“算符等時(shí)對(duì)易關(guān)系”，產(chǎn)生的Hilbert空間都不一樣。Dirac變量（也就是GIE）是規(guī)范不變的，它們之間的“等時(shí)對(duì)易關(guān)系”，也不一定就是“標(biāo)準(zhǔn)形式”。 然而，文獻(xiàn)［4］卻完全默認(rèn)了這一點(diǎn)，自然認(rèn)為這種“生成元判據(jù)”一定滿足物理場(chǎng)。原則上，應(yīng)從特定規(guī)范下的算符量子化方案出發(fā)加以檢驗(yàn)。規(guī)范場(chǎng)理論對(duì)一般規(guī)范條件下的（算符）量子化形式無統(tǒng)一的處理方法，通常是對(duì)給定形式做特定的討論。一般而言，任意2種不同規(guī)范下的量子理論的聯(lián)系，即所謂的“量子規(guī)范變換”，是非常困難的，早在 20世紀(jì) 70年代，STROCCHI等［8］就提出了基本理論框架，描述了“量子規(guī)范變換”的構(gòu)造語言，其中討論的是量子電動(dòng)力學(xué)，但并未得到一般情形的顯式構(gòu)造。本文將針對(duì)檢驗(yàn)規(guī)范場(chǎng)理論中“生成元判據(jù)”的基本問題，在最簡(jiǎn)單的“自由電磁場(chǎng)理論”中，選取一類較普遍的“靜態(tài)規(guī)范”作為實(shí)例，采用構(gòu)造性方法，建立從“庫(kù)倫規(guī)范”到“靜態(tài)規(guī)范”的“量子規(guī)范變換”。然后，討論新規(guī)范下的自由電磁場(chǎng)量子理論，包括 Poincaré群生成元的具體構(gòu)造，并檢驗(yàn)這種生成元判據(jù)的正確性。主要工作包括兩部分：首先，建立理論構(gòu)造的基礎(chǔ)，對(duì)于電磁場(chǎng)的量子理論，本文所得的構(gòu)造形式是新的；然后，用此理論具體分析“生成元判據(jù)”問題。本文討論的是最簡(jiǎn)單的規(guī)范場(chǎng)系統(tǒng)，即自由電磁場(chǎng)，結(jié)果表明，這種“生成元判據(jù)”的成立依賴于具體的“規(guī)范條件”，即特定 GIE場(chǎng)的“定義條件”。本文工作對(duì)規(guī)范場(chǎng)理論以及核子自旋結(jié)構(gòu)研究，均有一定的參考作用。

1 量子規(guī)范變換基本形式

本節(jié)的主要目的是建立“量子規(guī)范變換”的構(gòu)造形式。 首先，依照文獻(xiàn)［4］的觀點(diǎn)，即規(guī)范勢(shì)Aμ的“規(guī)范不變擴(kuò)展”，將某一特定“經(jīng)典規(guī)范條件”下的Aμ用場(chǎng)強(qiáng)Fμν表達(dá)（往往是一個(gè)非定域形式的積分表達(dá)式），使其成為“規(guī)范不變式”，與“洛倫茲不變擴(kuò)展”類似。比如，一個(gè)相對(duì)論性粒子的“靜止質(zhì)量”平方滿足：pμpμ=m2，從任何一個(gè)慣性參照系（假定考慮狹義相對(duì)論的平直閔可夫斯基時(shí)空）中看都是不變的。 GIE的基本實(shí)例，即“庫(kù)倫規(guī)范GIE”。 庫(kù)倫規(guī)范條件：?iAi=0，可以唯一確定規(guī)范勢(shì)Aμ（只要加上物理的邊界條件：Aμ(x,t)||x|→∞=0），利用Fμν= ?μAν- ?νAμ，就可以得到庫(kù)倫規(guī)范中的電磁勢(shì)

式（1）稱為“庫(kù)倫規(guī)范 GIE”。 在自由電磁場(chǎng)情形下，式（1）可化為

其中，A⊥i是矢量勢(shì)Ai的橫向部分。在核子自旋結(jié)構(gòu)問題的研究中，提出了多種GIE形式，有“光錐規(guī)范條件”A+=0的 GIE，“軸規(guī)范條件”A3=0的GIE等［9］。這些都是為特定目的設(shè)計(jì)的。在LEADER提出的規(guī)范場(chǎng)理論中，認(rèn)為動(dòng)量、角動(dòng)量算符分解的“生成元判據(jù)”是“適用于物理的規(guī)范場(chǎng)和費(fèi)米場(chǎng)算符”的，因而是正確的。這里的“物理場(chǎng)”等同于數(shù)學(xué)上“推廣的 Dirac變量”，其實(shí)，就是GIE表達(dá)式，即“規(guī)范不變的場(chǎng)”。在特定規(guī)范條件（即GIE的“定義條件”）下，自然回到了原有的Aμ場(chǎng)。本文工作中，筆者試圖從根本上進(jìn)行檢驗(yàn)，則需要研究由“GIE算符”出發(fā)的生成元算符的構(gòu)造，及其之間的基本對(duì)易關(guān)系。GIE場(chǎng)事實(shí)上代表了特定規(guī)范下的規(guī)范勢(shì)，因此，需要從這一類特定規(guī)范下的“量子規(guī)范理論”出發(fā)進(jìn)行討論。

STROCCHI等［8］所建立的理論框架為量子電動(dòng)力學(xué)的“量子規(guī)范變換”提供了一種普遍性的語言，但他們并未給出任意2個(gè)“規(guī)范條件”下相應(yīng)“量子電動(dòng)力學(xué)理論”之間明顯構(gòu)造性的聯(lián)系形式。本文將在一定意義上，從標(biāo)準(zhǔn)的庫(kù)倫規(guī)范到較為廣泛的“靜態(tài)規(guī)范”之間，針對(duì)自由的電磁場(chǎng)理論建立“量子規(guī)范變換”的明顯構(gòu)造形式，并討論這類“靜態(tài)規(guī)范”下的量子化電磁場(chǎng)理論，包括Poincaré變換生成元的具體構(gòu)造方式，從而明確回答了“生成元判據(jù)”是否成立這一問題。

“靜態(tài)規(guī)范”是指這一形式的“線性規(guī)范條件”：PiAi=0，其中，Pi=(P1,P2,P3)是一個(gè)三分量的常數(shù)或微分算子，不包含對(duì)時(shí)間變量的微商運(yùn)算，要求Pi中不顯含時(shí)間或空間坐標(biāo)（從而排除了Poincaré規(guī)范x?A=0這類情形），目的是保持整體理論表述形式的時(shí)空平移不變。

特定規(guī)范下的GIE，實(shí)質(zhì)上就是此規(guī)范下的Aμ場(chǎng)。PiAi=0規(guī)范下的APμ場(chǎng)，同庫(kù)倫規(guī)范?iAi=0下的ACμ場(chǎng)，由于對(duì)應(yīng)于同樣的場(chǎng)強(qiáng)Fμν，兩者之間，必然相差一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的四維梯度［10］：

其中，標(biāo)量函數(shù)f(x)實(shí)質(zhì)上是依賴于場(chǎng)位形的。取式（2）的空間分量：，再由條件，就有

式（3）為決定未知函數(shù)f(x)的一個(gè)非齊次偏微分方程，可用標(biāo)準(zhǔn)的格林函數(shù)法求解，得到

具體采用哪一種格林函數(shù)，由邊界條件決定。于是，有

類似地，由

得

最后，有

接下來建立“靜態(tài)規(guī)范”PiAi=0下的量子場(chǎng)理論。規(guī)范場(chǎng)量子化問題的討論，實(shí)質(zhì)是獨(dú)立自由度的考慮和量子場(chǎng)Hilbert空間的建立。通常在庫(kù)倫規(guī)范量子化中，只有2個(gè)橫場(chǎng)自由度被量子化，生成的Fock空間，只包含橫極化光子態(tài)，而在洛倫茲規(guī)范量子化中，Aμ的4個(gè)分量皆被量子化，生成的量子態(tài) Fock空間中，包含4種極化光子，且具有不定度規(guī)。

借助經(jīng)典場(chǎng)意義的對(duì)映關(guān)系式（5）和（7）來構(gòu)造PiAi=0規(guī)范下量子理論的基本思想。若庫(kù)倫規(guī)范勢(shì)ACμ中包含2個(gè)橫向的物理自由度，那么，由式（5）和式（7）所構(gòu)造的APμ亦如此。 既然，物理自由度數(shù)目一樣，那么，可以直接在原有的“庫(kù)倫規(guī)范的Fock空間”上，建立“新規(guī)范PiAi=0”的量子理論。下面將進(jìn)行具體描述。

取定庫(kù)倫規(guī)范量子化的Fock空間。此Fock空間有唯一的真空態(tài)和一套完整的橫場(chǎng)算符的集合。理論上，任何一個(gè)物理態(tài)都可由場(chǎng)算符的多項(xiàng)式作用于真空態(tài)而得到。定義一種新的量子規(guī)范勢(shì)算符APi：

這在數(shù)學(xué)上無疑是正確和可接受的，從物理意義看，無非是從原有的庫(kù)倫場(chǎng)出發(fā)定義了一套新的場(chǎng)，是在場(chǎng)算符的意義上而非經(jīng)典場(chǎng)函數(shù)的意義上定義的，此過程自然保證滿足“算符規(guī)范條件”：0。 注意，此過程沒有改換 Hilbert空間，即Hilbert空間始終沒變，只是定義了一套新的場(chǎng)，滿足另一種“規(guī)范條件”罷了。再定義：

于是，一套完整的“規(guī)范勢(shì)算符”APμ(x)構(gòu)造成功。

以上便是本文工作基礎(chǔ)構(gòu)造的出發(fā)點(diǎn)。雖然，規(guī)范條件PiAPi=0的形式有無窮多種選擇，原有的庫(kù)倫規(guī)范Fock空間上，就有無窮多套新規(guī)范勢(shì)算符APμ，但其對(duì)應(yīng)的“場(chǎng)強(qiáng)算符”卻完全相同，均為

先看場(chǎng)算符之間“等時(shí)對(duì)易關(guān)系”的形式。庫(kù)倫規(guī)范量子化中，共軛場(chǎng)變量為(AiC,EiC)，其中電場(chǎng)為其間的標(biāo)準(zhǔn)等時(shí)對(duì)易子為

利用式（8），同時(shí)記EPi=ECi，可得

注意到，式（16）右端不再是標(biāo)準(zhǔn)的“三維橫向Diracδ函數(shù)”形式，這是因?yàn)樾枰c“算符規(guī)范條件”PiAPi=0相一致。在一般的靜態(tài)規(guī)范下，有可算出之間的等時(shí)對(duì)易式。利用式（8），就可得

其中，僅涉及橫波極化和相應(yīng)的自由光子態(tài)的產(chǎn)生湮滅算符。由式（8）可得

式（19）為“扭曲的平面波展開”式。

下面討論新的量子化方案（規(guī)范條件PiAi=0決定的量子化形式）的定域性問題和微觀因果性問題。眾所周知，庫(kù)倫規(guī)范下電磁場(chǎng)的量子化理論不是“定域”的，對(duì)任意2個(gè)時(shí)空點(diǎn)x,y，有

顯然，一般情形下，此“對(duì)易子函數(shù)”對(duì)于類空間隔的兩點(diǎn)也是非零的。因此，新規(guī)范下的理論也是非定域的。但是，與庫(kù)倫規(guī)范相同，電磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)算符在類空間隔兩點(diǎn)處總是對(duì)易的，則新規(guī)范下的理論也滿足“微觀因果性”的要求。

接下來，討論 Poincaré變換生成元。 原有的“庫(kù)倫規(guī)范”量子化中，理論上Fock空間承載了Poincaré群的一個(gè)無限維幺正表示。有10個(gè)守恒的 Poincaré群的生成元算符，即能量算符（哈密頓量算符）、動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符、boost生成元算符等。在規(guī)范場(chǎng)理論的動(dòng)量與角動(dòng)量分解問題中，筆者關(guān)心的是動(dòng)量、角動(dòng)量算符。下面先構(gòu)造哈密頓算符，因?yàn)?，依照形式?chǎng)論的觀點(diǎn)，哈密頓算符應(yīng)該是理論上的時(shí)間平移生成元。

因物理自由度仍是2個(gè)，Hilbert空間也沒有變動(dòng)，依據(jù)“規(guī)范不變性”的要求，有

由式（8），有

由式（8）的變換關(guān)系，易得

本文的理論構(gòu)造，實(shí)質(zhì)上就是在庫(kù)倫規(guī)范量子化的Fock空間上，復(fù)制出一套“靜態(tài)規(guī)范”0的自由電磁場(chǎng)量子理論。由于規(guī)范條件0的形式無限多，因此相應(yīng)的“理論復(fù)本”也有無限多個(gè)。比如，可取“扭曲的庫(kù)倫規(guī)范”：cij?iAj=0，其中cij是一組數(shù)值系數(shù)，滿足對(duì)稱性要求：cij=cji，這類“規(guī)范條件”由cij來標(biāo)記。其實(shí)，如果數(shù)值系數(shù)連續(xù)變化，“規(guī)范條件”樣式就是連續(xù)的流形，若允許有更多的選擇，整體結(jié)構(gòu)會(huì)異常豐富，而所有“規(guī)范理論的復(fù)本”都是定義在原庫(kù)倫規(guī)范的Hilbert空間上的。因此，可討論從一種“理論復(fù)本”到另一種“理論復(fù)本”之間的過渡，或曰變換。很明顯，這種兩兩變換的體式，形成了一個(gè)“變換群”，與前文的討論結(jié)果一樣，這種變換不是通過Fock空間上的幺正變換來實(shí)現(xiàn)的。無論從數(shù)學(xué)角度還是量子規(guī)范場(chǎng)論角度看，這樣的研究都是有意義的。

2 生成元判據(jù)

文獻(xiàn)［4］所言的“物理的規(guī)范場(chǎng)”，其實(shí)就是GIE場(chǎng)。從橫場(chǎng)算符的角度看，庫(kù)倫規(guī)范場(chǎng)ACi是“規(guī)范不變的”，依據(jù)式（8）和式（9）的構(gòu)造，新的場(chǎng)，也是規(guī)范不變的。前文已經(jīng)建立了量子化的理論要素，這里研究“自由電磁場(chǎng)”，因此，不存在“分解問題”（除總角動(dòng)量分解為軌道和自旋部分外），需要說明的是，即便是“整體的動(dòng)量、角動(dòng)量算符”，也有非平凡的現(xiàn)象出現(xiàn)。

先看“動(dòng)量算符”。在原有的庫(kù)倫規(guī)范中，有

式（29）反映了理論空間平移不變的特點(diǎn)。規(guī)范條件PiAPi=0的構(gòu)造式中，Pi是不顯含時(shí)空坐標(biāo)的，因此，此“規(guī)范條件”是空間平移不變的。利用式（8）中的構(gòu)造，可得

于是，動(dòng)量算符P同樣也起著APi場(chǎng)的空間平移生成元作用。

再分析“角動(dòng)量算符”。 庫(kù)倫規(guī)范中，ACi(x)是三維矢量場(chǎng)算符，滿足“生成元關(guān)系”：

那么，對(duì)于APi場(chǎng)，類似的關(guān)系式滿足嗎？從物理學(xué)角度看，從現(xiàn)有的ACi場(chǎng)出發(fā)，由式（8）的定義，給出場(chǎng)。因此，在相同的“量子場(chǎng)Hilbert空間”上，可由式（8）得到對(duì)應(yīng)的“生成元變換式”。 注意，式（31）之所以成立，是因?yàn)锳Ci是轉(zhuǎn)動(dòng)的三維矢量。若由式（8）所定義的APi場(chǎng)是一個(gè)三維矢量場(chǎng)，則同樣有否 則 必 有由 式（8），有因 此 ，只 有 當(dāng)Pi=(P1,P2,P3)是一個(gè)真正意義的“三維矢量”時(shí)，才可說APi是一個(gè)真正轉(zhuǎn)動(dòng)的“三維矢量場(chǎng)”。庫(kù)倫規(guī)范條件?iAi=0無疑是符合這一要求的，但任意構(gòu)造的“靜態(tài)規(guī)范”PiAi=0往往不滿足此條件，如“軸規(guī)范條件”A3=0，前文所述的“扭曲的庫(kù)倫規(guī)范條件”cij?iAj=0。

至此，可以得到結(jié)論：文獻(xiàn)中的“角動(dòng)量算符生成元判據(jù)”在“靜態(tài)規(guī)范”的自由電磁場(chǎng)情形下，通常是不滿足規(guī)范條件的。

那么，這一結(jié)論的物理意義是什么？前文已述，庫(kù)倫規(guī)范的Fock空間架設(shè)了Poincaré變換群的無限維幺正表示，所以，10個(gè) Poincaré群生成元算符有良好的定義，由式（8）和式（9）的構(gòu)造性定義可以指明新的APμ(x)場(chǎng)算符的洛倫茲變換方式：若Pi=(P1,P2,P3)非真正的三維矢量，那么規(guī)范條件PiAi=0就不是“空間轉(zhuǎn)動(dòng)協(xié)變”的，此情形可類比于“庫(kù)倫規(guī)范”?iAi=0中的討論。庫(kù)倫規(guī)范條件是“空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變的”，但在boost變換下，卻非協(xié)變的，因此，在一般的boost變換下，可以定義標(biāo)準(zhǔn)的“boost生成元”算符，但不再滿足“標(biāo)準(zhǔn)的boost算符同真正四維矢量場(chǎng)的對(duì)易式”。事實(shí)上，在一般的boost變換下，庫(kù)倫規(guī)范勢(shì)ACμ“先做一次標(biāo)準(zhǔn)的boost，再繼續(xù)上一次附加的規(guī)范變換”，以保證在新的慣性參照系中，庫(kù)倫條件滿足：?′iA′i(x′)=0。同樣，當(dāng)規(guī)范條件PiAi=0明顯非轉(zhuǎn)動(dòng)協(xié)變時(shí)，對(duì)易關(guān)系式[Ji,APj]的具體形式（偏離了“三矢量變換”的標(biāo)準(zhǔn)形式）恰好表明，在三維空間轉(zhuǎn)動(dòng)下先做一次標(biāo)準(zhǔn)的“矢量轉(zhuǎn)動(dòng)”，再做一次“附加的規(guī)范變換”，以此，在轉(zhuǎn)動(dòng)后的新坐標(biāo)系中，恢復(fù)“非協(xié)變的靜態(tài)規(guī)范”：PiAPi=0。

于是得到，在自由電磁場(chǎng)情形下，由于GIE條件的多樣性，即便對(duì)“物理的規(guī)范場(chǎng)”，通常也未能滿足文獻(xiàn)中所提出的“角動(dòng)量算符的生成元判據(jù)”。

3 總結(jié)與展望

針對(duì)自由電磁場(chǎng)理論，建立了從庫(kù)倫規(guī)范到特定“靜態(tài)規(guī)范”的“量子規(guī)范變換”。這種顯式構(gòu)造，令“靜態(tài)規(guī)范”下量子理論的結(jié)果更為充分與豐富。本研究可進(jìn)一步推廣，如當(dāng)“規(guī)范條件”PiAi=0未能“唯一確定規(guī)范”時(shí)，本文所構(gòu)造的“靜態(tài)規(guī)范”下的量子理論其實(shí)是不唯一的，當(dāng)PiAi=0條件下無法唯一確定規(guī)范時(shí)，相應(yīng)的經(jīng)典場(chǎng)方程（3）不能唯一確定“規(guī)范變換函數(shù)”f(x)，于是，相應(yīng)的量子場(chǎng)算符AμP(x)的構(gòu)造方式就不唯一。本文只選擇了一種最簡(jiǎn)單的構(gòu)造形式，PiAi=0條件下的剩余規(guī)范自由度如何影響理論構(gòu)造，有待進(jìn)一步研究。

關(guān)于“生成元判據(jù)”，雖然本文只檢驗(yàn)了“自由電磁場(chǎng)”的情形，但其物理問題的實(shí)質(zhì)是清楚的，即如果“靜態(tài)規(guī)范條件”PiAi=0不是“轉(zhuǎn)動(dòng)不變的”，相應(yīng)的“物理場(chǎng)”算符就不滿足標(biāo)準(zhǔn)的“轉(zhuǎn)動(dòng)生成元關(guān)系”。原則上，可做類似推廣，但“生成元判據(jù)”成立的基礎(chǔ)，即“規(guī)范條件”（GIE的定義條件）的轉(zhuǎn)動(dòng)變換不變性，不會(huì)改變。筆者期望在將來的工作中，這一問題有更明確的結(jié)論，包括由這一理論框架向非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)情形的推廣。