高中排列組合解題技巧研究

摘要：本文主要圍繞高中排列組合問題進(jìn)行研究討論，旨在充分了解排解組合的解題技巧和排列組合的類型題目，為以后學(xué)好概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。排列組合類型的題目相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，也很易于理解，因此其也是考生比拿分的題型，但想全面掌握也是比較困難的，因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)教材中，排列組合的問題類型相對(duì)來(lái)說(shuō)較多，題目和紛繁多樣，而對(duì)于考生來(lái)講，在解答此類問題時(shí)往往會(huì)因?yàn)闆]有分清題目，錯(cuò)用解題方法而導(dǎo)致題目解答錯(cuò)誤。本文就高中排列組合問題的類型進(jìn)行歸納和總結(jié)，目的在于將高中課程中涉及到的排列組合問題進(jìn)行研究和歸納，為今后在解題和高考中遇到問題能夠第一時(shí)間快速準(zhǔn)確的找到解決問題的關(guān)鍵和方法，從而提升解題能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并在高考中取得良好的成績(jī)。

關(guān)鍵詞：排解組合;相鄰問題;相隔問題;定序問題

引言：

通過學(xué)習(xí)高中教材和閱讀課外知識(shí)我們可以了解到，在高中數(shù)學(xué)習(xí)題中或者是高考數(shù)學(xué)常見排列組合問題有相鄰問題，相離問題，定序問題，元素相同問題，圓排列問題等等。而對(duì)這些問題常見的解題技巧有捆綁法，插空法，空位法，隔板法。選取哪一種方法去解決問題是關(guān)鍵，也是我們要討論的目的所在，因?yàn)樵诮獯鹋帕薪M合題目的時(shí)候一定要先判斷清楚題目的類型，再選擇使用什么解題方法，只有這樣才能正確的解決問題，不然如果用錯(cuò)解題方法，將很容易算出一個(gè)錯(cuò)誤的答案。下面對(duì)具體問題進(jìn)行分析：

排列與組合都是計(jì)算從N個(gè)元素中任取R個(gè)元素的取法總數(shù)公式。其主要區(qū)別在于，如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式，否則用排列公式[1]。

一、相鄰問題（捆綁法）

相鄰問題是常見的一類考試題目，常常出現(xiàn)在高考的選擇題中，以2兩種元素為例子（當(dāng)然在考試的過程中可能出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的元素相鄰問題），此類問題有一個(gè)及其明顯的特征，即要求元素A和B在排位時(shí)要在一起[2]。面對(duì)這類問題時(shí)，最簡(jiǎn)單的考慮方式就是就要把元素A和B捆綁到一起作為一個(gè)整體的元素C來(lái)進(jìn)行考慮，也就是將元素C與其它的元素進(jìn)行排列組合，再按照排列組合的公式進(jìn)行解題即可，在解決此類問題的過程中，根據(jù)題目的要求，要充分考慮和注意元素A和B的位置是否可換。下面舉兩個(gè)例子：例子1：有ABCDE五個(gè)元素，進(jìn)行排列組合，要求AB相鄰，問有多少種排列方式？解答：利用捆綁法我們知道，考慮問題的時(shí)候把AB考慮為一個(gè)元素，即AB整體看成Q，所以原題可以看作為QCDE的排列組合，所以原題的結(jié)論為。這就是捆綁法在常見題目中的一種應(yīng)用。例子2：上述的原題如果考慮AB兩個(gè)元素的位置關(guān)系，那么AB兩個(gè)元素的位置關(guān)系只能是AB和BA所以，上述例題將AB元素的位置關(guān)系考慮在內(nèi)的話，就是。

二、相離問題（插空法）

相離問題和相鄰問題一樣也是排列組合經(jīng)?？疾榈念}目之一，以2種元素為例子（當(dāng)然在考試的過程中可能出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的元素相離問題），這一類問題的特征就是要求A和B不能排在一起。當(dāng)遇到這種問題時(shí)，就要將A和B抽出來(lái)，剩下的元素進(jìn)行排列組合，那么開頭、結(jié)尾及每?jī)蓚€(gè)元素之前就會(huì)留下一個(gè)空，接下來(lái)將A和B分別插入這些空里即可。舉例子說(shuō)明和分析，例子1：還以ABCDE，5個(gè)元素進(jìn)行討論，討論AB不排列在一起的情況，那么就是將元素A和B提取出來(lái)，將CDE進(jìn)行全排列，，CDE元素形成的空檔加上首尾一共是四個(gè)空檔位置，也就是將A和B填充到這四個(gè)空檔位置中，即，所以原題可以得到。

三、定序問題（空位法）

定序問題在排列組合中也是比較普遍的一個(gè)考點(diǎn)，但是它不會(huì)單獨(dú)作為考點(diǎn)被考查，而一般是放到其他題目中，作為一個(gè)小考點(diǎn)去考查。定序問題一般是指在排列時(shí)某幾個(gè)元素的相對(duì)位置已經(jīng)確定了，還以兩個(gè)元素為例子，比如要求元素A排列在元素B前面，那么A和B就不需要進(jìn)行排列只需要找到它們的位置就好。那么就可以把A和B空出來(lái)如一共有n個(gè)元素，將剩下的（n-2）個(gè)元素進(jìn)行排列就可以了，排法就是 。

四、元素相同問題（隔板法）

常見形式就是有m個(gè)相同元素，要分成n份。因?yàn)橐竺恳环葜兄辽儆幸粋€(gè)元素，所以可以將m個(gè)元素先排成一排，每?jī)蓚€(gè)元素之間剩下一個(gè)空，用（n-1）塊板插入這（m-1）個(gè)空中，就可以完成了，所有的分法數(shù)就是。針對(duì)這類問題，還有一種解決辦法，在給定的題目中，我們了解到要求每一份中至少有一個(gè)元素，那么我們就先在每一份中都放入一個(gè)元素，剩下的m-n個(gè)元素再進(jìn)行隨機(jī)分配，也可以解除此題。例子：假設(shè)有6個(gè)乒乓球，要分成3份，那么利用上述的第一種方法，可以求得結(jié)果，求得結(jié)果等于10種;那么利用第二種方法可以得到，每一個(gè)份里面必然有一個(gè)乒乓球，那么剩余的乒乓球就是6-3=3個(gè)，將剩余的3個(gè)球隨機(jī)放入三份中，那么就有。所以原題可以求出。

通過這個(gè)例子我們可以看出，解決高中數(shù)學(xué)中的排列組合問題的方法不只是一種，而是很多種，所以在平日的習(xí)題訓(xùn)練過程中，我們要充分找到解題思路和解題方法，只有這樣才能迅速找到解題的有效途徑，獲得事半功倍的解題能力。

五、圓排列問題（直排法）

圓排列問題也是排列組合中常見的考點(diǎn)之一，圓排列的考查點(diǎn)在于首尾相接的問題，當(dāng)題目中出現(xiàn)圓桌，穿成項(xiàng)鏈之類的字眼時(shí)，就表示此類問題是圓排列問題。在解決圓排列的問題中，不妨找出一個(gè)點(diǎn)，將這個(gè)點(diǎn)固定，然后在這條直線上進(jìn)行排列，又因?yàn)閳A首尾相連，所以會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的情況，最后除去重復(fù)的情況即可，計(jì)算式為 。

六、結(jié)束語(yǔ)

排列組合問題雖然說(shuō)在高考中所占的比重不是特別大，知識(shí)點(diǎn)學(xué)起來(lái)也不是特別困難，但是要想學(xué)好學(xué)會(huì)弄懂，卻要下一定的功夫，針對(duì)具體的排列組合問題要找到相應(yīng)的處理方法。只有這樣才能的解決排列組合的問題。從而在高考中取得良好的成績(jī)，并為學(xué)習(xí)好概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩(shī)松 程依明 濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社.2004

[2]徐輝梅.高中數(shù)學(xué)排列組合解題技巧研究[J].高中數(shù)理化.2014 （22）：7-7

作者簡(jiǎn)介：劉宗雨（2000.10）男，民族：漢，學(xué)校：河南省鄭州市第七中學(xué)。