歐拉角和等效軸角參數(shù)表示下機(jī)械腕的軌跡規(guī)劃和奇異性分析

摘 要：為了解決機(jī)械腕的控制問題，研究了由歐拉角和等效軸角參數(shù)表示的數(shù)學(xué)奇點(diǎn)。通過計算角速度和角加速度，研究機(jī)械腕的奇異位形，并根據(jù)它們之間的關(guān)系，設(shè)計了三種軌跡規(guī)劃方案，以保證機(jī)械腕運(yùn)動的連續(xù)性和穩(wěn)定性，以及機(jī)械腕姿態(tài)的優(yōu)雅性和簡潔性，實現(xiàn)實時控制。

關(guān)鍵詞：歐拉角;奇異性;軌跡規(guī)劃

中圖分類號：O152.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，機(jī)器人技術(shù)有了巨大的發(fā)展。機(jī)器人操作手是由一系列連桿和相應(yīng)運(yùn)動組成，要實現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)動，完成規(guī)定的操作，研究機(jī)械腕的運(yùn)動規(guī)律必不可少[1]。在笛卡爾坐標(biāo)系中，機(jī)械腕的空間描述可以用位置矢量和姿態(tài)矩陣來表示[2]。在本文中，我們分析了歐拉角和等效軸角參數(shù)表示下的機(jī)械腕的奇異位形，利用得到的數(shù)學(xué)關(guān)系式，給出了適用于不同條件下的關(guān)節(jié)運(yùn)動控制方案，從而實現(xiàn)機(jī)械腕簡單的操作控制。

1"位姿矩陣

剛體相對于固定坐標(biāo)系的定向描述是運(yùn)動學(xué)的主要研究內(nèi)容。在笛卡爾坐標(biāo)系中，圍繞腕點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的機(jī)械腕的定向可用固定坐標(biāo)系和機(jī)械腕的運(yùn)動坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣表示[3]，而這個旋轉(zhuǎn)矩陣來自于三維歐氏空間的正交群SO（3），作為一個三維流形，SO（3）稱為R3上的旋轉(zhuǎn)群。

描述物體空間位姿通常用歐拉角進(jìn)行定義。設(shè)機(jī)械腕的運(yùn)動坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系重合， 運(yùn)動坐標(biāo)系與Z軸，Y軸，X軸的歐拉角分別為α，β，γ，通過正運(yùn)動學(xué)分析，給定關(guān)節(jié)角向量（α，β，γ）T，可計算出機(jī)械腕的位姿矩陣為

（1）

簡記cα=cosα，sα=sinα，這樣機(jī)械腕的位姿就由Z-Y-X歐拉角確定下來。

同理計算出Z-Y-Z歐拉角確定的位姿矩陣：

R=

eαzeβyeγz

=cα-sα0sαcα0001cβ0sβ010-sβ0cβcγ-sγ0sγcγ0001

=cαcβcγ-sαsγ-cαsβsγ-sαcγcαsβsαcβcγ+cαsγ-sαcβsγ+cαcγsαsβ-sβcγsβsγcβ。（2）

機(jī)械腕的一般運(yùn)動形式是繞給定軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，可以通過旋轉(zhuǎn)變換求出其等效軸角，用等效軸角坐標(biāo)系表示姿態(tài)的變換。設(shè)ω=（ω1，ω2，ω3）T∈R3表示旋轉(zhuǎn)軸方向的單位向量，θ∈R為旋轉(zhuǎn)角度，如果剛體以單位角速度繞ω軸旋轉(zhuǎn)θ角，則等效軸角坐標(biāo)系下的位姿矩陣為

R=eω⌒θ

=I+ω⌒sθ+ω⌒2（1-cθ）

=ω21（1-cθ）+cθω1ω2（1-cθ）-ω3sθω1ω3（1-cθ）+ω2sθω1ω2（1-cθ）+ω3sθω22（1-cθ）+cθω2ω3（1-cθ）-ω1sθω1ω3（1-cθ）-ω2sθω2ω3（1-cθ）+ω1sθω23（1-cθ）+cθ，

（3）

其中ω⌒=0-ω3ω2ω30-ω1-ω2ω10稱為角速度矩陣，是反對稱陣，為三維旋轉(zhuǎn)群SO（3）的李代數(shù)。

2"奇異性分析

根據(jù)逆運(yùn)動學(xué)分析，由（2）式和剛體最終的運(yùn)動姿態(tài)矩陣R=rij3×3，可以計算出相應(yīng)的關(guān)節(jié)角度向量。反解（2）式求得逆運(yùn)動學(xué)方程為

β=atan2（r312+r322，r33），

α=atan2（r23sβ，r13sβ），

γ=atan2（r32sβ，-r31sβ）。

由姿態(tài)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可知，空間剛體姿態(tài)的奇異性是不可避免的。如果sβ≠0， 根據(jù)逆運(yùn)動學(xué)方程可獲得（α，β，γ） 和（α+π，-β，γ+π）兩組解。 但當(dāng)β=0時，僅可求得α+γ的值，當(dāng)β=π時，可求得α-γ的值。即當(dāng)sβ=0時，只能推出α±γ的值，不能確定α，β，γ的值。也就是說，歐拉角參數(shù)表示下的運(yùn)動姿態(tài)存在奇異位形，機(jī)械腕的運(yùn)動性能無法保證，此時的奇異位形被稱為SO（3）的二維子流形。

此外根據(jù)（3）式可得：

cθ=（r11+r22+r33-1）/2，（4）

ω=（ω1，ω2，ω3）T

=12sθ（r32-r23，r13-r31，r21-r12）T。（5）

從（4），（5）式看出，（ω，θ） 和（-ω，-θ）對應(yīng)的位姿矩陣R=rij3×3是相同的，此時控制系統(tǒng)必須在兩種解決方案中進(jìn)行選擇，等效軸參數(shù)表示的運(yùn)動姿態(tài)也存在奇異位形。并且當(dāng)θ趨于0或π時，旋轉(zhuǎn)軸ω變得不明確，奇異現(xiàn)象更為嚴(yán)重，需要進(jìn)一步研究。

因為位姿矩陣R是正交矩陣，滿足RRT=I3×3。求導(dǎo)得：R·RT+R·RT=03×3 ，

即R·RT+（R·RT）T=03×3，令ω^=R·RT，表示剛體瞬間的角速度矢量矩陣。

由（2）式計算，可得

·cαβ·+sαsβγ·α+cβγ·0sαβ·-cαsβγ·-cαβ·-sαsβγ·-sαβ·+cαsβγ·0。（6）

（6）式給出了關(guān)節(jié)空間中歐拉角速度矢量與笛卡爾空間中腕部角速度矢量的關(guān)系，其對應(yīng)的矢量形式為

ω= ω1ω2ω3=0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα·β·γ·。 （7）

記J=0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβ，稱為Z-Y-Z歐拉角參數(shù)表示下的雅可比矩陣。易算得J=-sβ，顯然當(dāng)β=0或π時，雅可比矩陣奇異在這些點(diǎn)上，給定機(jī)械腕的角速度，無法確定關(guān)節(jié)角速度，Z-Y-Z型歐拉角參數(shù)表示的運(yùn)動姿態(tài)存在一階運(yùn)動奇異位形。下面我們對（7）式進(jìn)一步求導(dǎo)，可得剛體的瞬時空間角加速度

ω·1ω·2ω·3=0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα¨β¨γ¨+

-cα-sαsβcαcβ-sαcαsβsαcβ00-sβα·β·α·γ·β·γ·。（8）

當(dāng)β=0或π時，需要無限的關(guān)節(jié)角加速度來產(chǎn)生有限的機(jī)械腕角加速度，這樣施加在旋轉(zhuǎn)接頭上的扭矩將變?yōu)闊o限大。因此在這些點(diǎn)上，存在二階奇異運(yùn)動， 角速度和關(guān)節(jié)加速度的控制將會中斷[4]。

此外由（3）式可得

ω^=R·RT=0-ω3θ·ω2θ·ω3θ·0-ω1θ·-ω2θ·ω1θ·0，（9）

ω=（ω1，ω2，ω3）Tθ·。（10）

其中θ·是角速度矢量。顯然當(dāng)θ等于0時，機(jī)械腕位形奇異;僅當(dāng)θ·或θ¨不等于0時，才能保證運(yùn)動的正常進(jìn)行。

3"機(jī)械腕的軌跡規(guī)劃

在運(yùn)動學(xué)中，軌跡規(guī)劃通常在任務(wù)空間或關(guān)節(jié)空間中執(zhí)行。在工程實踐中我們需要預(yù)期平滑的軌跡。但是在某種情況下，關(guān)節(jié)空間中的軌跡不是直線的，這將導(dǎo)致機(jī)械腕的定向精度變差，并增加關(guān)節(jié)控制的復(fù)雜性。如果在聯(lián)合空間中執(zhí)行軌跡規(guī)劃，則保持關(guān)節(jié)平穩(wěn)運(yùn)行是可行的，但機(jī)械腕在此過程中運(yùn)行不穩(wěn)定。以上情況是由SO（3）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)引起的，它不是簡單的連通空間，而是道路連通空間，換句話說，存在一個“奇點(diǎn)”。如果我們要保證在任務(wù)空間中準(zhǔn)確定位并在關(guān)節(jié)空間中平穩(wěn)運(yùn)行，則不能保證運(yùn)動的連續(xù)性。在這種情況下，運(yùn)動可以分為以下三種情況。

（1）任務(wù)空間中的軌跡規(guī)劃

如果我們希望機(jī)械腕在任務(wù)空間中平穩(wěn)移動，則角速度矢量或角加速度矢量應(yīng)保持恒定。通過ω=（ω1，ω2，ω3）Tθ·和ω·=（ω1，ω2，ω3）Tθ¨，我們知道θ·或θ¨應(yīng)該保持不變。對應(yīng)于（7）和（8）式，可得

0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα¨β¨γ¨+

-cα-sαsβcαcβ-sαcαsβsαcβ00-sβα·β·α·γ·β·γ·=0，（11）

和0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα·β·γ·=0。

（12）

也就是說，關(guān)節(jié)角速度矢量α·，β·，γ·T和關(guān)節(jié)角加速度矢量α¨，β¨，γ¨T必須滿足等式（11）和（12）。在這種情況下，施加在關(guān)節(jié)上的扭矩變化時，相應(yīng)的關(guān)節(jié)角速度矢量和角加速度矢量必須隨之改變，因此控制問題變得復(fù)雜。 所以上述方法適用于被動關(guān)節(jié)，如球形關(guān)節(jié)。 而對于主動關(guān)節(jié)，則增加了實時控制的難度。

（2）聯(lián)合空間中的軌跡規(guī)劃

機(jī)械腕一般設(shè)計成主動關(guān)節(jié)，選擇三個歐拉角作為控制參數(shù)。如果要求主動關(guān)節(jié)的運(yùn)動平穩(wěn)進(jìn)行，最佳軌跡規(guī)劃應(yīng)在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行，α·，β·，γ·T 或α¨，β¨，γ¨T必須是恒定的，以確保聯(lián)合規(guī)劃是可行的。但從（7）和（8）式可以看出，角速度矢量ω和角加速度矢量ω·易發(fā)生變化，所以機(jī)械腕的運(yùn)動不能在空中保持平穩(wěn)。也就是說，機(jī)械腕的旋轉(zhuǎn)軸隨時變化，這將導(dǎo)致機(jī)械腕運(yùn)動不穩(wěn)定和定向準(zhǔn)確性更差。

（3）精確定位的軌跡規(guī)劃

在Z-Y-Z歐拉角參數(shù)表示下，假設(shè)運(yùn)動由三個獨(dú)立的關(guān)節(jié)連續(xù)致動。當(dāng)前一關(guān)節(jié)動作結(jié)束時，下一動作才可執(zhí)行。在這種情況下，無論在任務(wù)空間還是在關(guān)節(jié)空間，過渡點(diǎn)的運(yùn)動都不能平穩(wěn)地動作，運(yùn)動雖然定向精度最佳，但其連續(xù)性會變差。

4"結(jié)論

通過計算姿態(tài)矩陣的一階、二階運(yùn)動學(xué)方程，得出了關(guān)節(jié)空間和任務(wù)空間之間的角速度和角加速度的關(guān)系。

分析了機(jī)械腕運(yùn)動機(jī)構(gòu)的奇異性， 設(shè)計了三種軌跡規(guī)劃方案，分析了各自的優(yōu)缺點(diǎn)和適應(yīng)性，為實現(xiàn)機(jī)械腕的簡單操作控制，提供了理論依據(jù)。

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Singularity and Trajectory Planning of the Mechanical Wrist in Euler

Angles and Equivalent Axis Angle by Parameters Representation

WANG Yuhua1*，JIANG Qingchang2，YE Xiuyu3，LIU Xinzhu2

（1. College of Science， Jiamusi University， Jiamusi 154007， China;

2. College of Mechanical Engineering， Jiamusi University，Jiamusi 154007， China;

3. Jiamusi No.20 Middle School， Jiamusi 154007， China）

Abstract：

Aiming at the control problem of mechanical wrist， the mathematical singularities expressed by Euler angle and equivalent axial Angle parameters were studied. By calculating the angular velocity and angular acceleration， the singular configuration of the mechanical wrist was studied， and according to the relationship between them， three kinds of trajectory planning schemes were designed to ensure the continuity and stability of the movement of the mechanical wrist， as well as the elegance and conciseness of the posture of the mechanical wrist， so as to realize the real￣time control.

Key words：

Euler angles; singularity; trajectory planning

作者單位：

（1.佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007;2.佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007;3.佳木斯市第二十中學(xué)，黑龍江 佳木斯 154007）