基于分形理論的導(dǎo)電模型及應(yīng)用

王 京 悉

(同濟(jì)大學(xué)，上海 200092)

0 引言

飽和多孔介質(zhì)(例如土壤、巖石)的電輸運(yùn)性質(zhì)受孔隙空間的非導(dǎo)電固體基質(zhì)和孔隙間充填的流體影響很大，相關(guān)研究成果在油藏工程與巖石物理學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[1]。沉積巖的電導(dǎo)率與孔隙形狀、分布以及地層水電導(dǎo)率有很大關(guān)系，測(cè)量結(jié)果的解釋有賴于對(duì)巖石導(dǎo)電機(jī)制的認(rèn)識(shí)。常規(guī)理論模型假設(shè)僅存在一種導(dǎo)電組分(例如孔隙水)，進(jìn)而研究孔隙流體電導(dǎo)率、孔隙度、飽和度以及孔隙結(jié)構(gòu)對(duì)巖石整體電導(dǎo)率的影響。以往的大部分研究多側(cè)重于經(jīng)驗(yàn)層面，或者是理論研究與經(jīng)驗(yàn)公式的組合。其中最廣泛應(yīng)用于電阻率測(cè)井解釋以及儲(chǔ)層評(píng)價(jià)的巖石物理關(guān)系是Archie公式[2]，它反映了骨架不含導(dǎo)電礦物成分情況下巖石電導(dǎo)率與孔隙度以及孔隙微觀幾何結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。巖石的導(dǎo)電性不僅與泥質(zhì)的附加導(dǎo)電性有關(guān)，還受到孔隙形狀、尺寸以及分布的影響。Wyllie等[3]使用彎曲毛細(xì)管模型解釋電流在復(fù)雜孔隙空間中的流動(dòng)路徑，將單位體積巖石的孔隙空間等效為一個(gè)相等直徑的曲折毛細(xì)管，其體積等于孔隙空間，毛細(xì)管電導(dǎo)率等于巖石電導(dǎo)率。這種方法的缺點(diǎn)是沒有考慮巖石孔隙直徑大小的變化以及孔隙呈現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)狀的特征。Winsauer[4]提出地層因素可以表示為曲折度、導(dǎo)電電解質(zhì)的表觀橫截面積與巖石所含電解質(zhì)總橫截面積之比的函數(shù)。該方法通過測(cè)量一定電位梯度下通過水相介質(zhì)的離子傳輸時(shí)間確定完全鹽水飽和砂巖的曲折度。在此基礎(chǔ)上，Perkins等[5]通過實(shí)驗(yàn)研究了含有水和油的砂巖樣品的水相的曲折度、飽和度、電導(dǎo)率與巖石整體電導(dǎo)率之間的關(guān)系。

Mandelbrot[6]首次提出分形概念并建立分形幾何理論，用以解釋自然界中不規(guī)則且具有高度復(fù)雜結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象。分形是具有非整數(shù)Hausdorff維數(shù)的集合，這些具有嚴(yán)格的或統(tǒng)計(jì)自相似性的附加屬性的集合已被廣泛用于模擬各種物理現(xiàn)象[7]。分形的維數(shù)稱為分?jǐn)?shù)維，是對(duì)分形幾何復(fù)雜程度的定量表征，也是分形理論的基本參數(shù)。在分子尺度大小和微觀范圍內(nèi)，包括天然巖石在內(nèi)的大多數(shù)材料的表面都顯示出不規(guī)則性和缺陷，在分辨率變化時(shí)，表現(xiàn)出自相似性。規(guī)則物體的測(cè)量結(jié)果與測(cè)量所選用的尺度無關(guān)，但用不同尺度測(cè)量具有分形特征的物體時(shí)，結(jié)果會(huì)有所不同。現(xiàn)有資料表明，天然多孔介質(zhì)和部分人工制造的多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)具有分形特征。目前，分形理論已在石油天然氣行業(yè)取得了許多應(yīng)用成果，例如識(shí)別沉積旋回[8]、表征油藏儲(chǔ)層的孔隙結(jié)構(gòu)[9]、滲透率[10]、巖性劃分[11]、地震記錄的分形結(jié)構(gòu)[12]、裂縫形態(tài)分布[13-15]等。分形模型與傳統(tǒng)模型的不同之處在于可以直接描述或通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證巖石的微觀結(jié)構(gòu)。Katz等[16]和Krohn等[17]以巖心掃描電鏡二維圖像為基礎(chǔ)，分析了砂巖、頁巖和碳酸鹽巖的孔隙結(jié)構(gòu)。除此之外，還有其他實(shí)驗(yàn)方法可以進(jìn)行巖石分形特征的研究，例如中子散射和X射線散射。Roy等[18]利用粒子擴(kuò)散理論，推導(dǎo)出電導(dǎo)率與孔隙度之間存在一種指數(shù)關(guān)系。Nigmatullin[19]利用分形理論與毛細(xì)管束模型，推導(dǎo)出巖石電導(dǎo)率與孔隙度的關(guān)系。類似地，Wei等[20]通過研究得到了巖石整體電導(dǎo)率的分形表達(dá)式。

巖石的孔隙結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，即使通過實(shí)驗(yàn)也無法準(zhǔn)確描述巖石的微觀結(jié)構(gòu)及流體分布。學(xué)者們從不同方面對(duì)巖石電導(dǎo)率進(jìn)行研究，取得了對(duì)巖石微觀孔隙結(jié)構(gòu)與電導(dǎo)率之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解。本文從分形理論出發(fā)，建立了一種適用于研究區(qū)儲(chǔ)層含水飽和度評(píng)價(jià)的導(dǎo)電模型，以提高該地區(qū)儲(chǔ)層含水飽和度的解釋準(zhǔn)確度。

1 方法原理

點(diǎn)、曲線、曲面和立方體的分形維數(shù)可用歐幾里得幾何方法描述，其分形維數(shù)分別為0、1、2和3。與每個(gè)維度相關(guān)聯(lián)的是對(duì)相應(yīng)物體的度量，例如線的長度、曲面的面積和立方體的體積。然而，自然界中的許多物體并不符合歐幾里得描述特征，因?yàn)樗鼈兊拈L度、面積或體積與度量的尺度有關(guān)。分形物體的度量M(L)與測(cè)量尺度L滿足標(biāo)度關(guān)系[21]

M(L)～LDf

(1)

式中Df是與分形過程相關(guān)的常數(shù)。對(duì)天然多孔介質(zhì)的研究表明，孔隙系統(tǒng)具有分形性質(zhì)。對(duì)于這樣的復(fù)合系統(tǒng)，很明顯，“微觀”長度的尺度遠(yuǎn)小于宏觀物體的尺寸，但遠(yuǎn)大于其組成分子的尺寸。

在完全破碎的分形多孔介質(zhì)中，粒度確定了分形尺度的上限與下限，Rieu等[22]提出孔隙度Φ可以根據(jù)粒度定義為

(2)

進(jìn)而，孔隙分形維數(shù)Df可表示為

(3)

式中Rmax和Rmin分別表示最大和最小粒徑。將多孔介質(zhì)簡(jiǎn)化為一簇變截面毛細(xì)管組成的毛細(xì)管束，則毛細(xì)管的直徑λ與多孔介質(zhì)的測(cè)量長度L0滿足[23]

(4)

式中：L(λ)是彎曲毛細(xì)管的長度；DT是毛細(xì)管曲折度T的分形維數(shù)，對(duì)于二維和三維空間，其取值范圍分別是1≤DT<2和1≤DT<3。當(dāng)DT=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于直毛細(xì)管； 1

曲折度可以用電流必須經(jīng)由的路徑長度Le定義。因?yàn)殡娏鞯牧鲃?dòng)取決于巖石的孔隙結(jié)構(gòu)與分布、潤濕性和含水飽和度，所以相同含水飽和度時(shí)的曲折度并不是唯一的，它還與介質(zhì)的分形特征有關(guān)。實(shí)際上，考慮分形特征的巖石導(dǎo)電性質(zhì)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)并不易實(shí)現(xiàn)。為了解決這個(gè)問題，可以采用一種簡(jiǎn)化方法，即含水飽和度Sw為1.0時(shí)的曲折度表示為

(5)

Wyllie等[3，24]將毛細(xì)管截面積Ae在不同的情況下分別表示為ΦA(chǔ)或Φ2A(其中A是樣品的截面積)； Cornell等[25]認(rèn)為Ae=ΦA(chǔ)L0/Le； Abdassah等[26]考慮不同潤濕性的影響，提出

Ae=AΦSwP/T

(6)

式中P為導(dǎo)電連通的概率，其大小取決于巖石的潤濕性。巖石的總電導(dǎo)率可表示為[26]

(7)

聯(lián)立式(5)～式(7)，電阻率表達(dá)式為

(8)

式中Rw是地層水電阻率。Wei等[20]認(rèn)為使用等效曲折度Te代替式(8)中的T更為恰當(dāng)。Te的表達(dá)式為

(9)

圖1 不同潤濕性時(shí)電導(dǎo)率與含水飽和度的關(guān)系曲線

2 應(yīng)用實(shí)例

研究區(qū)儲(chǔ)層孔隙度和滲透率較低，儲(chǔ)層巖性復(fù)雜、物性差、非均質(zhì)性較強(qiáng)。對(duì)儲(chǔ)層特征研究的深度不夠，導(dǎo)致對(duì)儲(chǔ)層性質(zhì)縱橫向的變化認(rèn)識(shí)不足，使得油水層識(shí)別困難，限制了油氣勘探的步伐。因此，急需開展儲(chǔ)層電性及油水層識(shí)別方法的研究，為下一步開發(fā)和增儲(chǔ)增產(chǎn)提供技術(shù)支持。

確定含水飽和度的最準(zhǔn)確和最可靠的方法是實(shí)驗(yàn)測(cè)量，但缺點(diǎn)是樣品數(shù)量有限和測(cè)量成本較高。在測(cè)井解釋中，含水飽和度的計(jì)算仍然是一個(gè)難題，尤其對(duì)于富含有機(jī)質(zhì)或?qū)щ姷V物且具有低孔隙度和低滲透率的儲(chǔ)層。復(fù)雜儲(chǔ)層中巖石電性往往表現(xiàn)出Archie公式不能描述的現(xiàn)象，即非Archie特性。為了適應(yīng)這類儲(chǔ)層飽和度評(píng)價(jià)的需要，以Archie公式為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)性擴(kuò)展模型已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[27-29]。無論哪種飽和度模型都有其優(yōu)勢(shì)，但同時(shí)也存在一定的局限性。Archie公式只適用于孔隙結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的純砂巖地層，參數(shù)涉及物性、巖性以及裂縫展布方向等，這些參數(shù)常由巖電實(shí)驗(yàn)確定。

研究區(qū)儲(chǔ)層巖石呈油潤濕，即P=(Sw)2，由式(8)和式(9)可得

(10)

然而，使用上式計(jì)算得到的含水飽和度較巖心分析結(jié)果偏小，這種差異主要?dú)w因于泥質(zhì)導(dǎo)致電阻率降低。對(duì)上式乘以一個(gè)因子

(11)

可修正這種影響。這樣，含水飽和度的分形計(jì)算公式為

(12)

式中：Δtsh表示泥巖聲波時(shí)差，其值應(yīng)從整個(gè)井段選?。荒z結(jié)指數(shù)m的計(jì)算方法參照文獻(xiàn)[20]。根據(jù)式(12)就可以計(jì)算得到較為合理的儲(chǔ)層含水飽和度Sw。

在含水飽和度解釋中，將分形模型應(yīng)用于研究區(qū)A井的實(shí)際資料處理，Rw取0.08～0.10Ω·m，結(jié)果見圖2a。由圖可見，基于分形模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)含水飽和度的變化趨勢(shì)大致相同。

為了驗(yàn)證估計(jì)參數(shù)的合理性，選擇鄰近B井同一層段、具有巖心分析資料的井段進(jìn)行處理，結(jié)果見圖2b。由圖可見，基于分形模型計(jì)算得到的含水飽和度與巖心分析數(shù)據(jù)結(jié)果基本一致。

該區(qū)兩口井的應(yīng)用結(jié)果表明，利用本文方法計(jì)算得到的含水飽和度可靠性高。

圖2 A井(a)和B井(b)基于分形模型計(jì)算的Sw曲線及巖心分析數(shù)據(jù)

3 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

儲(chǔ)層巖石孔隙的分形維數(shù)反映孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，孔隙結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)越大，則孔隙結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，非均質(zhì)性也越強(qiáng)。本文在巖石孔隙具有分形特征基礎(chǔ)上，基于分形理論建立了導(dǎo)電模型，并對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理。通過測(cè)井資料，可以直接求取孔隙度，據(jù)此可得到模型計(jì)算所需的參數(shù)。對(duì)研究區(qū)兩口井的含水飽和度解釋結(jié)果與實(shí)際巖心測(cè)試資料進(jìn)行比較，二者的一致性較高，證明本文方法可計(jì)算得到較為準(zhǔn)確可靠的含水飽和度數(shù)據(jù)，為有效儲(chǔ)層評(píng)價(jià)和生產(chǎn)開發(fā)提供了可靠依據(jù)。