非等邊三面角反射器RCS的解析表達(dá)與有效散射區(qū)域分析

閆華，李勝，殷紅成

(1.中國(guó)傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院 北京 100024；2.電磁散射重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854)

1 引言

在較大入射角度范圍內(nèi)，三面角反射器能將入射電磁波反射到相反的方向上去，從而具有較強(qiáng)的后向雷達(dá)散射截面積(RCS)。正是由于該優(yōu)點(diǎn)，三面角反射器被廣泛應(yīng)用到雷達(dá)標(biāo)定、雷達(dá)干擾、海上搜救、雷達(dá)目標(biāo)物理模擬等領(lǐng)域[1][2]。另外，三面角結(jié)構(gòu)普遍存在于車(chē)輛、艦船等實(shí)際人造目標(biāo)中，是目標(biāo)散射特性的主要貢獻(xiàn)源。因此，研究三面角反射器的散射特性具有重要的實(shí)用價(jià)值。

三面角反射器主要由三個(gè)相互垂直的平板構(gòu)成，較為常用的三面角反射器包括正方板角反射器、三角板角反射器和圓板角反射器[2]。由于它們都是采用完全相同的三塊平板組成，所有它們均屬于等邊的三面角反射器。一些經(jīng)典著作與若干文章對(duì)等邊三面角反射器的RCS進(jìn)行了詳細(xì)的探討[3]-[6]，給出了RCS計(jì)算公式、半功率點(diǎn)寬度和全姿態(tài)角平均RCS值等特性。盡管如此，實(shí)際目標(biāo)中的三面角結(jié)構(gòu)都屬于非標(biāo)準(zhǔn)的、非等邊的三面角反射器，因此需要研究非等邊三面角反射器RCS特性及計(jì)算公式，但關(guān)于這方面的工作相對(duì)較少。文章[7]通過(guò)一些類(lèi)典型體散射的解析式來(lái)表征復(fù)雜目標(biāo)用于SAR目標(biāo)識(shí)別，但典型體中三面角仍然采用標(biāo)準(zhǔn)的等邊角反射器結(jié)構(gòu)，從而造成其RCS在大角度范圍內(nèi)偏離實(shí)際目標(biāo)中的非標(biāo)準(zhǔn)三面角反射器結(jié)構(gòu)。本文作者在前面的文章[8]中給出了非等邊的三角板角反射器和正方板角反射器RCS的解析計(jì)算公式，并通過(guò)電磁仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，但文中沒(méi)有給出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，而這在新型RCS模擬單元設(shè)計(jì)等一些感興趣的研究和應(yīng)用場(chǎng)合往往是必要的。本文將針對(duì)非等邊三角板型三面角反射器，給出RCS計(jì)算公式的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程，并著重分析對(duì)目標(biāo)后向RCS具有實(shí)際貢獻(xiàn)的有效散射面積。

2 理論推導(dǎo)

圖1 三面角反射器幾何外形、坐標(biāo)系與雷達(dá)方向等參數(shù)的定義

rx=sinθcosφry=sinθsinφrz=cosθ

(1)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，一般的三面角RCS可以表示成一等效平板RCS，計(jì)算公式為：

(2)

(3)

其中

l=min{rx，ry，rz}m=mid{rx，ry，rz}n=max{rx，ry，rz}

(4)

min{·，·，·}、mid{·，·，·}、max{·，·，·}分別表示取括號(hào)內(nèi)三個(gè)元素的最小值、中間值和最大值。

對(duì)于一般的非等邊三面角情形，(3)不再適用，下面將基于幾何光學(xué)(GO)法推導(dǎo)其解析形式。推導(dǎo)過(guò)程分成三個(gè)步驟，首先給出直線傳播射線的投影變換公式和單次彈射射線的方向變換公式，詳見(jiàn)2.1節(jié)和2.2節(jié)；其次，基于前兩節(jié)得到的公式推導(dǎo)射線經(jīng)過(guò)三面角三個(gè)面的三次彈射過(guò)程中彈射點(diǎn)之間的投影變換矩陣和方向變換公式，詳見(jiàn)2.3節(jié)；第三，確定有效散射區(qū)域，詳見(jiàn)2.4節(jié)；最后，給出等效散射面積Seff的解析表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)非等邊三面角反射器的解析表示，詳見(jiàn)2.5節(jié)。

2.1 直線傳播射線的投影變換公式

(5)

其中s為路程參數(shù)，此時(shí)，位置矢量P表示成單參數(shù)s的函數(shù)。 式(5)的分量形式為：

x=x0+stxy=y0+styz=z0+stz

(6)

(7)

寫(xiě)成坐標(biāo)的線性方程：

nxx+nyy+nzz=d

(8)

設(shè)入射射線在平板Ф上的彈射點(diǎn)為PΦ，則反射點(diǎn)PΦ可由式(6)和(8)確定，將式(6)代入(8)，有

nx(x0+sΦtx)+ny(y0+sΦty)+nz(z0+sΦtz)=d

(9)

于是，可以得到反射點(diǎn)的s參數(shù)值：

(10)

由于反射點(diǎn)PΦ可以表示成

(11)

則將(10)代入(11)，可得射線投影公式：

(12)

(13)

2.2 單次彈射射線的方向變換公式

(14)

(15)

2.3 三次彈射射線的投影變換公式與方向變換公式

顯然，對(duì)于三面角的三次彈跳射線，存在著6種射線傳播路徑：S1→S2→S3、S3→ S2→ S1、S1→ S3→ S2、S2→ S3→ S1、S2→ S1→ S3、S3→ S1→ S2。

(16)

(17)

同樣，第二次在S2上發(fā)生鏡面反射的彈射點(diǎn)與反射射線方向

(18)

(19)

同樣，第三次在S3上發(fā)生鏡面反射的彈射點(diǎn)與射線方向

(20)

(21)

假設(shè)第三次反射射線投射到一個(gè)垂直于射線方向并且通過(guò)O點(diǎn)的平面(記為S4)上，于是

(22)

也就是說(shuō)，PS4與P0在平面S4上投影兩者對(duì)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(即互為中心反演)。

另外，根據(jù)上面的推導(dǎo)，定義投影變換矩陣

(23)

(24)

(25)

(26)

分別對(duì)應(yīng)特定射線軌跡上的點(diǎn)從P0→ S1、S1→ S2、S2→ S3、S3→ S4的映射矩陣。顯然，平面S1、S2、S3中的線段之間的變換關(guān)系仍然滿足這四個(gè)映射矩陣。

2.4 投影到平面S4上的等效散射區(qū)域

三面角反射器的三個(gè)三角板S1(三角形OBC圍成的區(qū)域)、S2(三角形OAC圍成的區(qū)域)、S3(三角形OAB圍成的區(qū)域)分別沿射線傳輸路徑S1→S2→ S3→S4向面S4投影。

首先，面S3(OAB)沿射線路徑S3→S4直接投影到S4面上得到三角形區(qū)域OA′B′，此時(shí)需要考慮投影矩陣T34，則投影點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)是

(27)

(28)

其次，面S2(OAC)沿射線路徑S2→S3→S4經(jīng)一次反射投影到S4面上得到三角形區(qū)域OA″C″，此時(shí)需要考慮投影矩陣T234=T34T23，則投影點(diǎn)A″、C″的坐標(biāo)為

(29)

(30)

也就是說(shuō)投影點(diǎn)A″與A′重合，C″為C′關(guān)于O點(diǎn)的中心反演。

最后，面S1(OBC)沿射線路徑S1→S2→S3→S4經(jīng)二次反射投影到S4面上得到三角形區(qū)域OB′″C′″，此時(shí)需要考慮投影矩陣T1234=T34T23T12，則投影點(diǎn)B′″、C′″的坐標(biāo)為

(31)

(32)

也就是說(shuō)投影點(diǎn)B′″、C′″分別為B′、C′關(guān)于O點(diǎn)的中心反演。

圖2給出了三個(gè)三角板區(qū)域S1、S2、S3沿射線傳輸路徑S1→S2→ S3→S4在面S4上的投影。其中，三角形OA′B′為OAB在S4面上的投影區(qū)域；三角形OA″C″為OAC在S4面上的投影區(qū)域；三角形OB′″C′″為OBC在S4面上的投影區(qū)域。顯然，所有沿三次彈射路徑S1→S2→ S3→S4的出射射線對(duì)應(yīng)三個(gè)投影區(qū)域OA′B′、OA″C″、OB′″C′″的重疊區(qū)域(即圖中粉色區(qū)域)，該區(qū)域即為投影到S4面上的有效散射區(qū)域，其面積為路徑S1→S2→ S3→S4所對(duì)應(yīng)的等效散射面積。

圖2 沿著S1→S2→S3→S4路徑傳輸射線的等效散射區(qū)域 (即OA′B′、OA″C″、OB′″C′″三者的重疊區(qū)域)

對(duì)于其它5種路徑，可以進(jìn)行類(lèi)似的分析。綜合考慮所有的6種路徑，可以得到如圖3所示的等效散射區(qū)域。三面角三次反射的有效區(qū)域?yàn)槿切蜛BC在S4上直接投影的三角形區(qū)域A′B′C′、ABC經(jīng)一次反射在S4上投影的六邊形區(qū)域A′C′″B′A′″C′B′″，以及ABC經(jīng)二次反射在S4上投影A′″B′″C′″(即A′B′C′關(guān)于O以雷達(dá)視線為軸的中心反演)三者之間的重疊區(qū)域(六邊形區(qū)域)。重疊區(qū)域的面積即為三面角反射器的總等效散射面積Seff。下一小節(jié)將計(jì)算這個(gè)等效散射面積Seff。

圖3 三面角反射器總等效散射面積 (即投影的三角形區(qū)域A′B′C′與A′″B′″C′″的重疊區(qū)域，A′″B′″C′″可由A′B′C′繞O點(diǎn)以雷達(dá)視線為軸旋轉(zhuǎn)180°所得到)

2.5 等效散射面積的計(jì)算公式

由非等邊三面角的直角邊長(zhǎng)為a、b、c，則三個(gè)三角板的面積為

(33)

于是，對(duì)于A、B、C在S4上的直接投影A′、B′、C′，有

(34)

(35)

(36)

則一次彈射投影區(qū)域A′B′C′的面積為

(37)

如果設(shè)

wx=bcrx，wy=cary，wz=abrz

(38)

于是，式(34)-(37)變?yōu)?/p>

(39)

(40)

(41)

(42)

由于等效散射面積Seff等于SA′B′C′減去三個(gè)小三角形(分別以A′、B′、C′為頂點(diǎn)的小三角形區(qū)域，記為SA′m、SB′m、SC′m)的面積。

先來(lái)計(jì)算SA′m。設(shè)A′A′″分別與B′″C′″和B′C′交于E′和F′(如圖3所示)，有

(43)

由于顯然有|OE′|=|OF′|，則

(44)

即

(45)

同理，對(duì)于SB′m和SC′m有

(46)

(47)

于是，有效面積Seff為

(48)

實(shí)際上，上面的推導(dǎo)隱含了條件A′、B′、C′在三角形ABC的外面，此時(shí)有

l+m≥n

(49)

其中

l=min{wx，wy，wz}=min{bcrx，cary，abrz}m=mid{wx，wy，wz}=mid{bcrx，cary，abrz}n=max{wx，wy，wz}=max{bcrx，cary，abrz}

(50)

其中雷達(dá)視線方向分量(rx，ry，rz)由式(1)給出。

那么，當(dāng)(49)不滿足時(shí)，例如，當(dāng)wy+wz≤wx，等效面積Seff應(yīng)為

(51)

考慮，一般的情況

l+m≤n

(52)

滿足時(shí)，有

(53)

于是，總結(jié)一下式(48)和(53)，非等邊三角板型三面角反射器的等效散射面積為

(54)

得到了等效散射面積Seff，由公式(2)即可計(jì)算非等邊三角板型三面角反射器的RCS值。

3 在三個(gè)板面上的有效散射區(qū)域

2.4節(jié)給出的是投影到平面S4上的等效散射區(qū)域，下面進(jìn)一步分析三面角反射器的三個(gè)板面上的有效散射區(qū)域。

圖4 傳播路徑S1→S3→S2和S2→S3→S1上的射線集經(jīng)過(guò)的三個(gè)三角板面的有效散射區(qū)域(標(biāo)黃色的區(qū)域)

圖5 傳播路徑S1→S2→S3和S3→S2→S1上的射線集經(jīng)過(guò)的三個(gè)三角板面的有效散射區(qū)域(標(biāo)綠色的區(qū)域)

圖6 傳播路徑S2→S1→S3和S3→S1→S2上的射線集經(jīng)過(guò)的三個(gè)三角板面的有效散射區(qū)域(標(biāo)紅色的區(qū)域)

圖7 所有傳播路徑的所有射線經(jīng)過(guò)的三個(gè)三角板面的有效散射區(qū)域(標(biāo)不同顏色的區(qū)域，與圖4-6中的顏色定義相同)

由于6個(gè)傳播路徑上存在著兩兩互為可逆的傳播路徑，而可逆的傳播路徑經(jīng)過(guò)三個(gè)板面的有效散射區(qū)域是相同的，因此圖4-6分別針對(duì)每一對(duì)可逆?zhèn)鞑ヂ窂浇o出了射線集經(jīng)過(guò)的各三角板平面的有效散射區(qū)域(以在S4平面上投影的方式顯示)。從圖中可以看出，在特定可逆?zhèn)鞑ヂ窂较虏煌迕娴挠行⑸鋮^(qū)域的位置存在差異。例如圖4所示，OAC和OBC上的有效散射區(qū)域?yàn)橐設(shè)A和AC上線段為邊的四邊形區(qū)域，而OAB上的有效散射區(qū)域則是以O(shè)A和OB上線段為邊的四邊形區(qū)域，該區(qū)域靠近三面角的頂點(diǎn)O。圖5、圖6的情況類(lèi)似。如果將圖4、圖5、圖6所對(duì)應(yīng)的三個(gè)有效散射區(qū)域合并在一起顯示，如圖7所示，可以看出，三個(gè)板面靠近三面角頂點(diǎn)O的區(qū)域?qū)山M互逆?zhèn)鬏斅窂降纳渚€起作用，而遠(yuǎn)離三面角頂點(diǎn)O的區(qū)域只對(duì)一組互逆?zhèn)鬏斅窂降纳渚€起作用。因此，如果三個(gè)板面靠近三面角頂點(diǎn)O的區(qū)域發(fā)生變化，對(duì)目標(biāo)的RCS將產(chǎn)生更大的影響。該分析結(jié)果可為三面角反射器的新型改進(jìn)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)非等邊的三角板型三面角反射器，基于幾何光學(xué)原理詳細(xì)推導(dǎo)了角反射器RCS計(jì)算公式。在推導(dǎo)過(guò)程中，根據(jù)幾何關(guān)系確定了對(duì)目標(biāo)后向RCS具有實(shí)際貢獻(xiàn)的等效投影區(qū)域，得到了等效散射面積的解析表達(dá)形式。本文也分析了三面角反射器三個(gè)板面上的有效散射區(qū)域，以及不同位置對(duì)目標(biāo)RCS貢獻(xiàn)的重要程度。本文的方法與結(jié)果對(duì)目標(biāo)識(shí)別中目標(biāo)三面角結(jié)構(gòu)的幾何特征提取以及目標(biāo)特征控制中三面角反射器的改進(jìn)設(shè)計(jì)等應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。