有限小批量定制生產(chǎn)伯努利三機(jī)器裝配系統(tǒng)實(shí)時(shí)性能分析

劉暢 賈之陽(yáng)

裝配系統(tǒng)是生產(chǎn)實(shí)踐中最基本的生產(chǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)之一.系統(tǒng)中最終的產(chǎn)品通常由兩個(gè)或兩個(gè)以上組件裝配構(gòu)成(例如:汽車、家電、消費(fèi)電子).相比在穩(wěn)態(tài)分析研究方面取得的大量成果,裝配系統(tǒng)的暫態(tài)過(guò)程仍然未被深入研究.這主要是由于不同零件生產(chǎn)線的相互作用導(dǎo)致了對(duì)裝配系統(tǒng)的分析要比傳統(tǒng)的串行線復(fù)雜得多.裝配系統(tǒng)的早期研究通常只考慮多隊(duì)列單服務(wù)器的情況,即幾種類型的零件到達(dá)一個(gè)裝配機(jī)器,從而被執(zhí)行組裝操作[1].后來(lái),Lipper等[2]和Kuo等[3]研究了有限隊(duì)列容量的三機(jī)器系統(tǒng).在這些研究中,兩個(gè)服務(wù)器代表組件的生產(chǎn),而另一個(gè)服務(wù)器代表裝配操作.此外,Manitz[4]對(duì)基于排隊(duì)模型的裝配系統(tǒng)進(jìn)行了研究.具有不可靠機(jī)器和有限緩沖區(qū)容量的裝配系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能評(píng)估在一些論文中進(jìn)行了討論[5?10].

需要注意的是,雖然在過(guò)去幾十年里存在大量的串行線和裝配生產(chǎn)線的研究工作,但是其中的絕大部分都是假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài)之下的.與此同時(shí),具有有限緩沖區(qū)容量和不可靠機(jī)器的生產(chǎn)系統(tǒng)的暫態(tài)性能只在最近的一些論文中得到初步的研究,其中大部分集中在基于伯努利機(jī)器的串行線系統(tǒng)研究[11?14].此外,Meerkov等[15]研究了使用幾何可靠性機(jī)器模型的串行線的暫態(tài)性能.當(dāng)一個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)根據(jù)客戶訂單或需求預(yù)測(cè),每次只生產(chǎn)一個(gè)批次(或批量)的同類產(chǎn)品時(shí),我們稱之為有限小批量生產(chǎn)運(yùn)行,基于此,Jia等[16?18]近兩年研究了串行生產(chǎn)線和閉環(huán)生產(chǎn)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)系統(tǒng)性能.

基于暫態(tài)的裝配系統(tǒng)的分析研究?jī)H在以下幾篇論文中出現(xiàn),Alexander等[19]研究了一類具有無(wú)限隊(duì)列容量的單機(jī)器馬爾科夫類裝配排隊(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)吞吐量.Jia等[20?21]研究了復(fù)雜裝配系統(tǒng)的暫態(tài)性能,但是假設(shè)了系統(tǒng)具有無(wú)限的原材料供應(yīng)量.與此同時(shí),值得關(guān)注的是,近年來(lái)智能制造技術(shù)的發(fā)展對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)的暫態(tài)和動(dòng)態(tài)特性研究提出了更高的要求,這對(duì)于研究相應(yīng)的實(shí)時(shí)生產(chǎn)控制算法也至關(guān)重要.因此,本文的目的是研究有限小批量定制化生產(chǎn)運(yùn)行下,具有有限緩沖區(qū)容量的三機(jī)裝配系統(tǒng)的基于暫態(tài)的性能評(píng)價(jià).

本文余下的部分組織如下:第1節(jié)介紹了本文所研究的系統(tǒng)的前提假設(shè)并定義了所關(guān)注的系統(tǒng)性能指標(biāo).第2節(jié)詳細(xì)討論了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立以及相關(guān)性能指標(biāo)的推導(dǎo)過(guò)程.然后,提出的一種基于分解的用于近似原始系統(tǒng)性能的方法在第3節(jié)中被詳細(xì)介紹.所提出方法的準(zhǔn)確性通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證并分析展示.最后,第4節(jié)給出了總結(jié)和未來(lái)工作展望.

1 數(shù)學(xué)模型和性能指標(biāo)

1.1 數(shù)學(xué)模型

考慮如圖1所示的一個(gè)三機(jī)裝配系統(tǒng),其中圓形表示機(jī)器,矩形表示緩沖區(qū).

圖1 三機(jī)裝配系統(tǒng)Fig.1 Assembly production system with three Bernoulli machines

系統(tǒng)根據(jù)以下假設(shè)來(lái)進(jìn)行定義:

1)系統(tǒng)的最終產(chǎn)品(F0)需要兩個(gè)組件.一個(gè)組件(R1)由機(jī)器m1處理.我們稱系統(tǒng)的這一部分(從機(jī)器m1到b1)為零件生產(chǎn)線1.類似地,另一個(gè)組件(R2)由機(jī)器m2處理.系統(tǒng)的這一部分(從機(jī)器m2到b2)稱為零件生產(chǎn)線2.

2)機(jī)器m0從零件生產(chǎn)線1和零件生產(chǎn)線2各取一個(gè)完成的零件裝配組成一個(gè)成品.

3)機(jī)器mi,i=0,1,2,擁有恒定且相同的周期時(shí)間τ.以一個(gè)加工周期τ為一段,將時(shí)間軸分段.所有機(jī)器在一個(gè)新的生產(chǎn)批次開(kāi)始時(shí)運(yùn)行.小批量定制生產(chǎn)下的每個(gè)批次具有有限的產(chǎn)量,每個(gè)生產(chǎn)批次的規(guī)模為B.每臺(tái)機(jī)器在加工完規(guī)定數(shù)量的工件后立即停止工作.

4)機(jī)器遵循伯努利可靠性模型,即,機(jī)器mi,i=0,1,2,如果既沒(méi)有被阻塞也沒(méi)有饑餓,在一個(gè)時(shí)間間隙(即加工周期)里加工處理一個(gè)工件的概率是pi,未能加工處理一個(gè)工件的概率是1?pi.參數(shù)pi∈(0,1)稱為機(jī)器mi的效率.

5)每一個(gè)在制品緩沖區(qū),bi,i=1,2,可以用其容量Ni來(lái)表征,0

6)如果機(jī)器m0在時(shí)間間隙n內(nèi)處于工作狀態(tài),緩沖區(qū)b1或者b2在時(shí)間間隙開(kāi)始時(shí)為空,則機(jī)器m0在時(shí)隙n內(nèi)會(huì)饑餓.機(jī)器m1和m2在一個(gè)批次生產(chǎn)結(jié)束前不會(huì)出現(xiàn)饑餓的情況.

7)如果機(jī)器mi,i=1,2,在時(shí)間間隙n內(nèi)處于工作狀態(tài),緩沖區(qū)bi在時(shí)間間隙開(kāi)始時(shí)有Ni個(gè)在制品工件,并且裝配機(jī)器m0沒(méi)能從其中取走一個(gè)工件進(jìn)行處理(由于故障或源自另一條零件生產(chǎn)線的饑餓情況),則機(jī)器mi,i=1,2,在時(shí)隙n內(nèi)被阻塞.即,加工前阻塞機(jī)制.同時(shí)假設(shè)機(jī)器m0任何時(shí)候都不會(huì)被阻塞.

注1.值得注意的是,在許多生產(chǎn)系統(tǒng)中,機(jī)器周期時(shí)間幾乎是恒定或接近恒定的.這樣的情況大多見(jiàn)于汽車、電子、電器等行業(yè)的生產(chǎn)系統(tǒng).還需注意到,伯努利可靠性機(jī)器模型是適用于平均故障時(shí)間接近機(jī)器的加工周期的情況(參見(jiàn)使用伯努利模型為實(shí)例的文獻(xiàn)[22?24]).具有其他可靠性機(jī)器模型(例如:幾何型、指數(shù)型、威布爾型、對(duì)數(shù)正態(tài)型等)的生產(chǎn)系統(tǒng)將在今后的工作中進(jìn)一步研究.

注2.基于批次的生產(chǎn)廣泛用于各種制造系統(tǒng)(小規(guī)模,中等規(guī)模,甚至大規(guī)模生產(chǎn),單型或多類型產(chǎn)品生產(chǎn)等).一個(gè)批次有時(shí)被稱為一個(gè)分組或一個(gè)訂單.

注3.由于通常定制化生產(chǎn)下每個(gè)批次生產(chǎn)數(shù)量是有限的,整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程部分或完全是在暫態(tài)下進(jìn)行的.因此,嚴(yán)格來(lái)說(shuō),穩(wěn)定狀態(tài)分析不再適用,而基于暫態(tài)的系統(tǒng)分析是必要的.

注4.上述的模型僅僅包括兩條零件生產(chǎn)線和一個(gè)裝配操作機(jī)器.每條零件生產(chǎn)線僅包含了一臺(tái)機(jī)器和一個(gè)緩沖區(qū).每條零件生產(chǎn)線擁有多臺(tái)機(jī)器和緩沖區(qū),以及擁有多條零件生產(chǎn)線的復(fù)雜裝配系統(tǒng)具有類似的假設(shè),并且這樣的裝配系統(tǒng)會(huì)在未來(lái)工作中進(jìn)一步研究.

1.2 性能指標(biāo)

在上述定義的模型框架下,我們感興趣的性能指標(biāo)包括:

1)生產(chǎn)率PR(n):在時(shí)間間隙n+1里,機(jī)器m0生產(chǎn)工件個(gè)數(shù)的期望;

2)消耗率CRi(n):在時(shí)間間隙n+1里,機(jī)器mi,i=1,2,消耗原材料個(gè)數(shù)的期望;

3)在制品庫(kù)存水平,WIPi(n):在時(shí)間間隙n里緩沖區(qū)bi,i=1,2,中的在制品個(gè)數(shù)的期望;

4)阻塞率BLi(n):機(jī)器mi,i=1,2,在時(shí)間間隙n+1里被阻塞的概率.

由于機(jī)器m0可能由于任意一條零件生產(chǎn)線而饑餓,我們定義機(jī)器饑餓率為:

一種通過(guò)遞歸聚合來(lái)估計(jì)這些穩(wěn)態(tài)性能值的方法在文獻(xiàn)[22]中被提出.在本文中,我們提出了在有限量定制生產(chǎn)運(yùn)行下評(píng)估這些暫態(tài)性能指標(biāo)的方法.

此外,使ct表示機(jī)器m0完成生產(chǎn)B個(gè)產(chǎn)品的時(shí)間.將其均值表示為:

2 系統(tǒng)性能精確分析

2.1 性能分析

用fi(n)表示機(jī)器mi在時(shí)間間隙n結(jié)束時(shí)已經(jīng)生產(chǎn)的工件總數(shù)量,用hi(n)表示在時(shí)間間隙n結(jié)束時(shí)緩沖區(qū)內(nèi)的在制品工件數(shù)量.顯而易見(jiàn),

那么,不失一般性,系統(tǒng)可以用一個(gè)狀態(tài)為(h1(n),h2(n),f0(n))的馬爾科夫鏈來(lái)表征,其中,

顯然,此馬爾科夫鏈的最大系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)為

需要注意,有一些系統(tǒng)狀態(tài)是不可達(dá)到的,比如,(1,1,B),因?yàn)闄C(jī)器m1和m2在加工好B個(gè)工件后立刻停止了運(yùn)作.換句話說(shuō),在任意一個(gè)時(shí)間間隙里,h1+f0≤B,并且h2+f0≤B.

為了計(jì)算這一馬爾科夫鏈中的狀態(tài)間轉(zhuǎn)移概率,我們首先如表1排列系統(tǒng)的狀態(tài).

表1 系統(tǒng)狀態(tài)排序Table1 Arrangement of the system states

其中,

同時(shí)也需要注意,在每個(gè)時(shí)間間隙中,系統(tǒng)狀態(tài)的樣本空間是由機(jī)器23種的工作狀態(tài)所組成的.那么,

因此,在每一個(gè)時(shí)間間隔開(kāi)始時(shí),對(duì)系統(tǒng)的每一個(gè)可達(dá)狀態(tài)i,i∈{1,···,Q},如果,并且,可以枚舉所有的23種機(jī)器狀態(tài)的組合,根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性式(4)來(lái)確定相應(yīng)的在這一時(shí)間間隔結(jié)束時(shí)的結(jié)果狀態(tài)j,j∈{1,···,Q}.然后,對(duì)于得到相同結(jié)果狀態(tài)的機(jī)器狀態(tài)組合情況,使用式(5)來(lái)計(jì)算相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率,并將這些概率相加,最終得到一個(gè)時(shí)間間隔里,從起始的系統(tǒng)狀態(tài)i到結(jié)果狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率.對(duì)于所有符合條件的系統(tǒng)狀態(tài)重復(fù)這一步驟.

系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性能可以通過(guò)下式計(jì)算:

其中

其中,01,k和J1,k分別代表1×k的零矩陣和元素全為1的矩陣.與此同時(shí),i×j維矩陣Ci×j=[Ii···Ii]表示由j/i個(gè)單位矩陣Ii組成的矩陣.

3 基于分解的性能評(píng)估

上面描述的精確分析可以擴(kuò)展到更大的系統(tǒng),即每個(gè)零件生產(chǎn)線中有多臺(tái)機(jī)器的系統(tǒng).然而,隨著機(jī)器數(shù)量M,緩沖區(qū)容量,和生產(chǎn)規(guī)模B的增長(zhǎng),馬爾科夫鏈狀態(tài)的數(shù)量呈指數(shù)型增長(zhǎng),這將導(dǎo)致對(duì)大型的復(fù)雜裝配系統(tǒng)的分析變得不可能.因此,本節(jié)提出了一種基于分解的算法,并將其應(yīng)用于三臺(tái)伯努利機(jī)器的小型裝配系統(tǒng).相應(yīng)的研究結(jié)果將在未來(lái)的工作中擴(kuò)展到更通用的大型系統(tǒng)中.

3.1 基于分解的概念

文獻(xiàn)[8]提出一種分解方法,將原系統(tǒng)分解為一對(duì)串行線:上線和下線,研究了基于無(wú)限原材料供應(yīng)的裝配系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.此外,我們以前的工作[20?21]解決了這類系統(tǒng)的暫態(tài)性能研究的問(wèn)題.與此同時(shí),當(dāng)考慮到小批量有限量生產(chǎn)運(yùn)行下的串行線,基于暫態(tài)的系統(tǒng)性能近似評(píng)估也在我們以前的工作[16?17]中進(jìn)行了討論.在這一節(jié)中,我們將基于有限量生產(chǎn)運(yùn)行下系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析擴(kuò)展到三臺(tái)機(jī)器的裝配系統(tǒng)性能分析研究中.對(duì)由多臺(tái)機(jī)器組成的零件生產(chǎn)線或多條零件生產(chǎn)線以及多個(gè)裝配操作的復(fù)雜裝配系統(tǒng),將在今后的研究中進(jìn)行分析.

圖2 輔助裝配系統(tǒng)Fig.2 Auxiliary assembly system

具體而言,引入三種輔助系統(tǒng)/生產(chǎn)線來(lái)分析此類系統(tǒng).輔助裝配系統(tǒng)(圖2所示)首先被引入,這一輔助裝配系統(tǒng)具有所有原始的機(jī)器和緩沖區(qū),但假設(shè)具有無(wú)限的原材料供應(yīng).只有原來(lái)的裝配操作中裝配機(jī)器m0處于工作狀態(tài)并且緩沖區(qū)b1非空的情況下,才可能處于工作狀態(tài).因此,讓hi(n)表示在時(shí)間間隙n結(jié)束時(shí)緩沖區(qū)bi中的在制品零件數(shù),可以通過(guò)式(9)估算:

圖3 輔助雙機(jī)串行線Fig.3 Auxiliary two-machine lines

用于分析這種輔助兩機(jī)串行線的方法在文獻(xiàn) [11]中被提出.具體來(lái)說(shuō),用和,分別來(lái)表示輔助兩機(jī)生產(chǎn)線中b1和b2在時(shí)隙n結(jié)束時(shí),有i個(gè)工件的概率.令. 根據(jù)文獻(xiàn) [11],的演化可表示為:

為了研究這一輔助裝配系統(tǒng)的暫態(tài)性能,分析方法可以參考我們以前的工作(參閱文獻(xiàn)[20]).具體而言,使用輔助兩機(jī)線(圖3)來(lái)近似分析.

上生產(chǎn)線通過(guò)移除輔助裝配系統(tǒng)中的機(jī)器m2和緩沖區(qū)b2來(lái)構(gòu)造.考慮到這種修改,組裝機(jī)器m0由效率隨時(shí)間變化的虛擬機(jī)器(圖3(a))來(lái)代替.同樣,下生產(chǎn)線可以通過(guò)移除機(jī)器m1和緩沖區(qū)b1,同時(shí)使用效率隨時(shí)間變化的虛擬機(jī)器來(lái)構(gòu)造.

最后,引入有限量生產(chǎn)運(yùn)行下的輔助單機(jī)生產(chǎn)線(見(jiàn)圖4).

圖4 輔助單機(jī)生產(chǎn)線Fig.4 Auxiliary one-machine lines

由于無(wú)論是m1還是m2,能夠生產(chǎn)一個(gè)工件的前提條件都是當(dāng)且僅當(dāng)它處于工作狀態(tài)且不被阻塞,同時(shí)無(wú)論或者是,能夠生產(chǎn)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)其處于工作狀態(tài)且不會(huì)饑餓,我們定義隨時(shí)間變化的輔助單機(jī)機(jī)器效率如下:

為了分析輔助單機(jī)生產(chǎn)線,注意,它們每個(gè)都可由一個(gè)馬爾科夫鏈來(lái)表征,其中,系統(tǒng)狀態(tài)為已被這臺(tái)機(jī)器加工過(guò)的工件數(shù)量(參閱文獻(xiàn)[17]).讓,其中表示在時(shí)隙n結(jié)束時(shí)已經(jīng)加工了j個(gè)工件的概率.的演化可以通過(guò)以下線性時(shí)變方程給出:

其中初始狀態(tài)是

其中初始狀態(tài)是

綜上,為了分析圖1中的有限量運(yùn)行下的三機(jī)裝配線的暫態(tài)性能,我們將原始系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分解和簡(jiǎn)化,通過(guò)分析一系列分解后相互影響的動(dòng)態(tài)特性更加簡(jiǎn)單的系統(tǒng),來(lái)近似評(píng)估原始系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性能.具體來(lái)說(shuō),對(duì)于原始系統(tǒng)(圖1),其動(dòng)態(tài)特性包括兩方面:緩沖區(qū)中在制品數(shù)量的演化和在每臺(tái)機(jī)器上已完成加工處理的工件數(shù)量.首先引入使用原始系統(tǒng)機(jī)器和緩沖區(qū)參數(shù)的輔助裝配系統(tǒng),同時(shí)假設(shè)無(wú)限原材料(圖2).在這個(gè)系統(tǒng)中,我們只關(guān)注系統(tǒng)中的緩沖區(qū)在制品數(shù)量的演化.為了分析圖2所示系統(tǒng),進(jìn)一步引入輔助雙機(jī)串行線(圖3),其中,為了考慮移除相應(yīng)機(jī)器和緩沖區(qū)所帶來(lái)的影響,上生產(chǎn)線和下生產(chǎn)線中裝配機(jī)器所在位置分別使用相應(yīng)的參數(shù)時(shí)變的虛擬機(jī)器來(lái)替代.因此,通過(guò)分析輔助雙機(jī)串行線(圖3),事實(shí)上可以得到輔助裝配系統(tǒng)(圖2)中系統(tǒng)狀態(tài)(緩沖區(qū)在制品數(shù)量)的實(shí)時(shí)分布情況.最后,引入輔助單機(jī)生產(chǎn)線(圖4)來(lái)分析在相應(yīng)機(jī)器上完成加工處理工件數(shù)量的動(dòng)態(tài)特性.而每一臺(tái)單機(jī)生產(chǎn)線的時(shí)變參數(shù)都是在考慮了輔助雙機(jī)串行線中的系統(tǒng)狀態(tài)的影響下,近似推導(dǎo)得出的.

3.2 性能評(píng)估近似公式

基于上述構(gòu)造的輔助生產(chǎn)線或生產(chǎn)系統(tǒng),我們提出了近似原系統(tǒng)性能指標(biāo)的計(jì)算公式.首先,有限量生產(chǎn)運(yùn)行下一個(gè)批次的生產(chǎn)完成時(shí)間通過(guò)使用輔助虛擬單機(jī)線中的任意一個(gè)來(lái)近似估算.不失一般性,使用,同時(shí)令表示原始系統(tǒng)中機(jī)器m0在時(shí)隙n結(jié)束時(shí)處理加工完整個(gè)批次所有工件的近似概率.那么,

其次,原系統(tǒng)的生產(chǎn)率和各個(gè)零件生產(chǎn)線的消耗率可由輔助單機(jī)生產(chǎn)線的生產(chǎn)率來(lái)近似:

為了估算WIPi(n),BLi(n)和ST0,i(n),兩種輔助生產(chǎn)線需要結(jié)合起來(lái).具體來(lái)說(shuō),這些性能評(píng)估使用相應(yīng)的輔助兩機(jī)生產(chǎn)線來(lái)近似估算,同時(shí)考慮相對(duì)應(yīng)的機(jī)器在輔助單機(jī)生產(chǎn)線上還沒(méi)有完成加工整個(gè)批次所有產(chǎn)品的概率:

最后,一個(gè)批次的完成時(shí)間期望可以被近似為:

其中,T滿足以下條件:

綜上,基于分解的計(jì)算方法流程圖如圖5所示.

圖5 分解算法流程圖Fig.5 Flow chart of the calculation procedure

對(duì)于所提出的性能近似的方法的精確程度,我們通過(guò)對(duì)10000條參數(shù)隨機(jī)而均勻地從式(21)所示的集合或者區(qū)間中選取的三機(jī)伯努利裝配系統(tǒng),進(jìn)行基于精確解析和基于分解的近似性能評(píng)估分析,來(lái)驗(yàn)證所提近似方法的精確性.

對(duì)于每一條參數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生的裝配系統(tǒng),我們分別通過(guò)精確分析式(8)和基于分解的近似分析式(17)～(20)來(lái)計(jì)算其各項(xiàng)性能指標(biāo).結(jié)果顯示,對(duì)于這10000條裝配系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)的平均相對(duì)誤差,它們的中值都在1%以下.

作為一個(gè)例子,考慮圖6所顯示的裝配系統(tǒng).每個(gè)機(jī)器(圓形表示)上的數(shù)字表示其效率,而每個(gè)緩沖區(qū)(矩形)中的數(shù)字表示其容量.這些參數(shù)是隨機(jī)生成的.在本例中,所有緩沖區(qū)都被假設(shè)在起始狀態(tài)時(shí)是空的.首先需要注意的是,使用精確分析方法,根據(jù)式(2),系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)量為1620;而經(jīng)過(guò)分解后,我們只需要分析六個(gè)相對(duì)較小但相互影響的系統(tǒng):一條雙機(jī)上生產(chǎn)線,一條雙機(jī)下生產(chǎn)線,兩條上單機(jī)生產(chǎn)線,兩條下單機(jī)生產(chǎn)線.六個(gè)較小的馬爾科夫鏈的總狀態(tài)數(shù)為333.在保證精確度的基礎(chǔ)上,相較精確分析,基于分解的近似分析使系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)量有了極大的降低.與此同時(shí),從計(jì)算時(shí)間的角度來(lái)看,使用MATLAB軟件在同一臺(tái)電腦配置為因特爾酷睿i7-6700的CPU和16GB的RAM上,基于精確分析和基于分解的近似分析,所需要的運(yùn)算時(shí)間分別為13.35秒和0.11秒,近似算法在計(jì)算高效性上也顯示出了極大的優(yōu)勢(shì).系統(tǒng)的暫態(tài)性能如圖7所示,從圖中可以看出,整個(gè)生產(chǎn)運(yùn)行過(guò)程分為三個(gè)階段.在第一階段,產(chǎn)品開(kāi)始進(jìn)入空系統(tǒng).在此期間,生產(chǎn)率和在制品數(shù)量都從0上升到穩(wěn)態(tài)值.同時(shí),由于更多的工件進(jìn)入系統(tǒng),零件生產(chǎn)線1(或者零件生產(chǎn)線2)的消耗率從p1(或者p2)開(kāi)始逐漸減小.在第二階段中,系統(tǒng)運(yùn)行接近穩(wěn)定狀態(tài),所有暫態(tài)性能指標(biāo)都或多或少地處于平穩(wěn)狀態(tài).最后,當(dāng)生產(chǎn)運(yùn)行接近完成時(shí),所有性能指標(biāo)開(kāi)始下降,最終達(dá)到0.基于該分解算法的高精度也可以從圖中清晰地看到.需要注意的是,雖然精確的分析在這種小型裝配系統(tǒng)中仍然可以被推導(dǎo)出來(lái),然而隨著系統(tǒng)參數(shù)的增長(zhǎng),精確分析也變得越來(lái)越不可能實(shí)現(xiàn).基于分解思想的性能近似評(píng)估方法的計(jì)算高效性將在這樣的大型裝配系統(tǒng)中體現(xiàn)出來(lái).深入的相關(guān)研究將在未來(lái)的工作中被進(jìn)一步討論.

圖6 三機(jī)伯努利裝配系統(tǒng)的數(shù)值實(shí)例Fig.6 Example of an assembly system with three Bernoulli machines

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了具有三臺(tái)伯努利機(jī)器,有限緩沖區(qū)容量和有限量生產(chǎn)運(yùn)行下的裝配系統(tǒng)的暫態(tài)性能評(píng)估問(wèn)題.具體地,首先推導(dǎo)了系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)的精確數(shù)學(xué)模型和解析公式.然后,提出了一種基于分解的性能評(píng)估算法,通過(guò)將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成一系列相互作用的輔助串行線來(lái)近似評(píng)估原始系統(tǒng)的暫態(tài)性能.論文推導(dǎo)了基于分解的三機(jī)裝配系統(tǒng)實(shí)時(shí)性能估計(jì)公式,并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的準(zhǔn)確性和計(jì)算高效性.

圖7 分解近似與精確分析的三機(jī)伯努利裝配系統(tǒng)暫態(tài)實(shí)時(shí)性能評(píng)估對(duì)比Fig.7 Comparison of decomposition-based approxiamtion and exact analysis for transientperformance evaluation in assembly system with three Bernoulli machines

今后在這方面的工作包括將算法擴(kuò)展到每個(gè)零件生產(chǎn)線具有多臺(tái)機(jī)器和多個(gè)緩沖區(qū)的系統(tǒng),或多條零件生產(chǎn)線和多裝配操作的復(fù)雜裝配系統(tǒng).此外,還會(huì)將研究結(jié)果推廣到具有其他機(jī)器可靠性模型(幾何型、指數(shù)型、威布爾型等)的裝配系統(tǒng)中.