深部煤體采動應(yīng)力下雙曲函數(shù)型滲透率模型

王路軍，周宏偉，榮騰龍，任偉光

(1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083; 2.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 能源與礦業(yè)學(xué)院，北京 100083; 3.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 煤炭資源與安全開采國家重點實驗室，北京 100083)

隨著煤炭資源開采深度的增加，深部煤巖體處于高地應(yīng)力、高地溫、高滲透壓環(huán)境中，在開采擾動的條件下，巖爆、煤與瓦斯突出、巷道難以支護(hù)等現(xiàn)象發(fā)生概率隨之增大。目前，深部礦產(chǎn)資源開采趨于常態(tài)化，深部強(qiáng)擾動和強(qiáng)時效下多場多相滲流理論研究成為深部巖體力學(xué)理論的關(guān)鍵問題之一[1-4]，而煤體作為典型的多孔介質(zhì)，其滲透特性成為煤炭開采技術(shù)的研究重點之一。當(dāng)前應(yīng)用廣泛的煤體滲透率模型主要以應(yīng)力為自變量[5-7]，僅能描述滲透率隨應(yīng)力增加而降低的過程，難以完整地表征煤體在采動應(yīng)力下滲透率先減小后增大的演化規(guī)律。

針對煤體開采中煤巖體變形與流體耦合的研究，為了能更好地反映多場的相互作用，以Darcy定律為基礎(chǔ)增加了滲透率隨應(yīng)力變化的耦合項，從而得到加載應(yīng)力路徑下煤體應(yīng)力-滲流的耦合規(guī)律。李世平[8]通過巖石全應(yīng)力-應(yīng)變滲流實驗，采用擬合手段獲得了3個不同階段的滲透率與應(yīng)變的關(guān)系。李曉泉和尹光志[9]在考慮三軸壓縮狀態(tài)下?lián)p傷的影響條件下，得出了含瓦斯煤樣有效體積應(yīng)力和滲透率存在指數(shù)關(guān)系的規(guī)律，在峰值前后指數(shù)系數(shù)會發(fā)生變化。祝捷等[10]進(jìn)行了不同氣體壓力下煤樣應(yīng)力-應(yīng)變的瓦斯?jié)B流實驗，建立了加載煤樣變形與滲透率的相關(guān)性模型。

為了切實反映地下煤炭開采過程中，煤體具有的特殊應(yīng)力路徑，謝和平等[11]通過分析煤礦典型的3種開采條件下工作面超前支承壓力分布規(guī)律，凝練出表征煤巖體采動力學(xué)的應(yīng)力路徑，為地下工程煤巖體室內(nèi)實驗提供了理論基礎(chǔ)。謝和平等[12]通過考慮開采擾動的影響，研究了不同開采方式下煤體應(yīng)力場-裂隙場-滲流場耦合行為，推導(dǎo)出滲透率增大率與體應(yīng)變的關(guān)系式。為了從機(jī)理闡述煤體滲透率的變化，ZHOU等[13-15]采用μCT實驗手段、分形理論對煤體內(nèi)裂隙演化進(jìn)行了定量描述，并提出采場尺度下不同裂隙網(wǎng)絡(luò)空間分布與滲透性關(guān)系。周宏偉等[16]基于捆綁的火柴棍模型，建立了三向應(yīng)力條件下煤體滲透率動態(tài)演化模型，并進(jìn)行了實驗驗證。隨著巖體力學(xué)理論研究的深入，一些學(xué)者研究深部煤體多場耦合行為時，進(jìn)行了考慮蠕變影響的滲流實驗。尹光志等[17]通過含瓦斯煤卸圍壓蠕變-滲流實驗，得出卸圍壓可使煤體加速破壞從而引起瓦斯流動速度顯著增加的結(jié)論，并改進(jìn)Chaboche黏塑性本構(gòu)模型以描述煤體卸壓短期蠕變破壞的規(guī)律。許江等[18]利用型煤試樣研究了不同溫度及不同有效應(yīng)力條件下三軸蠕變對滲透率的影響規(guī)律，得出隨著有效應(yīng)力增大和溫度升高，蠕變前后試樣滲透率降低的規(guī)律。蔣長寶等[19]進(jìn)行了不同初始圍壓和瓦斯壓力條件下，煤體多級卸圍壓變形破壞及滲透率演化實驗，得出隨著圍壓的降低，煤體蠕變速度和滲透率均加速增大的規(guī)律。YANG和ZOBACK[20]為了研究氣體吸附對次煙煤的力學(xué)及流動特征的影響，通過4種不同氣體(He,N2,CH4和 CO2)的吸附和滲流實驗，得出CO2，CH4，He對煤體黏塑性的影響依次減弱的規(guī)律。CHEN等[21]將Nishihara流變模型引入孔隙彈性的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程中，推導(dǎo)出包含黏彈性特征的煤體滲透率模型，并通過數(shù)值模擬得出蠕變對煤體滲透率和瓦斯抽采具有重要的影響。

深部煤體采動應(yīng)力條件下必然表現(xiàn)出異于常規(guī)三軸巖石實驗的特征，同時其特有的滲透率變化規(guī)律需要給出理論公式，以便于數(shù)值分析和現(xiàn)場應(yīng)用。筆者在總結(jié)常規(guī)三軸應(yīng)力-滲流實驗和采動應(yīng)力下三軸實驗規(guī)律的基礎(chǔ)上，得出深部煤體在采動條件下滲透率隨體積應(yīng)變的變化規(guī)律，并對滲透網(wǎng)絡(luò)在擴(kuò)展演化中進(jìn)行合理假設(shè)，推導(dǎo)出能反映采動應(yīng)力條件的滲透率表達(dá)式，同時采用已有的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合分析。

1 采動應(yīng)力下滲透率隨體積應(yīng)變變化規(guī)律

深部煤體在開采過程中其應(yīng)力變化路徑是典型的軸壓增加、圍壓卸載的過程。文獻(xiàn)[11]通過對煤體超前支承壓力變化過程分析得出可操作于室內(nèi)實驗的采動應(yīng)力路徑，以模擬煤體在原位開采中應(yīng)力變化，其實驗過程異于傳統(tǒng)巖石力學(xué)的三軸實驗，如圖1所示。文獻(xiàn)[22]進(jìn)行了常規(guī)三軸壓縮實驗和采動應(yīng)力實驗下煤體滲透率研究。根據(jù)文獻(xiàn)[22]得到兩種實驗條件下煤體應(yīng)力-應(yīng)變、滲透率-應(yīng)變變化規(guī)律，如圖2所示。常規(guī)三軸壓縮實驗中，煤體經(jīng)歷初始壓縮階段、線彈性階段、損傷累積階段、峰值破壞及峰后階段，在體積應(yīng)變-軸向應(yīng)變曲線中表現(xiàn)為損傷起始點對應(yīng)于體積應(yīng)變壓縮最大值(擴(kuò)容點)，峰值點對應(yīng)于體積應(yīng)變從壓縮轉(zhuǎn)變?yōu)榕蛎?。采動?yīng)力三軸實驗中，煤體按照原位條件被加載至靜水壓力，然后再根據(jù)采動應(yīng)力路徑進(jìn)行加軸壓、卸圍壓過程，因此應(yīng)力-應(yīng)變曲線的起始點為靜水壓力狀態(tài)。此時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)為初始裂隙壓縮階段、線彈性階段、損傷累計階段、峰值及峰后階段，其中初始裂隙壓縮階段很短或沒有。在采動應(yīng)力條件下，壓縮體積應(yīng)變很快達(dá)到最大值，一般發(fā)生在應(yīng)力-應(yīng)變曲線初期，而在差應(yīng)力未達(dá)到峰值時，體積應(yīng)變由壓縮轉(zhuǎn)變?yōu)榕蛎洠瑧?yīng)力峰值對應(yīng)于體積應(yīng)變膨脹段，如圖2(b)所示。

圖2 煤體應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curves of deep coal

圖3 常規(guī)三軸壓縮實驗下煤體滲透率演化及裂紋擴(kuò)展機(jī)制Fig.3 Permeability evolution and crack propagation mechanism of coal under conventional triaxial compression test

圖4 采動應(yīng)力下煤體滲透率演化及裂紋擴(kuò)展機(jī)制Fig.4 Permeability evolution and crack propagation mechanism of coal under mining-induced stress test

在常規(guī)巖石三軸實驗中，滲透率隨體積應(yīng)變的變化趨勢大致可分為2個階段，在巖石損傷起始點之前，滲透率隨著體積應(yīng)變的壓縮而逐漸減小，當(dāng)巖石進(jìn)入損傷積累階段時，滲透率隨體積應(yīng)變從壓縮變?yōu)榕蛎洺手饾u增加的趨勢，如圖3(a)所示。由于煤體內(nèi)孔隙、裂隙分布錯綜復(fù)雜，為了清晰地闡述煤體裂隙擴(kuò)展演化過程，將煤體內(nèi)無規(guī)則分布的裂隙通過水平及垂直投影簡化為水平裂隙和垂直裂隙。當(dāng)煤體試樣在三向應(yīng)力下被壓縮時，煤基質(zhì)和孔隙、裂隙被逐漸壓縮直至體積應(yīng)變達(dá)到壓縮最大值，此間滲透網(wǎng)絡(luò)被壓密導(dǎo)致滲透率下降;煤體試件軸向和環(huán)向繼續(xù)加載，由于內(nèi)部孔隙、裂隙尖端產(chǎn)生應(yīng)力集中導(dǎo)致孔隙融合貫通，裂隙迅速擴(kuò)展形成宏觀裂紋，導(dǎo)致滲透率逐漸增加，甚至出現(xiàn)加速增長現(xiàn)象;在應(yīng)力峰后階段，盡管軸向和環(huán)向應(yīng)力卸載，但煤基質(zhì)內(nèi)彈性能釋放導(dǎo)致滲透網(wǎng)絡(luò)進(jìn)一步擴(kuò)展，造成滲透率持續(xù)增加，如圖3(b)所示。

采動應(yīng)力條件下，滲透率演化更復(fù)雜，以擴(kuò)容點為界分為兩種演化規(guī)律。滲透率-體應(yīng)變曲線中，從起始點至擴(kuò)容點，滲透率隨體應(yīng)變呈現(xiàn)向下凹的曲線，表現(xiàn)為先增加后降低;擴(kuò)容點至煤體破壞階段，滲透率隨體應(yīng)變曲線呈向上凹的形態(tài)，表現(xiàn)為先降低再增加的規(guī)律，如圖4(a)所示。以圖4(b)為例，采動應(yīng)力條件下煤體滲透率演化是煤基質(zhì)體積變化和孔隙裂隙體積變化共同作用的結(jié)果。針對煤體下凹型滲透率形態(tài)，原位煤體在未采動條件下處于壓縮狀態(tài)，煤基質(zhì)和孔隙、裂隙均被壓縮(圖4(b)中A點)，隨著軸向應(yīng)力增加環(huán)向卸載，基質(zhì)體積被壓縮，而孔隙、裂隙因環(huán)向卸載而膨脹導(dǎo)致滲透率增加，進(jìn)一步加軸壓卸圍壓，煤基質(zhì)發(fā)生局部膨脹引起孔隙、裂隙空間被壓縮，而孔隙、裂隙體積變化量整體處于減小狀態(tài)致使?jié)B透率發(fā)生下降。在采動應(yīng)力下，起始狀態(tài)至擴(kuò)容點階段占據(jù)滲透率演化的很小部分，因此本文不作為研究重點。針對擴(kuò)容點至煤體破壞階段，滲透率呈現(xiàn)出異于常規(guī)三軸壓縮實驗的演化形式，可以分為3個階段：第1階段，滲透率隨壓縮體積應(yīng)變的減小而減小。該階段內(nèi)，煤基質(zhì)膨脹，原有孔隙、裂隙因煤基質(zhì)膨脹而被壓縮，同時新裂紋擴(kuò)展，在兩種介質(zhì)變化的博弈狀態(tài)下，導(dǎo)致壓縮體積應(yīng)變減小，滲透率減小。第2階段，滲透率處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，煤基質(zhì)變化和孔隙、裂隙出現(xiàn)平衡狀態(tài)。煤基質(zhì)逐漸從局部膨脹變?yōu)檎w膨脹而新的裂隙逐漸繼續(xù)擴(kuò)展，局部區(qū)域仍被壓縮，致使?jié)B透率表現(xiàn)為平穩(wěn)波動狀態(tài)，但仍高于靜水壓力下的滲透水平。第3階段，滲透率隨體積應(yīng)變的膨脹而增加。該階段內(nèi)，煤基質(zhì)整體發(fā)生膨脹，裂隙擴(kuò)展貫通導(dǎo)致煤體滲透網(wǎng)絡(luò)暢通，當(dāng)煤體處于峰后狀態(tài)時，軸向、環(huán)向應(yīng)力均處于卸載狀態(tài)，導(dǎo)致煤體滲透網(wǎng)絡(luò)整體處于擴(kuò)張狀態(tài)，滲透率持續(xù)增高直至由滲流變?yōu)榱鲃有螒B(tài)。

2 采動應(yīng)力下雙曲函數(shù)型滲透率模型

2.1 基于體積應(yīng)變的滲透率表達(dá)式

為了更好地描述滲透率隨體積應(yīng)變的變化規(guī)律，取滲透率比率作為因變量，體積應(yīng)變作為自變量。由圖4可知，滲透率比率呈現(xiàn)上凹的曲線狀。本文提出假設(shè):在體積應(yīng)變空間內(nèi)，真實滲透網(wǎng)絡(luò)所呈現(xiàn)的形式在所有可能的滲透網(wǎng)絡(luò)中使流體滲透耗能最小。

(1)

式中，V為滲透率泛函;a為煤體常量;kr=k/k0，kr為滲透率比率，k為滲透率，k0為初始滲透率;εV為體積應(yīng)變;εV0為初始體積應(yīng)變;εVp為終值體積應(yīng)變。

這是泛函分析中的等周問題，引入拉格朗日乘子，可得拉格朗日量:

(2)

式中，f為拉格朗日函數(shù);λ為拉格朗日乘子。

歐拉-拉格朗日方程可表示為

?

(3)

(4)

結(jié)合式(3)，(4)，歐拉-拉格朗日方程首次積分得到式(5)，即

(5)

式中，α為常量。

(6)

令akr+λ=αz，微分方程(6)可化解為(7)。

(7)

對式(7)積分可得

(8)

式中，b1為積分常數(shù)。

(9)

所以，滲透率比率可表示為體積應(yīng)變的函數(shù)，即

(10)

通過選擇合理的坐標(biāo)系及適當(dāng)?shù)某?shù)代換，滲透率關(guān)于體積應(yīng)變的函數(shù)可表示為

(11)

(12)

文獻(xiàn)[23]認(rèn)為煤巖滲透率與變形(體積應(yīng)變、軸向應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變)的關(guān)系可采用同一形式的方程式表達(dá)，因此，滲透率比率以軸向應(yīng)變?yōu)樽宰兞康姆匠炭梢员硎緸?/p>

(13)

式中，c1，c2，d為待定常數(shù);ε1為軸向應(yīng)變。

2.2 考慮體積蠕變的滲透率表達(dá)式

周宏偉等[24]基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論推導(dǎo)出能反映蠕變加速階段的流變模型，而文獻(xiàn)[25]在此基礎(chǔ)上得到以軸向應(yīng)變?yōu)樽宰兞康捏w積蠕變表達(dá)式，通過適當(dāng)?shù)膮?shù)代換可表示為式(14)。將式(14)代入式(12)則可得到體積蠕變條件下以軸向應(yīng)變?yōu)樽宰兞康臐B透率表達(dá)式(15)。

(14)

(15)

式中，ν為泊松比;h，m，n，p為待定常數(shù)。

3 深部煤體滲透率模型驗證

3.1 采動應(yīng)力下滲透率演化模型驗證

深部含瓦斯煤體在開采過程中常出現(xiàn)兩種擾動環(huán)境，其一為保護(hù)層開采引起被保護(hù)層煤體應(yīng)力卸壓，其二為本煤層開采引起工作面前方煤體卸壓破壞。文獻(xiàn)[26]利用物理相似試驗?zāi)Ｐ脱芯苛讼卤Ｗo(hù)層開采過程中被保護(hù)層體積應(yīng)變變化規(guī)律。下保護(hù)層開采時，被保護(hù)層經(jīng)歷了加載、卸載過程，隨之滲透率發(fā)生先減小后增大的現(xiàn)象。利用本文滲透率公式(11)進(jìn)行擬合(圖5)，以獲得雙曲滲透率模型的相關(guān)參數(shù)，見表1。選取文獻(xiàn)[22]中卸圍壓加軸壓滲流實驗數(shù)據(jù)，以體積應(yīng)變擴(kuò)容點為起始點，繪制滲透率比率-體積應(yīng)變圖，選擇式(12)進(jìn)行參數(shù)擬合，滲透率擬合曲線如圖6所示，參數(shù)見表1。圖5,6中，體積應(yīng)變負(fù)值表示壓縮應(yīng)變，正值表示膨脹應(yīng)變。

表1 雙曲函數(shù)型滲透率模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 1 Parameter determination of developed permeability model

圖5 保護(hù)層開采下煤體滲透率比率-體積應(yīng)變曲線Fig.5 Permeability ratio with volumetric strain of coal under protective seam mining

圖6 卸圍壓煤體滲透率比率-體積應(yīng)變曲線Fig.6 Permeability ratio with volumetric strain of coal under unloading confining pressure

從圖5，6可以看出，體積應(yīng)變從壓縮轉(zhuǎn)變?yōu)榕蛎洠大w積應(yīng)變零值，并未對應(yīng)著滲透率的最低值，而是煤體還處于壓縮階段，在煤基質(zhì)變形和裂紋擴(kuò)展共同作用下導(dǎo)致滲透率增加，且這種增長趨勢為不可逆行為。

3.2 蠕變條件下滲透率演化模型驗證

深部煤體蠕變滲流實驗中測得滲透率隨軸向應(yīng)變呈現(xiàn)降低、穩(wěn)態(tài)、增加的規(guī)律。采用滲透率比率表達(dá)式(13)對文獻(xiàn)[27]蠕變條件下滲透率隨軸向應(yīng)變的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，如圖7中Ⅰ型滲透率模型所示。利用體積蠕變表達(dá)式獲得的由軸向應(yīng)變表示的滲透率方程(15)同樣可以對蠕變條件下滲透率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，如圖7中Ⅱ型滲透率模型曲線所示。兩種滲透率模型均能很好地模擬滲透率先減小、穩(wěn)定、后增加的趨勢，相關(guān)參數(shù)見表2。

表2 蠕變滲透率模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 2 Parameter determination of developed permeability model for coal creep

圖7 蠕變條件下滲透率比率-軸向應(yīng)變曲線Fig.7 Permeability ratio with axial strain in triaxial creep test

4 結(jié) 論

(1)分析煤體常規(guī)三軸滲流實驗和采動條件下滲流實驗結(jié)果可知，在不同的應(yīng)力路徑下，煤體應(yīng)力-應(yīng)變曲線和體應(yīng)變-軸向應(yīng)變曲線形狀類似，但是滲透率-體積應(yīng)變曲線則表現(xiàn)出差異性。以體積應(yīng)變擴(kuò)容點為界，采動應(yīng)力路徑下，當(dāng)煤體達(dá)到擴(kuò)容點后，滲透率隨體積應(yīng)變從壓縮變?yōu)榕蛎洺尸F(xiàn)先降低后增加的過程。

(2)基于煤體在采動應(yīng)力路徑下真實滲透網(wǎng)絡(luò)使得流體耗能最低的假設(shè)，推導(dǎo)得出以體積應(yīng)變?yōu)樽宰兞康碾p曲函數(shù)型滲透率表達(dá)式。

(3)根據(jù)卸圍壓滲流實驗數(shù)據(jù)和蠕變滲流實驗數(shù)據(jù)對雙曲函數(shù)型滲透率表達(dá)式進(jìn)行擬合，結(jié)果表明該模型可以很好地展現(xiàn)滲透率隨體積應(yīng)變(軸向應(yīng)變)先減小后增大的規(guī)律，為深部煤體采動應(yīng)力-滲流耦合模型提供了理論基礎(chǔ)。