葉片軸截面曲線擬合方法

郭子健

摘 ?要：渦輪葉片作為飛機發(fā)動機的關鍵零部件，渦輪葉片和發(fā)動機高溫區(qū)的零部件壽命往往是制約現(xiàn)代高性能航空器壽命周轉的決定性因素。航空發(fā)動機零部件修復可謂是高投入、高附加值、高層次政策下的高技術產(chǎn)業(yè)，是一項軍民通用技術。其巨大的經(jīng)濟利益吸引了許多國家和地區(qū)紛紛涉足此領域。逆向工程是一種高效率、低成本的新型設計方式。該文基于逆向工程技術，通過對點云數(shù)據(jù)進行測量，并對點云數(shù)據(jù)進行預處理，進而將曲面重構等技術對渦輪葉片的軸截面特性進行分析以及葉型進行擬合，為飛機發(fā)動機葉片的逆向重構提供了前提。這為航空發(fā)動機渦輪葉片損耗的有效降低和高效維修奠定了基礎，具有一定的理論價值和實際意義。

關鍵詞：葉片軸截面特性 ?葉片修復 ?逆

中圖分類號：TP391 ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）12（b）-0001-05

1 ?緒論

1.1 葉片修復的發(fā)展現(xiàn)狀和經(jīng)濟意義以及該課題的意義和目的

1.1.1 航空發(fā)動機葉片修復的發(fā)展現(xiàn)狀和經(jīng)濟意義

航空發(fā)動機葉片，特別是渦輪葉片的工作環(huán)境非常惡劣，要承受高溫、高壓燃氣的嚴重腐蝕，還要承受發(fā)動機高速轉動所帶來的葉片自身的離心力、氣動力、熱應力以及振動負荷;當發(fā)動機工況不斷變化時，葉片還要經(jīng)受冷熱疲勞。因此，渦輪葉片是發(fā)動機各部件中受力和受熱最為嚴重的零件之一，也經(jīng)常出現(xiàn)一些失效的現(xiàn)象。失效原因一般包括斷裂、疲勞裂紋、伸長或縮短量超標、外物打傷程度超過了修理允許量、葉冠變形、使用過熱或超溫、腐蝕、涂層破壞等。由于渦輪葉片是航空發(fā)動機內(nèi)主要的損傷葉片，也是價格最為昂貴的部件。而且通過國內(nèi)各大航空公司（中國國際航空公司、中國南方航空公司等）以及發(fā)動機維修廠（AMECO飛機維修公司、廈門太古飛機維修公司等）的調(diào)研而知，國內(nèi)對渦輪葉片的維修技術都只停留在非常低級的水平，甚至有些連渦輪葉片的清洗工作都沒有授權或者做不了。

最先于20世紀70年代中期，美國惠普公司就開始研究發(fā)動機渦輪葉片的修理技術，并取得了顯著的成效，推向了市場。之后，英國、法國等歐洲國家也共同制定了COST50計劃，進行了大量的基礎性研究，并對羅羅公司生產(chǎn)的RB211發(fā)動機和其他渦輪部件的修復技術進行研究。這些年來，隨著材料科學的研究、質(zhì)控技術以及零件生產(chǎn)制造工藝的迅速發(fā)展，發(fā)動機渦輪部件維修也得到了很大的發(fā)展。雖然渦輪葉片的修復價格高昂，但是她可以顯著提高葉片的使用壽命，從而使葉片的每小時使用費顯著降低。比如，預防性維修可以在渦輪葉片服役3500h之后進行，則維修費用為葉片成本的5%，葉片的維修后還可以服役3500h，則分攤到葉片每個工作小時的成本僅為新葉片價格的0.015%;如果對服役3500h后的葉片進行大修，并對其進行熱等靜壓處理，此修理成本為新葉片價格的20%。一般認為若葉片修復的成本小于新葉片價格的70%則修復工作是經(jīng)濟可行的[1]。

1.1.2 該課題的意義和目的

該課題基于逆向工程技術，通過對點云數(shù)據(jù)進行測量，并對點云數(shù)據(jù)進行預處理，進而將曲面重構等技術對渦輪葉片的軸截面特性進行分析以及葉型進行擬合，以實現(xiàn)飛機發(fā)動機葉片的逆向重構，為飛機發(fā)動機葉片的高效修復奠定了基礎，具有一定的經(jīng)濟意義和實際價值。

1.2 論文主要研究的內(nèi)容

該文所需討論研究的內(nèi)容主要是對葉片軸截面的曲線進行擬合和分析。

在葉片設計時，雖然有很多可以解決強度、剛度和振動問題的先進設計方法，但是葉片的燒蝕和損傷在發(fā)動機中仍然很常見，為了解決葉片損壞的故障就必須在計算它的動態(tài)靜態(tài)應力和應變場分布振動特性的同時深入了解葉片的動態(tài)靜態(tài)特性。為了計算葉片的力學性能，首先必須了解葉片幾何特性，而葉片的幾何特性指的是與葉片形狀和尺寸有關的數(shù)據(jù)，如葉片的截面面積、質(zhì)心坐標、葉片的最大厚度、葉片的弦長等，而曲線的擬合是計算以上參數(shù)的必備前提。

2 ?葉片點云的輸入與處理

點云模型的獲取是一切研究的開端，也是逆向工程的開端。該章主要會詳細介紹點云從獲取、初步處理、數(shù)據(jù)擬合等方面的具體過程，以及相關的概念，為接下來的軸截面幾何特性奠定基礎。

2.1 點云的輸入

先提取出葉片坐標點數(shù)據(jù)，對于復雜曲面數(shù)據(jù)的獲取方法初步計劃為才用數(shù)字化測量，可分為兩大類：接觸式測量和非接觸式測量[5]。

其主要原理和特點如下。

2.1.1 觸發(fā)式數(shù)據(jù)測量的原理

當采樣探頭首先接觸到樣品表面時，探頭尖端因為產(chǎn)生力發(fā)生細微形變，從而使采樣開關被觸發(fā)，這也就可以讓探頭記錄下當前的坐標，并通過每一個點逐次采樣移動來采集樣品表面的坐標數(shù)據(jù)。這個方式具有非常高的精確度，但是效率低下，用來測算軟性材料通常具有巨大誤差，并且不宜測量凹型曲面，該方法常用于測量回轉體的表面數(shù)據(jù)。

2.1.2 連續(xù)式數(shù)據(jù)測量的原理

使用模擬開關探頭來進行連續(xù)數(shù)據(jù)的測量，其實是利用懸掛在三維彈簧系統(tǒng)中的探針位置偏移所產(chǎn)生的電感或者電容的變化，與此同時對機電模擬量進行轉換。當探針以切向速度沿樣品表面移動時，它就會發(fā)出與坐標位置相關偏移量相對應的電流信號或者電壓信號。由于采集過程是連續(xù)的，所以這個方法的速度比點出探針要快很多，所以會有比較高的采樣精度，可以用來進行大量的數(shù)據(jù)采集工作。另外，因為接觸壓力很小，小直徑探頭可以掃描模型的細小零件或者軟材料模型。

該文所研究的點云大概提取到了137萬個點，之后便可以對收集到的葉片點云利用Solidwork或者Imageware進行初步的還原并且可初步觀察一下葉片的形狀和與坐標軸的位置關系。

2.2 點云的降噪（誤差點的處理）

點云取樣時產(chǎn)生的誤差點（即指噪點，以下稱作誤差點）關系到葉片截面幾何特性計算的精度，也直接影響在截面幾何特性修復過程之后的維修工作，決定了修復之后的飛機發(fā)動機葉片的空氣動力學性能。該章將對獲取點云時產(chǎn)生的誤差以及誤差對截面幾何特性計算時的影響進行分析。

2.2.1 誤差點產(chǎn)生的主要形式

（1）采集數(shù)據(jù)發(fā)生缺失或者數(shù)據(jù)的密度不符合要求。利用這種不完整的數(shù)據(jù)來進行擬合會出現(xiàn)較大的誤差，很難達到所需測量精度的要求。

（2）當被測物體是大工件或透明件時，通常會發(fā)生同一個表面采集的數(shù)據(jù)結果得到的是多層復合點云。

（3）單次的數(shù)據(jù)采集不準確而對整體的測量精度產(chǎn)生影響。

（4）由于誤差的過量積累而導致錯誤的測量結果。

（5）點云在幾何分析上的錯誤拼接而導致測量誤差出現(xiàn)。

（6）測量數(shù)據(jù)中的噪點過多。

2.2.2 誤差點對葉片截面幾何特性分析的影響

誤差點會導致截面曲線擬合上的出錯，以至于無法完成平滑曲線的擬合。在面積的插值算法上也會導致輸出面積結果錯誤。此外，在定量分析中，其分析結果一般不是直接通過一步測算就可以得到的，而是在經(jīng)過多次的測量后通過計算得到的。每次的測量都存在一定的誤差，這些誤差均會帶入分析結果中并產(chǎn)生影響，這些誤差是由傳遞性的，這將導致點云失真而導致所有計算的幾何參數(shù)失去可信度。所以，在點云處理之前需要進行消除誤差點的預處理。

2.2.3 誤差點的識別和去除

在所獲取的點云中存在的“跳點“以及”壞點“對點云數(shù)據(jù)使用MATLAB進行葉片軸截面幾何特性運算的結果影響相當大。如果不把這些誤差點去除將會使計算結果還有誤差分析的結果的可信度大打折扣。一般的，誤差點的判斷方法有以下幾個。

（1）直接觀察法。通過圖形終端將偏離點云圖像較大的點或者明顯的孤立點直接去除。此方法比較適合作點云數(shù)據(jù)的初步檢查，可以從點云點集中直接篩選出一些有著明顯誤差的異常點。

（2）利用曲線擬合檢查的方法。通過提取出分析的截面點云的起點和終點而得到的曲線采用最小二乘法來進行擬合，曲線擬合所需的階次可根據(jù)飛機發(fā)動機葉片的具體形狀來選?。ㄒ话闱闆r選取3～4階）然后分別計算中間數(shù)據(jù)點到擬合曲線的歐氏距離，若點P的∣e∣≥[ε]，其中[ε]為給定的允差，則認定點P是壞點，應給去除。

（3）弦高差法。連接要檢查的前后兩個點，計算P到弦的距離，若點P的∣e∣≥[ε]，其中[ε]為給定的允差，則認為P是壞點，應該去除。這種方法適合用于點云均衡分布但是分布比較密集的情況，特別是在點云曲率明顯較大的情況。

2.3 點云的初步處理

在點云數(shù)據(jù)獲取之后，將點云數(shù)據(jù)導入Imageware可初步觀察到點云姿態(tài)。之后在Imageware中利用斜線的梯度化現(xiàn)象以地面為基準擺正工件的榫頭（即擺正葉片點云）。擺正時要從正視圖、左視圖、右視圖分別調(diào)整，最終得出一個擺放工整的工件點云。

由于后續(xù)工作都要在正位點云的狀態(tài)下進行的，所以正位之后的點云的坐標尤其重要。在微調(diào)擺正之后利用Imageware導出正位點云坐標，并另存為Blade.txt格式文本文檔等待后續(xù)處理。

在Imageware環(huán)境下觀察葉片點云的具體形狀，并確定整個葉片點云中的葉片部分還有底座榫頭部分。通過Imageware對點云邊界點的分析功能可知，該葉片樣品在Z軸坐標15.00以上的部分為葉片部分，其以下的部分為榫頭部分。我們主要的研究任務是以葉片的軸截面的幾何特性作為研究對象，所以我們以Z軸坐標15.00及其以上部分作為主要的研究對象來進行分組以及處理。

之后我們利用SPSS數(shù)學統(tǒng)計軟件的篩選數(shù)據(jù)的功能對點云數(shù)據(jù)進行篩選。SPSS有著強大的數(shù)據(jù)管理功能，其中包括數(shù)據(jù)的排序、篩選和轉置等，其中篩選功能非常強大，可以根據(jù)用戶的需要進行自定義篩選，也可以根據(jù)各類函數(shù)、條件進行數(shù)據(jù)篩選并且進行刪除，轉存等工序，而且還可以自動輸出數(shù)據(jù)處理日志以便進行數(shù)據(jù)操作分析。

2.4 葉片軸截面曲線的擬合

2.4.1 數(shù)據(jù)點的分組

將之前用SPSS提取出來的一個點云薄片除去Z軸坐標之后近似看作一個平面上的點，這樣就可以對該提取點云進行擬合處理。實際上，葉片的截面曲線是由兩條型線組成的，分別是上型線和下型線，這個曲線結果通常是由流場分析得出的。

因此，在進行曲線擬合之前必須要把之前得到的數(shù)據(jù)對分成兩組，也就是一組上型線點和一組下型線點。具體的實施方式如下所述。

（1）利用SPSS篩選出所截取的數(shù)據(jù)點中，X坐標的兩個極點，即最大和最小的兩個點，此兩點分別記為Dmax和Dmin。

（2）再利用點到距離的算法篩選出到Dmax和Dmin的連線的距離最遠的點Dfar。

（3）根據(jù)坐標分別推算出Dmax和Dfar的連線的直線方程以及Dmin和Dfar的連線的直線方程。

（4）對（1）所篩選出來的點云的其余點與（3）中所聯(lián)立出的兩條直線方程分別進行比較，這兩條線上方的點屬于葉片剖面輪廓線的上輪廓即上型線，而此兩線下方的點屬于葉片剖面輪廓線的下輪廓即下型線。Dfar是位于截面輪廓上型線的點，Dmax和Dmin既是上型線的點又是下型線的點，它們是葉片截面上型線和下型線的分界點。

如此便可將提取出來的數(shù)據(jù)點分為兩組，以便接下來對整個葉片截面曲線進行擬合研究。

2.4.2 葉片截面曲線的擬合

對于飛機發(fā)動機葉片截面曲線擬合一般才用的方法有兩種，分別如下。

（1）最小二乘多項式法。

當在研究兩個自變量（x，y）之間的關系時，我們通常能夠得到一系列數(shù)據(jù)對（x1，y1，x2，y2...xn，yn）;在把上述數(shù)據(jù)對在X-Y直角坐標系里繪制時，如果這些數(shù)據(jù)點在一條直線附近時，就可以得出線性方程式，如式（1）。

（1）

其中：a0、a1是任意實數(shù)。

為了建立這個線性方程，我們必須確定a0和a1，那么我們就可以應用“最小二乘法原理”，把實測值Yi和使用方程式（1）的計算值Yj=a0+a1X的離差（Yi-Yj）的平方和小作為“優(yōu)化準則”。

令：φ= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

把方程式（1）代入方程式（2）中得：

φ= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

在的值為最小值時，可以用上述函數(shù)式（1-003）計算其對a0、a1的偏導數(shù)，使這兩個偏導數(shù)的數(shù)值為0。

（4）

（5）

亦即： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

（7）

如此我們就得到了兩個關于a0、a1兩個方程組，通過對這兩個方程組求解，我們可以得到以下結果：

（8）

（9）

此時，將a0、a1代進式（1）式子里去，那么式（1）便為回歸的元線性方程，也就是數(shù)學模型。

在回歸過程中，其回歸本身的相關性也不會精準地通過每個回歸數(shù)據(jù)點（x1，y1，x2，y2...，xm，ym），為了確定其關聯(lián)性的質(zhì)量，可以用相關系數(shù)“R”、統(tǒng)計量“F”以及剩余的標準差“S”進行判斷;“R”的值越接近1越佳;“F”的絕對值越大越適合;“S”越逼近0越相關。

（10）

在方程式（1）中，m是樣本本身的體量即容量的大小，也就是實驗進行的次數(shù)，而Xi、Yi是任意一組實驗數(shù)據(jù)對應的X、Y的值[6]。

（2）正交多項式配合回歸曲線法。

設存在一組觀察值（xt，yt）t=1，2，…，n，那么如果該觀察值存在非線性關系，那么其多項式回歸方程為：

（11）

為了讓離回歸平方和，也就是SSQ=∑（y-）2最小，可以從最小二乘法原理推導出下面的正規(guī)方程組：

（12）

解上述方程組可得：b0，b1，b2，…，bp。

若令x1=x，x2=x2，…，xp=xp，或φ1（x）=x，φ2（x）=x2，…，φp（x）=xp，則（11）可改寫成 ：

（13）

（14）

如此，將xi或Φi（x）視為一個新變量，（13）或（14）方程式就為一個元數(shù)為p的多元線性回歸方程，每一個偏回歸系數(shù)di仍然可以根據(jù)下列正規(guī)方程組求得相應的解。

（15）

其中，（i，j=1，2，…，p）。

或

同樣，對于多元多項式回歸，也可以化為多元線性回歸來分析，例如，對于多變量的任意多項式回歸方程：

（16）

只要令x1=z1，x2=z2，x3=z12，x4=z1z2，x5=z22…可化為多元線性回歸方程：

（17）

其偏回歸系數(shù)的計算，回歸方程的顯著性檢驗，各偏回歸平方和的計算及顯著性檢驗，都與多元線性回歸分析相似。

一般來講對于飛機發(fā)動機葉片截面的擬合，一般才用的是最小二乘多項式法擬合，也有才用正交多項式配合回歸發(fā)動機性能曲線擬合以減少計算工作量。因為計算和測量所存在的誤差是不可避免的，我們獲得的數(shù)據(jù)也不可能準確地反映真實的結果。因此，用上述方法擬合實驗結果曲線或者是流場計算結果是合理的。所以最小二乘法是相對較好的處理選擇，最小二乘法準則可以使測量值與其擬合值之差的加權平方和最小，如此可以盡量消除誤差的影響。擬合的曲線是一條盡可能平滑地連接每個測量點的曲線。假定擬合曲線必需準確經(jīng)過型值點，則最小二乘多項式是有點艱難的。因為只有當擬合的階數(shù)很高時，我們所擬合出的曲線才能穿過全部的類型值點，但該擬合曲線在相鄰的類型值點之間會劇烈波動，所以由此得到的擬合曲線也不合理。因此，在需要精確傳遞類型值點的曲線擬合中，最常用的是三次樣條函數(shù)。三次樣條函數(shù)是一種分段代數(shù)多項式，它簡單易擬合，擬合能力強。它可以通過平面上任意數(shù)量的類型點，保證曲線的第一導數(shù)和第二導數(shù)的連續(xù)性。所以對于某些曲線，擬合三次插值的效果可能優(yōu)于三次樣條插值 。

在曲線擬合中，MATLAB給出了多種擬合措施，以便于積分計算，同時并考慮了曲線擬合的精度，所以我們使用傅里葉級數(shù)極限逼近曲線擬合。葉片截面點云分布非常復雜，所以我們利用傅立葉級數(shù)逼近式：

f（t）=a0+（b1sinωt+a1cosωt）+（b2sin2ωt+a2cos2ωt）+…+（bksinkωt+akcoskωt） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

作為葉片截面曲線擬合的依據(jù)。多次試驗并且取誤差最小的擬合方程，最后選擇了有限項傅里葉級數(shù)作為擬合的方法，并且根據(jù)這種擬合方法編寫了MATLAB程序，利用cftool工具箱對截面輪廓的上型線進行了擬合（如圖2-11）。

由于下型線近似為一條直線，所以我們用兩條直線來進行擬合，上下型線共同構成封閉的截面曲線。

采用上述的方法，我們就可以對之前分組的葉片截面曲線進行擬合（如圖2-12）。

參考文獻

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