漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片的設(shè)計(jì)與慢刀伺服車削

牛恒泰 康 敏,2 王興盛 楊 軍

1.南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院,南京，210031 2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué)灌云現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備研究院，灌云，222200

0 引言

在實(shí)際應(yīng)用中，漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片需要根據(jù)配鏡者眼睛的度數(shù)進(jìn)行專門設(shè)計(jì)，故鏡片面型設(shè)計(jì)方法是該領(lǐng)域的主要研究方向之一。漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片的設(shè)計(jì)可按硬式設(shè)計(jì)和軟式設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行分類，具體的設(shè)計(jì)方法包括WINTHROP[1]的方法、STEELE[2]的方法、HSU等的B樣條方法[3]以及LOOS等的變分?jǐn)?shù)值方法[4]等，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法多為采用復(fù)變函數(shù)計(jì)算對(duì)曲面進(jìn)行設(shè)計(jì)，其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。正是由于漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面(progressive-addition lenses, PAL)面型的復(fù)雜性，其加工也面臨著較大的挑戰(zhàn)。目前的鏡片加工方法主要包括注塑成形法和數(shù)控加工法。數(shù)控加工方法中，慢刀伺服車削技術(shù)具有較高的面型加工精度及加工效率，廣泛應(yīng)用于非球面光學(xué)元件的加工[5]，因此可將慢刀伺服車削技術(shù)用于漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面的加工。

本文提出一種漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面鏡片的參數(shù)化幾何建模的設(shè)計(jì)方法，它可以控制光焦度和像散變化、過(guò)渡區(qū)范圍以及近視區(qū)遠(yuǎn)視區(qū)的面型和大小。該方法基于已知的曲率曲線的離散化處理，能夠基于佩戴者的習(xí)慣和特點(diǎn)設(shè)計(jì)合適的漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面鏡片，通過(guò)改變近視區(qū)和遠(yuǎn)視區(qū)的尺寸和其他參數(shù)，如過(guò)渡區(qū)長(zhǎng)度等，能夠?qū)崿F(xiàn)漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面眼鏡的便捷定制。此外，本文提出了一種離散形式曲面的刀觸點(diǎn)生成方法，將慢刀伺服車削用于漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面加工。

1 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面設(shè)計(jì)方法

漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面(progressive-addition lenses, PAL)沒(méi)有回轉(zhuǎn)對(duì)稱性，屬于空間自由曲面，不能簡(jiǎn)單通過(guò)代數(shù)方程來(lái)表達(dá),可以劃分為四部分：近視區(qū)、遠(yuǎn)視區(qū)、過(guò)渡區(qū)和像散區(qū)，如圖1所示。其中，近視區(qū)、遠(yuǎn)視區(qū)和中間過(guò)渡區(qū)為主要成像區(qū)。遠(yuǎn)視區(qū)的屈光度P為定值并且較??；遠(yuǎn)視區(qū)和近視區(qū)之間為過(guò)渡區(qū)，屈光度均勻變化，過(guò)渡區(qū)的屈光度的變化范圍定義為ADD；近視區(qū)的屈光度也為定值，且屈光度相對(duì)較大，定義為P+ADD。

圖1 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面鏡片示意圖Fig.1 Schematic diagram of progressive-addition lenses

本文的漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面設(shè)計(jì)方法主要由曲面參數(shù)設(shè)置和曲面三維模型構(gòu)建兩部分組成。

1.1 曲面參數(shù)設(shè)置

漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面設(shè)計(jì)建模過(guò)程涉及到的參數(shù)可以分為幾何參數(shù)(遠(yuǎn)視區(qū)、近視區(qū)的尺寸和位置)和光學(xué)參數(shù)。主要幾何參數(shù)見(jiàn)圖2、表1。由過(guò)點(diǎn)D1、D2、D3的二次曲線圍成的區(qū)域?yàn)檫h(yuǎn)視區(qū)，由過(guò)點(diǎn)N1、N2、N3的二次曲線圍成的區(qū)域?yàn)榻晠^(qū)。用于漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面建模的光學(xué)參數(shù)見(jiàn)表2。

圖2 幾何參數(shù)定義Fig.2 Definition of geometric parameters

表1 幾何參數(shù)的含義

表2 光學(xué)參數(shù)的含義

注：D為光焦度的單位屈光度，1D=1 m-1

在透鏡的折射率n=1.523情況下，已知中心厚度CT，就可得出前表面的曲率半徑RF、遠(yuǎn)視區(qū)的曲率半徑RD和近視區(qū)的曲率半徑RN：

(1)

式中，cD、cN分別為遠(yuǎn)視區(qū)和近視區(qū)的曲率。

此外，通過(guò)改變前表面的曲率半徑可以對(duì)近視區(qū)和遠(yuǎn)視區(qū)進(jìn)行調(diào)整，也可以通過(guò)分別引入遠(yuǎn)視區(qū)和近視區(qū)的非球面系數(shù)KD和KN，以減少軸外散光。

1.2 曲面三維模型構(gòu)建

光焦度和像散是評(píng)價(jià)漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面鏡片光學(xué)特性的2個(gè)主要參數(shù)。為確保中間過(guò)渡區(qū)的光焦度連續(xù)變化以及較低的像散，若要使像散為零，則該區(qū)域的主曲率必須相等[6]。鏡片的光焦度與折射率以及表面平均曲率成比例，像散和兩主曲率之差成比例。光焦度是衡量鏡片偏折光線能力的物理量，單位為屈光度D(1D=1 m-1)，需要和佩戴人的眼睛度數(shù)匹配。屈光度與焦距成反比，焦距越小，屈光度越大；焦距越大，屈光度越小。像散單位同樣為屈光度，但像散會(huì)造成成像不清晰，需要盡量避免[7]。故漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面的最終設(shè)計(jì)目標(biāo)可以概括為以下三點(diǎn)：①漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面上各點(diǎn)的光焦度應(yīng)該光滑過(guò)渡，沒(méi)有像跳現(xiàn)象；②主要成像區(qū)的遠(yuǎn)視區(qū)和近視區(qū)的光焦度應(yīng)該和理論值盡量一致；③漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面上各點(diǎn)的像散應(yīng)該盡量小，遠(yuǎn)視區(qū)、近視區(qū)和中間過(guò)渡區(qū)的像散最好為零，將鏡片的像散盡量往像散區(qū)集中。

為滿足上述條件，本文提出如下的建模過(guò)程。

(1)遠(yuǎn)視區(qū)模型構(gòu)建。遠(yuǎn)視區(qū)為一中心在D2的非球面，可通過(guò)等距取點(diǎn)獲得離散形式的曲面，每點(diǎn)(x，y)的z坐標(biāo)為

(2)

(2)近視區(qū)模型構(gòu)建。近視區(qū)為一中心在N2的非球面，可通過(guò)等距取點(diǎn)獲得離散形式的曲面，每點(diǎn)(x，y)的z坐標(biāo)為

(3)

圖3中，兩條白色拋物線劃分了近視區(qū)、過(guò)渡區(qū)和遠(yuǎn)視區(qū)，上述步驟(1)、步驟(2)的建模結(jié)果即為圖3所示的近視區(qū)和遠(yuǎn)視區(qū)。

圖3 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面模型Fig.3 PAL model

(3)過(guò)渡區(qū)模型構(gòu)建。需先通過(guò)曲率設(shè)計(jì)構(gòu)建一組二次曲線，通過(guò)在曲線上等距取點(diǎn)獲得離散形式的面型。過(guò)渡區(qū)曲線上點(diǎn)(x，y)的z坐標(biāo)為

(4)

式中，(Xci，Yci)是過(guò)渡區(qū)第i條曲線中點(diǎn)坐標(biāo)，i=1，2，…，k；k為中間區(qū)域曲線的總數(shù)目；Rci是點(diǎn)(Xci，Yci)處曲率半徑；Kci是點(diǎn)(Xci，Yci)處非球面系數(shù)。

過(guò)渡區(qū)的二次曲線由以下三點(diǎn)插值的方法構(gòu)建：如圖4所示，過(guò)渡區(qū)每條插值曲線需要先確定2個(gè)插值點(diǎn)然后進(jìn)行插值，第一點(diǎn)通過(guò)下式

(5)

在點(diǎn)D2和點(diǎn)N2的連線上的等距取點(diǎn)得到。第二和第三點(diǎn)是通過(guò)特定半圓上的等弧長(zhǎng)取點(diǎn)得到的，該半圓在遠(yuǎn)視區(qū)和近視區(qū)的邊界曲線中間，圓心分別為D1N1和D3N3連線的中點(diǎn)。

圖4 過(guò)渡區(qū)曲線三點(diǎn)插值Fig.4 Curves interpolation of the intermediate area

為了獲得連續(xù)的變化光學(xué)性能，過(guò)渡區(qū)的曲線的曲率必須嚴(yán)格控制，曲率ci為[8]

t=i/k

(6)

過(guò)渡區(qū)域的非球面系數(shù)為

Kci=-2(KN-KD)t3+3(KN-KD)t2+KD

(7)

過(guò)渡區(qū)曲線構(gòu)建結(jié)果如圖5所示。

圖5 過(guò)渡區(qū)曲線(k=101)Fig.5 Curves in intermediate area(k=101)

漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面鏡片設(shè)計(jì)的最后一個(gè)主要的步驟是將3個(gè)主要視覺(jué)區(qū)域進(jìn)行組合，圖3顯示了3個(gè)區(qū)域組合后的結(jié)果。

2 曲面光學(xué)特性分析

漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片的佩戴者主要靠主成像區(qū)進(jìn)行成像，通過(guò)連續(xù)變化的光焦度實(shí)現(xiàn)全程空間清晰的視功能。一般情況下，漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面鏡片厚度較小，而且鏡片一側(cè)表面為漸進(jìn)面，另一側(cè)表面為各點(diǎn)曲率恒定的球面或非球面，因此漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面鏡片的光焦度P和像散S為

(8)

式中，n為鏡片材料的折射率，n=1.53;K1、K2分別為曲面上一點(diǎn)的2個(gè)主曲率。

主曲率計(jì)算公式為

(9)

式中，e、f、g為曲面第一基本形式系數(shù)；L、M、N為曲面第二基本形式的系數(shù)[9]。

本文設(shè)計(jì)的漸進(jìn)面為離散形式的曲面，在曲率計(jì)算時(shí)用差分代替了微分。

根據(jù)方程系數(shù)與根的關(guān)系，有

(10)

圖6、圖7所示為本文建模方法設(shè)計(jì)的漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面與基底球面疊加后的光焦度與像散分布，可以看出，該曲面的光焦度過(guò)渡均勻且主成像區(qū)域的光焦度數(shù)值與設(shè)計(jì)一致，且主成像區(qū)域的像散為零，像散區(qū)域像散變化較小且不影響主成像區(qū)功能，符合設(shè)計(jì)要求。

圖6 光焦度分布Fig.6 Distribution of surface power

圖7 像散分布Fig.7 Distribution of surface astigmatic power

進(jìn)一步分析表明，過(guò)渡區(qū)的曲率方程(式(6))能夠控制像散分布：當(dāng)采用更高階多項(xiàng)式時(shí)，像散的變化更為平滑，但像散的最大值將變得更大。過(guò)渡區(qū)曲率導(dǎo)數(shù)的值會(huì)影響像散的值，曲率導(dǎo)數(shù)減小，像散最大值將會(huì)增大。過(guò)渡區(qū)曲率導(dǎo)數(shù)與沿著過(guò)渡區(qū)的光焦度導(dǎo)數(shù)成正比，即與沿垂直方向的像散導(dǎo)數(shù)相關(guān)[7]。另外，設(shè)計(jì)參數(shù)中的ADD取值也會(huì)影響像散值，ADD增大，像散增大，最大像散的比值等于ADD之比；遠(yuǎn)視區(qū)或近視區(qū)面積增大，最大像散增加。

3 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面的慢刀伺服車削

慢刀伺服(slow tool servo，STS)車削技術(shù)是一種超精密車削方法，STS機(jī)床通過(guò)X、Z、C三軸聯(lián)動(dòng)可以高精度、高效率地加工包括漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面在內(nèi)的各類復(fù)雜自由曲面。STS車削過(guò)程中，刀具與加工曲面的切點(diǎn)稱為刀觸點(diǎn)，刀觸點(diǎn)生成方法的優(yōu)劣決定了刀具路徑規(guī)劃的精度，是曲面加工的關(guān)鍵。

3.1 刀觸點(diǎn)生成

對(duì)于連續(xù)曲面，確定每一刀觸點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)后，該點(diǎn)的z值可由曲面方程z=f(x,y)計(jì)算[10]，但對(duì)于離散形式的漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面，每一刀觸點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)與該點(diǎn)的z值并無(wú)明確的函數(shù)關(guān)系，因而不易通過(guò)方程計(jì)算。本文基于離散曲面的矩陣數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)每個(gè)生成的刀觸點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)處進(jìn)行局部數(shù)據(jù)Zernike多項(xiàng)式擬合得到(x,y)處的z值，從而得到刀觸點(diǎn)數(shù)據(jù)。如圖11所示，按下式即可計(jì)算出XY平面的刀觸點(diǎn)坐標(biāo)：

(11)

式中，af為C軸每轉(zhuǎn)一周刀具的X向進(jìn)給量；θ=jΔθ，j=1，2，…，Q；Q為刀觸點(diǎn)總數(shù)；Δθ為相鄰兩刀觸點(diǎn)與原點(diǎn)連線投影至XY平面的夾角。

假設(shè)給定m×n階離散曲面網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)矩陣，則只需要計(jì)算出每個(gè)刀觸點(diǎn)(xc，yc)對(duì)應(yīng)的zc值即可得到刀觸點(diǎn)軌跡。圖8中，工件半徑R=20 mm，af=1 mm/r，Δθ=5°，Q=1 441。

圖8 XY平面刀觸點(diǎn)分布Fig.8 Cutting contact points in XY plane

首先，在XY平面上找出網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)中距第j個(gè)刀觸點(diǎn)(xc，yc)最近的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)，圖9中距離刀觸點(diǎn)p最近的網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)為點(diǎn)5，取點(diǎn)5及附近的8個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)(xc，yc)進(jìn)行局部擬合。

圖9 局部擬合XY平面示意圖Fig.9 Schematic diagram of local fitting in XY plane

Zernike多項(xiàng)式擁有良好的數(shù)學(xué)性能，有無(wú)窮多項(xiàng)而且均線性無(wú)關(guān)[11]，選用Zernike多項(xiàng)式對(duì)(xc，yc)進(jìn)行局部區(qū)域擬合。Zernike多項(xiàng)式在直角坐標(biāo)系中的表示為

(12)

式中，m為多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)；ai為多項(xiàng)式第i項(xiàng)系數(shù)；Zi為多項(xiàng)式第i項(xiàng)。

表3列出了極坐標(biāo)系下和直角坐標(biāo)系下的前6項(xiàng)具體表達(dá)式?？砂催@些數(shù)字式對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行局部曲面擬合。如果離散曲面為細(xì)分曲面或者點(diǎn)集曲面，可類似地取刀觸點(diǎn)周圍點(diǎn)以及合適的多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)進(jìn)行擬合。

使用Zernike多項(xiàng)式的前6項(xiàng)進(jìn)行局部區(qū)域擬合，有

表3 Zernike多項(xiàng)式前6項(xiàng)表達(dá)式

上式可簡(jiǎn)記為

UA=Z

Ugh=Zh(xg,yg)

(13)

g=1，2，…，9h=0，1，…，5

式(21)中，方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)，因此是超定方程組，只有最小二乘解，若直接求解該方程組，可能因?yàn)殡A數(shù)使最小二乘法形成的正則方程系數(shù)矩陣出現(xiàn)“病態(tài)”，而使得求解得到的Zernike多項(xiàng)式系數(shù)矩陣A不穩(wěn)定。本文采用Householder方法對(duì)系數(shù)矩陣U進(jìn)行QR分解[12]，將其正交三角化后再求最小二乘解，從而快速穩(wěn)定地求出系數(shù)矩陣A，從而求出第j個(gè)刀觸點(diǎn)(xc,yc)處的局部擬合曲面方程：

z=fi(x,y)

(14)

將刀觸點(diǎn)(xc，yc)數(shù)據(jù)代入式(14)即可求得對(duì)應(yīng)的zc。至此，通過(guò)給定m×n矩陣的離散曲面網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出第j個(gè)刀觸點(diǎn)(xc，yc)對(duì)應(yīng)的zc，從而得到所有刀觸點(diǎn)的坐標(biāo)。為獲取該方法的擬合誤差，將連續(xù)曲面離散為網(wǎng)格數(shù)據(jù)，通過(guò)該方法生成的Z坐標(biāo)值與準(zhǔn)確值之間的差值稱為擬合誤差，圖10顯示了擬合誤差分布，可以看出，選取擬合點(diǎn)越多，越難反映局部面型，擬合誤差越大，故本文取9個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合。

圖10 誤差范圍與擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)關(guān)系Fig.10 Relation between error ranges and the number of fitting points

獲取刀觸點(diǎn)數(shù)據(jù)后，通過(guò)刀具形狀補(bǔ)償即可獲得用以數(shù)控加工的刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)，對(duì)刀位點(diǎn)進(jìn)行軌跡插值后，可實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)面的STS車削。

3.2 實(shí)驗(yàn)及分析

本文利用實(shí)驗(yàn)室自主研制的STS數(shù)控車削實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行加工實(shí)驗(yàn)，加工曲面為上文構(gòu)造的遠(yuǎn)視區(qū)屈光度為3D、近視區(qū)屈光度為5D的漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面，鏡片直徑d=60 mm，工件材料為樹脂PMMA。實(shí)驗(yàn)加工藝參數(shù)如下：?jiǎn)稳M向進(jìn)給速度af=0.5 mm/r，切削深度ap=0.01 mm，離散角Δθ=5°，刀尖圓弧半徑Rt=0.2 mm，采用Z向刀具補(bǔ)償。圖11、圖12所示為采用上述方法得到的刀觸點(diǎn)及刀位點(diǎn)分布，圖13為刀觸點(diǎn)刀位點(diǎn)軌跡。

圖11 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面刀觸點(diǎn)分布Fig.11 Distribution of PAL cutting contact points

圖12 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面刀位點(diǎn)分布Fig.12 Distribution of PAL cutting location points

圖13 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面刀觸點(diǎn)刀位點(diǎn)軌跡Fig.13 Trajectory of PAL cutting contact points and cutting location points

圖14所示為加工得到的漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面工件。采用OLS4100型激光共聚焦掃描顯微鏡對(duì)其表面粗糙度進(jìn)行測(cè)量，其表面粗糙度Ra為0.283 μm。使用MQ686型三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量加工得到的實(shí)際面型并將其與理論面型進(jìn)行對(duì)比，面型誤差分布如圖15所示，面型誤差為25 μm。

圖14 漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面工件Fig.14 Workpiece of PAL

圖15 面型誤差分布Fig.15 Distribution of surface error

4 結(jié)論

(1)提出的一種漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面的參數(shù)化設(shè)計(jì)方法能較好地控制光焦度與像散分布，在不采用復(fù)變函數(shù)如積分或微分方程的情況下給出了類似的結(jié)果，避免了復(fù)雜的計(jì)算。該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是能夠控制像散分布，改變遠(yuǎn)近視區(qū)的尺寸以及其他參數(shù)的尺寸，因此能夠根據(jù)佩戴者的習(xí)慣實(shí)現(xiàn)高度定制化。

(2)將慢刀伺服車削技術(shù)用于漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面的高精度加工。通過(guò)對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行局部Zernike多項(xiàng)式擬合，提出了一種針對(duì)包括漸進(jìn)面在內(nèi)的離散形式曲面車削刀觸點(diǎn)生成方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法能夠?qū)崿F(xiàn)漸進(jìn)面加工，工件面型誤差為25 μm，表面粗糙度Ra為0.283 μm。