如何讓學(xué)生深化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法

黃河清

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中所蘊含的一般的思維規(guī)律，是數(shù)學(xué)的靈魂.中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的現(xiàn)狀：一方面從教材內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)思想方法的表現(xiàn)形式隨著數(shù)學(xué)知識的逐步深化呈現(xiàn)出不同的層次性;另一方面，教師對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也因教學(xué)內(nèi)容的不同呈現(xiàn)出一種“零散”的狀態(tài).這使得學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是孤立的、缺乏聯(lián)系的，常處于“教者有心，學(xué)者無意”的層面，不能使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與感悟形成一個“系統(tǒng)”，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)水平的提高.

那么，立足學(xué)生“學(xué)”的層面，如何加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)呢？

一、增強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，包括兩個方面：一是數(shù)學(xué)知識，二是蘊含于知識中的數(shù)學(xué)思想方法.概念、定理、公式等知識是數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的內(nèi)在動力.知識是基礎(chǔ)，方法是先導(dǎo).相比掌握知識而言，方法促進(jìn)的是人的思想，更具有潛在的價值，更需要我們注重指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)與內(nèi)化.

盡管沒有嚴(yán)格的劃分，但我們習(xí)慣上把數(shù)學(xué)中那些具體的、操作性較強(qiáng)的解決問題的辦法稱為方法，而把那些抽象的、框架性的解決問題的辦法稱為思想.中學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法有以下三種基本類型.

（一）技巧型方法

比如，十字相乘法、配方法、代入法、加減消元法、換元法、待定系數(shù)法、等積變換法、向量法和錯位相消法等，它們有特定的研究對象和具體的解題模式，比較容易按既定程序操作.

（二）邏輯型思想方法

包括觀察、類比、歸納、聯(lián)想、演繹、分析、綜合、抽象和概括等.這些方法不能像技巧型方法那樣能進(jìn)行很明確的操作，而是只給出了解決問題的一種特定思路，需要學(xué)生去尋找相關(guān)的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較、判斷，才能發(fā)現(xiàn)解決問題六法，是一種“推理”“論證”的模式.

（三）全局型的數(shù)學(xué)思想方法

比如，解題的普遍化猜測（正難則反、特殊到一般）、數(shù)形結(jié)合法、遷移轉(zhuǎn)化法、極限化方法等.它給出的是一種解題的策略、方向、思想，需要學(xué)生去比較、分析、嘗試、構(gòu)造，雖然不像前兩種方法那樣具體，卻是更高格局上的思維引領(lǐng)，是一種戰(zhàn)略性的思維.

二、加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與運用

（一）注重挖掘隱藏于知識中的思想方法

數(shù)學(xué)知識和思想方法是有機(jī)結(jié)合的，二者你中有我、我中有你.教材對知識的編排是按邏輯系統(tǒng)的思想來處理的，加上教材本身的特點需要，它不可能把知識的整個系統(tǒng)結(jié)構(gòu)都全部呈現(xiàn)出來.因此，教材中的定理和公式，我們只能看到漂亮的結(jié)論和嚴(yán)格的證明，卻不能看到數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)定理、公式的艱苦探索過程和所運用的數(shù)學(xué)思想方法;教材中的例題，我們看到的是“它怎么解”，而看不到“它為什么這么解”.換句話說，解題過程中解題者整個探索推理的心智活動過程我們都沒法了解，更不用說他們是如何運用數(shù)學(xué)思想方法了.因此，在教學(xué)中一定要讓學(xué)生注重去發(fā)現(xiàn)和感悟知識中的思想方法，從具體事例中抽象，從大量事實中概括.

1.分析教材解法特點

教材中的推理依據(jù)：“兩非負(fù)實數(shù)之和為1，則每一項小于或等于1.”這是實數(shù)運算中的一個基本事實.類似例子還有很多，如a[ > ]b[ > ]c且[a+b+c=0]，則a[ > ]0，c [< ]0.由此我們能體會到的思想方法為：數(shù)論中的客觀事實可以作為我們解題的出發(fā)點.

2. 尋找多種解法

3. 從方法中提煉思想

將這三種解法的共性做比較可以發(fā)現(xiàn)，由“等式”是可以推出“不等式”的，這種將“不等式”問題轉(zhuǎn)化為研究“等式”問題的轉(zhuǎn)化意識，就是十分重要的數(shù)學(xué)思想.同樣聯(lián)想，研究“等式”問題能否也可以轉(zhuǎn)化為研究“不等式”問題呢？這就建立了“等”與“不等”二者相互依存、相互聯(lián)系并在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的聯(lián)系，這就上升到了哲學(xué)思想層面.可見，認(rèn)真思考、挖掘教材內(nèi)容，我們是能夠?qū)W習(xí)、體會到很多數(shù)學(xué)思想方法是怎樣應(yīng)用的，它對增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識是有很大促進(jìn)作用的.

（二）要以掌握基本數(shù)學(xué)思想作為重點

中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法也有層次性，有一些數(shù)學(xué)思想，它們滲透于各類知識之中，對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響廣泛、深遠(yuǎn)，我們稱之為基本數(shù)學(xué)思想.掌握了這些基本數(shù)學(xué)思想的運用方法，就抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)思維方法的重點和精髓，這是需要高度重視的.中學(xué)數(shù)學(xué)有哪些基本數(shù)學(xué)思想呢？以下做簡要說明.

1. 轉(zhuǎn)化的思想

從直觀上講，轉(zhuǎn)化就是化繁為簡，化難為易，化未知為已知，化陌生為熟悉.

由已知得[sinπ2-α>sin β]，此時[π2-α]與β都是銳角，而對于銳角而言，正弦函數(shù)遞增，從而[π2-α>β，α+β<π2]（當(dāng)然α+β > 0）.將已知中的不同名函數(shù)變?yōu)橥恼液瘮?shù)，這一轉(zhuǎn)化對問題的解決起了關(guān)鍵的作用.

聯(lián)想是轉(zhuǎn)化的橋梁，轉(zhuǎn)化需要廣泛的聯(lián)想.廣泛的聯(lián)想和轉(zhuǎn)化的實現(xiàn)都需要有豐富、扎實的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法.轉(zhuǎn)化意識的自覺性不僅來源于做習(xí)題，更來源于對習(xí)題典型解法的總結(jié)、回味與“提煉”.

這是圓錐曲線焦點弦問題，一種常見的題型.從圖形看，最容易想到的方法就是采取“底乘以高的一半”的樸素算法.

解法1雖然思路較容易想到，但把線段AB當(dāng)作底邊，把坐標(biāo)原點到直線AB的距離當(dāng)作高，計算量較大且較難算，當(dāng)方程含參或更復(fù)雜時運算會很困難.還有無其他辦法呢？

轉(zhuǎn)化1：換一個角度來選擇“新的三角形的底邊和高”.以O(shè)F為底邊，則△AOF和△BOF的高之和恰好就是A、B兩點縱坐標(biāo)之差，可得解法2.

可見，合理地選擇底邊和高，不僅在圓錐曲線的解題中能夠大大降低計算量，在立體幾何等其他題型中也常常能夠使用并取得良好的效果.

轉(zhuǎn)化2：向定值問題轉(zhuǎn)化.

定值問題，指當(dāng)一部分元素按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變動時，與它有關(guān)的某些量始終保持不變的問題.定值問題一般分為“定量”和“定形”兩類.在圓錐曲線中，蘊含著許多結(jié)構(gòu)新穎、獨特，內(nèi)容豐富多彩的定值問題，它們涉及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等.圓錐曲線的定值問題有如下幾個特征：角度定值、長度定值、曲線或直線過定點、坐標(biāo)之和或之積為定值、曲線所圍圖形面積為定值等.解這些定值問題時一般要借助于圓錐曲線的基本性質(zhì)，要設(shè)出一個或兩個參數(shù)（比如直線的斜率k），在已知條件下，通過基本運算，達(dá)到或證明其值的目的，需要在變當(dāng)中尋找不變.適當(dāng)記住一些定值問題的結(jié)論也是非常重要的.

轉(zhuǎn)化3：運用極坐標(biāo)求解.

極坐標(biāo)系下，圓錐曲線問題往往通過建立以焦點為極點的極坐標(biāo)系，使其極坐標(biāo)方程適用于橢圓、雙曲線、拋物線，它相對于傳統(tǒng)方法在處理圓錐曲線問題中具有優(yōu)越性和普遍性.

極坐標(biāo)形式的焦半徑及焦點弦形式，本質(zhì)上是圓錐曲線的第二定義，橢圓、雙曲線與拋物線這三種圓錐曲線的焦半徑、極坐標(biāo)形式是相同的.

2. 分類討論的思想

分類討論思想是數(shù)學(xué)研究的基本邏輯方法，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的思維方法.如集合的分類、指數(shù)及對數(shù)對底的分類討論、二次函數(shù)圖像的開口方向與二次項系數(shù)的關(guān)系、方程有無實數(shù)根、含參數(shù)問題的討論等，都需要分類討論才能完整求解.掌握分類討論思想，學(xué)會將研究對象按其屬性或特征分為不同的類別，用相應(yīng)的有針對性的方法去解決，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法.

一般情況下，分類要注意以下問題.

（1）何時需要分類討論

在下述幾種情況下，分類討論一般是難以避免的.

①某種運算可否實施情況不定.

如：除法運算中除數(shù)不為零的條件得不到保證;開偶次方時，被開方數(shù)非負(fù)的條件得不到保證（在實數(shù)范圍內(nèi)）;取對數(shù)時，真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1的條件得不到保證……

②式子變形的條件能否具備情況不定.

如：不等式兩邊所乘（或除）的同一個數(shù)的正、負(fù)不定;需要兩邊同時乘方的不等式是否為正值不等式情況不定;化去式中絕對值符號時，絕對值符號內(nèi)式子的非負(fù)情況不定（在實數(shù)范圍內(nèi)）等.

③函數(shù)的某種性質(zhì)是否具備情況不定.

如：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)由于底a的取值范圍不定而導(dǎo)致的函數(shù)的增、減不定;二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]，由a的正、負(fù)不定而導(dǎo)致的開口方向的不定;由a、b值的不定而導(dǎo)致的對稱軸位置的不定……

④立體幾何中某種位置關(guān)系不能確定;解析幾何中曲線的方程類型不定.

（2）分類必須遵循“不重不漏”的基本原則

要做到分類時的不重不漏，必須注意以下幾點.

①對每一個基本公式、基本性質(zhì)的適用范圍及每一種運算的實施條件都能夠準(zhǔn)確地把握.

②思考問題時，切忌極端和片面，力爭統(tǒng)觀全局.

③在分類討論的全過程中，要堅持同一個分類的標(biāo)準(zhǔn).

3.數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個對象，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的一種重要的思想方法.在代數(shù)中，通過數(shù)軸、坐標(biāo)系的建立，將“數(shù)”或“實數(shù)對”與平面或空間上的“點”建立起對應(yīng)關(guān)系，將“方程”與“曲線”建立起對應(yīng)關(guān)系，從而可以借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.反之，也可以借助“數(shù)”的精確性來闡明“形”的某些屬性.通過數(shù)形結(jié)合，能減少運算的難度和降低純幾何形式論證的難度.數(shù)形結(jié)合思想滲透于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的教材之中，是數(shù)學(xué)解題最重要的思想方法之一.

以下僅就解析幾何中數(shù)形結(jié)合的幾種基本形式舉例說明.

借形解題，要注意盡量準(zhǔn)確地描繪圖形，必要時還需對圖形的直觀分析給出嚴(yán)密的推理，減少錯誤.

從某種意義上說，數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識的紐帶，學(xué)習(xí)掌握好數(shù)學(xué)思想方法，能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更深刻，也能讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中有更開闊的思路和行之有效的解決辦法.堅持學(xué)習(xí)、感悟、運用，我們的學(xué)生數(shù)學(xué)能力就會不斷提高.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）