待定系數(shù)法在圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的應(yīng)用

王瑞華

一、待定系數(shù)法的定義及其理論依據(jù)

將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新形式，這樣就得到一個恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫作待定系數(shù)法。更廣泛地說，是要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知數(shù)，然后根據(jù)所給條件確定這些未知數(shù)，使問題得到解決的方法。其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)≡g(x)的充要條件：對于一個任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

二、待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟

利用待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程，使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決。要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法解題的一般步驟可歸納為以下三點。

1.確定所求問題含待定系數(shù)的解析式；

2.根據(jù)恒等條件，列出一個(組)含待定系數(shù)的方程；

3.解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；利用定義本身的屬性列方程；利用幾何條件列方程。

三、待定系數(shù)法在圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的應(yīng)用

橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方法相同，得出方程形式類似，所以它們的解法也就有很多共同點，比如：已知曲線的軌跡是橢圓或雙曲線時，求標(biāo)準(zhǔn)方程時都可用待定系數(shù)法，若焦點位置確定，直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程來求解；但若焦點位置不確定，直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程來求解需要討論兩種情況，有可能會導(dǎo)致漏解或過程繁瑣，運算量增大。這就要加強對題目條件合理的使用，對方程進行適當(dāng)?shù)摹案脑臁保_到避繁就簡，事半功倍的效果。

解：設(shè)橢圓的半焦距為c，則橢圓的離心率為?？傻玫疥P(guān)系式，即 得，c=2，根 據(jù)a2=b2+c2，得b=2，故標(biāo)準(zhǔn)方程為。設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，則有m=2。

評注：要用待定系數(shù)法求解解析式，首先要知道函數(shù)解析式的形式，然后用字母表示出解析式，然后根據(jù)題目中給出的已知條件解出未知數(shù)，最后寫出解析式。

解：可設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m ＞0，n ＞0，m≠n)，將兩點帶入，得解得，n=1。故標(biāo)準(zhǔn)方程為

評注：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程為。從形式上看分別是x2和y2前的系數(shù)，所以可以將標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一改造成mx2+ny2=1，當(dāng)m ＞n ＞0時，橢圓的焦點在y軸上；當(dāng)n ＞m ＞0時，橢圓的焦點在x軸上，從而避免了討論。

待定系數(shù)法實際就是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)建立等式關(guān)系，從而列出方程或方程組，解方程或方程組即可得待定的未知數(shù)，只需根據(jù)題目給出的條件解題即可。用待定系數(shù)法解題，思路較為清晰，操作比較方便，在很多解題過程中都可以用到。但是在解題過程中，待定系數(shù)法并不是最為簡單、合適的方法。因此解題時要根據(jù)具體的題目，選擇簡單又適合的方法。