融合多種思路的追緝問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例設(shè)計(jì)

劉小蘭，鄧 雪

(華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510640)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一門(mén)理論和實(shí)踐相結(jié)合的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，要求學(xué)生對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)方案，并借助計(jì)算機(jī)等工具進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。它將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力，不僅為學(xué)生后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程提供知識(shí)、方法和實(shí)驗(yàn)工具保障，而且培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力、探索意識(shí)與創(chuàng)新精神，增強(qiáng)運(yùn)用信息技術(shù)解決問(wèn)題的能力。目前，我校的電信學(xué)院和電力學(xué)院已將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)納入必修課程[1]。

本文從一道基于微分方程的追緝問(wèn)題出發(fā)，從模型建立、解析解求解和結(jié)果分析、數(shù)值解求解和結(jié)果分析、仿真求解等方面，循序漸進(jìn)，層層深挖，引導(dǎo)學(xué)生從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候發(fā)揮著強(qiáng)大的威力，啟發(fā)學(xué)生的好奇心和探索意識(shí)，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

1 追緝問(wèn)題

以文獻(xiàn)[2]的實(shí)驗(yàn)練習(xí)2的第4題為例。如圖1所示，緝私雷達(dá)(初始位置在M。 )發(fā)現(xiàn)，距離d處有一走私船(初始位置在S。)正以勻速a沿直線(x軸正向)行駛，緝私艦立即以最大速度(勻速v)追趕。若用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤，保持船的瞬時(shí)速度方向始終指向走私船，則緝私艦的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣的？是否能夠追上走私船？如果能追上，需要多長(zhǎng)時(shí)間？

圖1 追緝問(wèn)題

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

2.1 追緝問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

該問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：1)緝私艦的瞬時(shí)速度方向始終指向走私船；2)走私船以勻速a沿直線(x軸正向)行駛，緝私艦以勻速v追趕，將其用數(shù)學(xué)表達(dá)式刻畫(huà)出來(lái)即可獲得該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。可提示學(xué)生從直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程入手[3-4]。

設(shè)走私船初始位置S0(s0,0)，緝私船初始位置M0(0,c)。經(jīng)過(guò)t時(shí)間后，緝私船位于M(x,y)，走私船位于S(s0+at,0)，緝私艦走過(guò)的路程為s。

2.1.1 緝私艦的運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程

根據(jù)上述兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，有：

(1)

(2)

為了建立x和y之間的函數(shù)關(guān)系，需要消除上述公式中的s和t。

將(1)化為：

再兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)，得：

(3)

(4)

(5)

即原問(wèn)題的微分方程模型為：

(6)

2.1.2 緝私艦的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程

還是從式(1)和式(2)出發(fā)。為了建立x、y與時(shí)間t的參數(shù)關(guān)系，需要消除上述公式中的s。

根據(jù)弧微分公式，由式(2)可得：

(7)

代入式(1)得：

(8)

即

(9)

同理，由式(2)可得：

(10)

代入式(1)得：

(11)

最終的參數(shù)方程為：

(12)

2.2 追緝模型的解析解

對(duì)于模型4，提示學(xué)生利用微積分中學(xué)過(guò)的微分方程方法[3-4]進(jìn)行求解。下面主要引導(dǎo)學(xué)生利用Matlab[5-6]求解模型4，并通過(guò)圖形展示結(jié)果，模型7可類(lèi)似求解和分析。

2.2.1 解析解

利用desolve[7-8]命令求解模型4。為將求解結(jié)果可視化，可對(duì)參數(shù)賦值，如取r=0.5，s0=3 km，c=4 km，可得到如圖2所示的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖2 緝私艦的運(yùn)動(dòng)軌跡(r=0.5)

2.2.2 參數(shù)r對(duì)解的影響

緝私艦?zāi)懿荒茏飞献咚酱饕Q于走私船和緝私艦的速度比r，因此可進(jìn)一步分析不同r對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，得到如圖3所示的結(jié)果。

圖3 不同的r值對(duì)應(yīng)的緝私艦的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線對(duì)比

在能追得上的情況下，通過(guò)計(jì)算運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，還可以計(jì)算出緝私艦與走私船相遇的地點(diǎn)和所需要的時(shí)間。

2.3 追緝模型的數(shù)值解及參數(shù)對(duì)解的影響

也可以從數(shù)值解方面出發(fā)，利用ode45[7-8]去求解模型4，同時(shí)分析不同r對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，看看與解析解的結(jié)論是否一致？如圖4所示，是不同r下的數(shù)值解的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比圖。

圖4 不同的r值對(duì)應(yīng)的緝私艦的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線對(duì)比(數(shù)值解)

2.4 追緝模型的仿真求解

除了上述建模-求解的常規(guī)思路，我們還可以通過(guò)編程的方式來(lái)動(dòng)態(tài)模擬[9-10]緝私艦和走私船的運(yùn)動(dòng)軌跡。走私船的運(yùn)動(dòng)軌跡比較簡(jiǎn)單，就是沿著x軸正向作勻速運(yùn)動(dòng)，這里主要是要仿真緝私艦的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。而仿真的關(guān)鍵在于，由上一個(gè)時(shí)刻的緝私艦的位置，根據(jù)緝私艦的運(yùn)動(dòng)方向和速度大小決定它下一個(gè)時(shí)刻的位置，隨著時(shí)間的不斷推移，就可以動(dòng)畫(huà)演示出整個(gè)追緝過(guò)程。

假設(shè)t時(shí)刻緝私艦的位置為(xt,yt)，經(jīng)過(guò)一固定時(shí)間間隔Δt(盡可能小)后，緝私艦的位置為(xt+Δt,yt+Δt)，它們有如下關(guān)系：

(13)

設(shè)速度方向與x軸的夾角為θ，有：

(14)

從而

(15)

即可由t時(shí)刻的位置(xt,yt)得到t+Δt時(shí)刻的位置(xt+Δt,yt+Δt)。

圖5(a)和(b)分別顯示了仿真實(shí)驗(yàn)(取a=18 km/h，b=36 km/h，s0=10 km，c=5 km)的中間結(jié)果和最終結(jié)果圖。

(a)緝私艦追緝走私船的中間結(jié)果

(b)緝私艦追緝走私船的最終結(jié)果

3 結(jié)束語(yǔ)

該案例可在學(xué)生學(xué)完微分方程的解析解和數(shù)值解的MATLAB求解命令后引入。教師可向?qū)W生提示大思路和方向，學(xué)生每2人為一小組，對(duì)模型和求解思路進(jìn)行討論，并用MATLAB實(shí)現(xiàn)，寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。教師可于下次課讓做得好的學(xué)生演示他們的成果，組織大家展開(kāi)討論，并就一些關(guān)鍵性的問(wèn)題和難點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥，最后向?qū)W生介紹完整的解決思路和總結(jié)。通過(guò)“教師講解→學(xué)生找資料，交流討論，實(shí)踐→課堂演示，互動(dòng)討論→教師點(diǎn)評(píng)總結(jié)”的過(guò)程和問(wèn)題的一題多解，學(xué)生一方面可以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解與掌握，又可以增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力、思維能力和探索意識(shí)與創(chuàng)新精神[11-12]。