拓撲優(yōu)化結(jié)果的多視圖參數(shù)化幾何重構(gòu)方法

周 濤，段 薇，胡三寶，劉繼鵬，韓忠磊

(1.武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070；2.武漢理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430070；3.武漢船舶通信研究所，湖北 武漢 430079)

拓撲優(yōu)化在機械結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)用越來越廣泛，其數(shù)值計算大多基于有限元理論，得到的結(jié)果存在棋盤格現(xiàn)象、邊緣呈明顯鋸齒狀，不便后續(xù)處理，需要產(chǎn)品設(shè)計師以拓撲優(yōu)化結(jié)果為參考，根據(jù)工藝和經(jīng)驗構(gòu)造參數(shù)化模型，限制了拓撲優(yōu)化的應(yīng)用。

三維拓撲優(yōu)化結(jié)果重構(gòu)方法主要經(jīng)歷了等值面方法、曲面重構(gòu)方法和參數(shù)化曲面重構(gòu)方法3個階段。

(1)等值面方法用等值面密度構(gòu)造三角面片(或其他類型面片)并拼接成曲面，主要用于顯示拓撲優(yōu)化結(jié)果，存在鋸齒狀邊緣，Lorensen等[1]提出的移動立方體等值面法(MC)應(yīng)用廣泛。

(2)曲面重構(gòu)方法主要有網(wǎng)格平滑濾波和基于隱式函數(shù)的方法。等值面曲面仍有鋸齒狀，可用網(wǎng)格平滑法進行平滑，如拉普拉斯平滑[2]。隱式函數(shù)主要有泊松曲面和徑向基函數(shù)。這兩種方法主要用來顯示曲面細節(jié)，加工成本較高。

(3)參數(shù)化曲面重構(gòu)方法主要有基于特征分割和基于視圖的曲面重構(gòu)方式。

特征分割是通過實體的曲面信息或輪廓信息，將需要重構(gòu)的實體分割出來進行擬合或調(diào)整[3-4]?；谝晥D的參數(shù)化曲面重構(gòu)在拓撲優(yōu)化結(jié)果重構(gòu)中應(yīng)用較多。在二維拓撲優(yōu)化結(jié)果中，大多利用直線圓弧或幾何模板對輪廓進行規(guī)整[5-6]。在基于切片視圖的曲面重構(gòu)中，陳思等[7]和Tang[8]采用NURBS和B樣條曲面對切片數(shù)據(jù)進行重構(gòu)，需要協(xié)調(diào)實體的復(fù)雜度和可加工性。在基于多視圖的曲面重構(gòu)中，William[9]和Shane[10]用形狀模板逼近三維實體的二維輪廓，最后通過拉伸二維輪廓等操作重構(gòu)曲面，重構(gòu)曲面簡單，但對組合圖形的識別效果不好。

等值面方法和曲面重構(gòu)方法主要用于優(yōu)化結(jié)果的顯示，沒有考慮零件加工的工藝難度。參數(shù)化曲面重構(gòu)考慮了曲面加工性，但采用B樣條曲面、雙四次曲面函數(shù)等方法構(gòu)造的幾何特征工藝成本較高。單視圖方式只適合于二維的情況，對于三維結(jié)構(gòu)由于不能識別曲面其他方向視圖的幾何信息，重構(gòu)三維幾何出現(xiàn)困難。

筆者采用多視圖重構(gòu)方法對拓撲優(yōu)化結(jié)果進行重構(gòu)。通過三視圖、局部視圖和坐標(biāo)變換識別曲面任意點的坐標(biāo)信息，結(jié)合考慮了加工工藝的整圓、橢圓和直線圓弧組合圖形，重構(gòu)出便于加工和幾何建模的三維模型?？商岣咄負鋬?yōu)化結(jié)果可加工性，節(jié)約工藝成本，便于尺寸/形狀優(yōu)化。

1 基于多視圖構(gòu)造三維參數(shù)模型

1.1 多視圖構(gòu)造3D參數(shù)化模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

三維模型主要有線框模型、表面模型和實體模型，筆者采用實體模型描述實體全部的幾何信息和拓撲關(guān)系。二維視圖是三維實體在投影面投影生成封閉的輪廓線。其中三視圖為同一坐標(biāo)系下既相互獨立、又相互關(guān)聯(lián)的投影坐標(biāo)系統(tǒng)。

三視圖中的空間點可通過視圖坐標(biāo)獲取。局部視圖輪廓信息可通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化到三視圖坐標(biāo)系，有繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)和平移變換，對三視圖輪廓進行拉伸、旋轉(zhuǎn)和布爾等操作生成實體[11]，如圖1所示。實體的盲孔軸線與x軸夾角為θ，圖1(a)為對齊的三視圖，取點a(xa,ya,za),b(xb,yb,zb),c(xc,yc,zc),d(xa,yd,zd)，主視圖的斜盲孔為橢圓，主視圖拉伸xa-xb得到實體c，同理得實體d和e，實體f=c∩d∩e。圖1(b)為局部坐標(biāo)系下局部視圖對齊，取點e、f、g和h，同上得實體j。實體j變換到三視圖坐標(biāo)系下，如圖1(g)所示，實體f減變換實體j得實體k。

圖1 多視圖到三維實體

1.2 方向視圖的構(gòu)造

方向視圖描述的是結(jié)構(gòu)的二維輪廓。首先要從拓撲優(yōu)化結(jié)果(MC等值面)點云構(gòu)造出二維輪廓。

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果確定三視圖、局部視圖和特定截面視圖的投影平面，基于MC三角片產(chǎn)生均勻曲面點云，將全部或部分點云投影到投影平面，用Alpha Shape算法[12]識別二維輪廓。

以圖2(a)為例，兩正方體內(nèi)孔分別為通孔和盲孔，孔的軸向沿x軸。采用正投影，正方體1取正視圖平面x=0為投影面，全部點云投影到投影面，即令x=0。正方體2將坐標(biāo)系沿x軸平移到盲孔底面，取此坐標(biāo)系的正視圖平面x=0為投影面，在投影坐標(biāo)系下，取x>0的部分點云投影到投影面。平面點云和二維輪廓如圖2(b)所示。

圖2 有孔的正方體點云投影與二維輪廓識別

1.3 二維輪廓重構(gòu)評價標(biāo)準(zhǔn)

將平面輪廓點列{Si=(xi,yi),i=1,2,…,N0}坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)(ρi,θi)，極點/極軸為平均點/x軸。特征強度定為li=ρi/ρmax。以特征強度為y軸，點序列為x軸，繪制特征強度曲線，特征強度極大值點數(shù)目為特征點數(shù)目N(p)，若N(p)>1，找到相同數(shù)目的特征點T，T={Tj,1≤j≤N(p)}并據(jù)此將輪廓分段。每段輪廓點列采用直線和圓弧近似，并構(gòu)造直線圓弧選擇函數(shù)選擇近似邊，組合為多邊形。其中特征點數(shù)N(p)等于近似多邊形的頂點數(shù)p。其輪廓分段為：

Sg={Sg1,Sg2,…，SgN(p)}

Sgj={Si,Tj≤i≤Tj+1,

j=1,2,…,TN(p)-1}

SgN(p)={Si,i≥TN(p)||i≤T1}

(1)

若N(p)=1，采用整圓近似，若N(p)=2，分別用橢圓近似和分段近似兩種方式，若N(p)>2，分段近似。多邊形為整圓、橢圓和直線圓弧組合圖形，但圓弧會增加多邊形的復(fù)雜度，因此圓弧和直線的選取需要可控。

多邊形近似評價標(biāo)準(zhǔn)壓縮比、最大誤差、靈敏值和誤差平方和不能協(xié)調(diào)多邊形頂點數(shù)最小化和近似誤差最小化。根據(jù)張鴻賓等[13]的誤差懲罰函數(shù)構(gòu)造能控制直線和圓弧邊選取的懲罰函數(shù)。

近似多邊形中圓弧/直線邊數(shù)為C(p)/L(p)。輪廓點Si到近似邊的距離為該點的誤差ei，輪廓分段誤差e(Sgj)定義為屬于該分段的點的誤差平方和，采用圓弧/直線近似的輪廓分段誤差為ec(Sgj)/el(Sgj), 其表達式如下：

ec(Sgj)/el(Sgj)=∑i∈Sgji(e2i)

(2)

e(Sgj)=ec(Sgj)ec(Sgj)+eclf

el(Sgj)ec(Sgj)+eclf>el(Sgj)

(3)

eclf為輪廓分段選擇因子，可以控制直線和圓弧的選取。近似多邊形和輪廓點的誤差e(p)定義為輪廓分段誤差的和，即：

e(p)=∑N(p)j=1e(Sgj)分段近似

∑N0i=1(e2i)整圓橢圓

(4)

近似多邊形與輪廓點的允許誤差設(shè)為t，近似壓縮比為m, 懲罰函數(shù)為P(e)，評價函數(shù)為J(p)。cf/lf是圓弧/直線邊系數(shù)，其值越大，圓弧/直線邊優(yōu)先級越低。

m=N0N(p)N0<100

100N(p)N0>100

(5)

P(e)=exp((e-t)/m)-1exp(1)-1

(6)

J(p)=cf·C(p)+lf·L(p)+P(e(p))

(7)

式中：N0為點列數(shù)。

1.4 二維輪廓重構(gòu)

(1) 內(nèi)輪廓凹點和外輪廓處理。特征強度極大值作為特征點能識別凸點，不能識別凹點。拓撲優(yōu)化結(jié)果的內(nèi)輪廓整體呈現(xiàn)凸多邊形，通過平滑即可濾去微弱凹點影響。明顯凹點是優(yōu)化不徹底部分，用下述算法刪除，具體步驟如下：

Step1：簡化輪廓曲線；

Step2：識別簡化多邊形凹點并刪除；

Step3：簡化多邊形內(nèi)外偏移2 mm(可調(diào))，偏移環(huán)內(nèi)的點為可處理的輪廓點。

去除外輪廓規(guī)整點，其余點形成獨立的分割點列，分割點列和規(guī)整點列的特征點數(shù)和作為外輪廓的特征點數(shù)。

(2) 輪廓重構(gòu)案例。二維輪廓重構(gòu)流程為：

Step1：內(nèi)輪廓凹點處理和外輪廓處理；輪廓點均勻線性插值，繪制特征強度曲線；

Step2：特征強度曲線多尺度平滑，取最大特征點數(shù)n，特征點數(shù)定為1～n。對每個特征點數(shù)找近似多邊形；

Step3：對特征點數(shù)1～n，找最佳近似多邊形，J(p)允許值為Jtol，若J(p)大于Jtol，返回Step2，增加特征點個數(shù)重新計算；

輪廓誤差和噪聲會干擾識別特征點，用多尺度移動平滑窗口平滑濾除。輪廓點列以0.08密度均勻線性插值，移動窗口大小為點數(shù)的0.02～0.20；cf和lf取1，eclf取1，Jtol取500，重構(gòu)案例如圖3所示。

獲得輪廓最大特征點數(shù)10的特征強度曲線平滑濾波如圖3(b)所示。其中整圓近似的J(p)值為330.124 2；特征點數(shù)為4時，J(p)最小，為4.404 9，小于Jtol。

圖3 輪廓重構(gòu)

1.5 輪廓后處理

鄰邊形式為直線和直線、直線和圓弧、圓弧和直線、圓弧和圓弧，用公切圓弧和公切線連接，C1連續(xù)。根據(jù)部件尺寸和加工工藝確定合適的倒圓角半徑，制作公切圓弧半徑表。直線和圓弧相離時公切圓弧半徑要查表校正，其余的公切圓弧半徑cr統(tǒng)一確定，近似圓弧半徑為CR。

以直線圓弧相交為例說明確定公切圓過程，如圖4所示，圖4(a)黑點為特征點，白點為非特征點，虛線為近似圓、近似直線和輔助線。近似圓弧分段的輪廓點列的時針方向為近似圓弧方向WC。過渡圓弧的時針方向為過渡圓弧方向Wt。

圖4 圓弧和直線過渡連接

兩相鄰邊由3個特征點分割，依次為A1、A2、A3，其中A1、A2和圓心的連線與圓交于a1、a2，A3在直線的投影點為a3。直線與圓的交點為B1、B2，其中弧長B1A2

表1 部分鄰邊連接情況

2 算法實例

拓撲優(yōu)化案例和優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。

圖5 重構(gòu)實例

輪廓點插值密度取0.08，移動窗口大小為點數(shù)的0.02～0.20；cf和lf取1，eclf取1，Jtol為500。重構(gòu)過程如圖6所示，選yz視圖和xz視圖進行輪廓重構(gòu)，如圖6(a)和圖6(b)所示，以yz視圖和xz視圖為基準(zhǔn)，對稱拉伸50 mm，得到圖6(c)的實體，對齊布爾交，得到圖6(d)的實體。xy視圖對重構(gòu)結(jié)果的影響不大，會顯著增加曲面加工難度。

圖6 重構(gòu)過程

案例2的cf和lf取0.8，其余參數(shù)同案例1，重構(gòu)過程如圖7所示。xz視圖輪廓及重構(gòu)過程同上，體積比為98.75%。cf和lf變小，可增加多邊形邊數(shù)，一圓弧邊變?yōu)閮芍本€。

圖7 重構(gòu)過程

3 結(jié)論

對拓撲優(yōu)化結(jié)果進行預(yù)處理，刪除優(yōu)化不徹底和分離結(jié)構(gòu)可降低處理難度。通用工藝制造的零部件采用直線和圓弧造型占大多數(shù)，故二維視圖輪廓采用直線和圓弧重構(gòu)，再將由整圓、橢圓、直線和圓弧組合圖形重構(gòu)的二維輪廓多截面和布爾運算等操作得到簡單規(guī)整的三維實體。

對于不規(guī)則和曲面復(fù)雜的拓撲優(yōu)化結(jié)果，僅用三視圖、二維輪廓較難重構(gòu)出簡單規(guī)整的實體，需要補充局部視圖信息并增加投影截面，但過多的投影截面會增加重構(gòu)實體的曲面復(fù)雜度，可忽略部分次要曲面以降低重構(gòu)難度。