一類時(shí)滯SIR傳染病模型行波解的不存在性

晁玉園，孫福芹

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

隨著現(xiàn)代衛(wèi)生設(shè)施以及醫(yī)療水平的提高，對(duì)于傳染病規(guī)律和防止策略的研究日益重要。在現(xiàn)實(shí)生活中，某些疾病有一定時(shí)間的潛伏期，因此對(duì)于具有潛伏期流行性疾病的研究，在生活中也有重要的應(yīng)用[1-2]。自從Kermack等[3]建立傳染病數(shù)學(xué)模型以來，傳染病模型以及其衍生模型如SIR傳染病模型，被頻繁用來研究各類流行疾病。探究疾病原因，找到最優(yōu)解決方案已經(jīng)成為十分重要的課題。其中，對(duì)傳染病模型的行波解存在性和動(dòng)力學(xué)行為的數(shù)學(xué)分析及其數(shù)值模擬已經(jīng)成為生物數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱門方向。如2010年Wang等[4]考慮了Kermack-McKendrick擴(kuò)散模型的行波解的存在性問題；2017年Cheng等[5]進(jìn)一步研究了Kermack-McKendrick非局部擴(kuò)散模型的行波解存在性問題；2014年和2015年，文獻(xiàn)[6-7]分別研究了2類非局部SIR傳染病模型的行波解的存在性問題。研究行波解具有非常重要的實(shí)際意義，行波解的存在意味著傳染病以常數(shù)速度在空間中傳播。由于行波解即使在微小擾動(dòng)下，其性質(zhì)也可能發(fā)生本質(zhì)改變，因此對(duì)行波解的定性性質(zhì)諸如行波解的漸近行為、穩(wěn)定性及唯一性等問題的研究也十分必要。本文將在文獻(xiàn)[6]研究的基礎(chǔ)上，對(duì)時(shí)滯模型在滿足一定條件時(shí)，行波解的不存在性進(jìn)行研究。

1 模型介紹和假設(shè)

文獻(xiàn)[6]研究了如下非線性非局部擴(kuò)散SIR傳染病模型的行波解問題：

易知模型的基本再生數(shù)為R0：=β/γ，研究基本再生數(shù)與波速在滿足哪些條件時(shí)，模型不存在非負(fù)非平凡行波解。由于模型（1）的前2個(gè)方程可以構(gòu)成獨(dú)立的子系統(tǒng)，因此主要考慮前2個(gè)方程構(gòu)成的子系統(tǒng)的行波解問題。若模型（1）具有行波解，令ξ=x+ct，其中c＞0為波速，則模型（1）的前2個(gè)方程可化為如下形式：

由生物學(xué)意義，設(shè)問題（2）滿足如下邊界條件：

式中：S0為正常數(shù)，表示未感染之前易感染者的數(shù)量。

假設(shè)初始平衡狀態(tài)為（S0，0）。為研究式（2）和式（3）的行波解，對(duì)函數(shù)J（y）作以下假設(shè)：

2 主要結(jié)論和證明

在給出主要結(jié)論之前，將給出問題（2）特征方程及性質(zhì)。將模型（2）的第2個(gè)方程在平衡點(diǎn)（S0，0）處線性化之后，可以得到：

令I(lǐng)（ξ）=eλξ并代入式（4），可得特征方程：

以下是式（5）的一個(gè)性質(zhì)。

（1）如果 0＜ c＜ c*，那么 Δ（λ，c）＞ 0 對(duì)于所有λ∈（0，+∞）都成立；

證明因?yàn)?R0= β/γ ＞ 1，所以 Δ（0，c）= β-γ＞0。對(duì)于任意 c＞0，有 Δ（+∞，c）=+∞。計(jì)算可得：

綜上，可完成引理證明。

討論 R0＞1，0＜ c＜ c*以及 R0≤1，c＞ 0時(shí)模型（2）不存在滿足條件（3）的非負(fù)非平凡行波解，所用到的方法和技巧為雙邊Laplace變換[8-9]和一系列積分估計(jì)。

定理1假設(shè)R0=β/γ＞1。對(duì)于任何滿足0＜c＜c*的波速c，系統(tǒng)（2）不存在滿足條件（3）的非負(fù)非平凡行波解。

證明利用反證法。假設(shè)系統(tǒng)（2）存在滿足條件（3）的非負(fù)非平凡行波解（S（ξ），I（ξ））。根據(jù)式（3），知當(dāng)ξ→-∞ 時(shí)，

利用系統(tǒng)（2）的第2個(gè)方程，有

對(duì)上式從-∞→ξ（ξ＜ξ*）積分后化簡(jiǎn)可得：

另外

由此可得 J*Q（s）-Q（s）和 Q（s-cτ）-Q（s）在（-∞，ξ）是可積的。將式（6）從-∞→ξ（ξ＜ ξ*）積分化簡(jiǎn)后可得：

因?yàn)镼（ξ）關(guān)于ξ是一個(gè)非減函數(shù)，所以存在s*并且s*+cτ＞0使得：

易知存在足夠大常數(shù) s0＞ -cτ和 v∈（0，1），使得Q（ξ-（s0+cτ））≤vQ（ξ），?ξ＜ ξ*。

定義

則

所以對(duì)于上式由-∞→ξ積分，可得cI（ξ）≤d2（J*Q（ξ）-Q（ξ））+ βQ（ξ-cτ）- γQ（ξ），其中

即得：

其中易知

選取0＜w＜u0，根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的定理3.1的證明，可以得到

式中：K為常量并且依賴于w。

運(yùn)用雙邊Laplace變換性質(zhì)[9]，式（7）可以改寫為：

定理2假設(shè)R0=β/γ≤1。對(duì)于任何滿足c＞0的波速c，系統(tǒng)（2）不存在滿足條件（3）的非負(fù)非平凡行波解。

證明利用反證法。假設(shè)系統(tǒng)（2）存在滿足條件（3）的非負(fù)非平凡行波解（S（ξ），I（ξ））。

若R0=β/γ＜1，對(duì)于系統(tǒng)（2）第2個(gè)方程兩邊在R上進(jìn)行積分，可得：

根據(jù) R0=β/γ ＜ 1，式（8）可得：

此為矛盾。

若 R0= β/γ =1，對(duì)于系統(tǒng)（2）的第 2個(gè)方程可以得到：

對(duì)于上式在區(qū)間R上積分，運(yùn)用Fubini定理以及I（±∞）=0，可得：

由于

且I（ξ）為非負(fù)函數(shù)，可以得到：

容易得知對(duì)于suppI內(nèi)部是非空的，所以對(duì)于ξ∈suppI有：

這也是一個(gè)矛盾，定理證畢。

3 結(jié)語

本文主要研究SIR模型在有時(shí)滯現(xiàn)象時(shí)行波解的存在情況。分別證明當(dāng)基本再生數(shù)與波速滿足條件R0＞ 1，0＜ c＜ c*以及R0≤1，c＞ 0時(shí)，SIR模型不存在非負(fù)的非平凡的行波解。對(duì)行波解的存在性以及存在性條件，限于篇幅本文沒有涉及。關(guān)于流行病模型的研究，還會(huì)涉及其他一些因素以及相關(guān)的變量，仍需要進(jìn)一步研究。