“探究四點(diǎn)共圓”課例的課堂實(shí)施

胡傳和

受到自身思維局限性，很多學(xué)生容易出現(xiàn)理解不全面的問(wèn)題，造成相關(guān)學(xué)習(xí)問(wèn)題出現(xiàn)。結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握情況，采取相對(duì)應(yīng)的解決策略是非常有必要的。從相對(duì)應(yīng)的課堂導(dǎo)入設(shè)計(jì)、課堂知識(shí)講解等各個(gè)環(huán)節(jié)入手，完成相關(guān)內(nèi)容的講解，需要教師不斷進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新，采取由簡(jiǎn)到難的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生逐步接受并理解四點(diǎn)共圓問(wèn)題。簡(jiǎn)化學(xué)生的理解，降低學(xué)習(xí)難度是提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和理解能力的關(guān)鍵。

一、借助三角形的外接圓引入新課

由于三角形是學(xué)生在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中重點(diǎn)學(xué)習(xí)的一個(gè)圖形，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，而三角形的外接圓也是學(xué)生以前所接觸過(guò)的。教師可以繪制不同形狀的三角形，然后畫(huà)出其外接圓，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步思考。不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，在繪制其外接圓的過(guò)程中都需要將三個(gè)頂點(diǎn)置于圓上，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)這是三點(diǎn)共圓問(wèn)題。為了更好地引出四點(diǎn)共圓，教師可以在圓上任意添加一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)圓上就有了四個(gè)點(diǎn)，而如果將新添加的這個(gè)點(diǎn)與原有三角形的兩點(diǎn)相連，圓內(nèi)則出現(xiàn)一個(gè)不規(guī)則的四邊形。這個(gè)四邊形的形狀具有多樣化的特征，在不同的三角形和不同位置添加點(diǎn)的情況下，四邊形的形狀是有差異的。但是通過(guò)直觀的觀察，學(xué)生也很容易得到這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓上這一現(xiàn)象，即對(duì)四點(diǎn)共圓問(wèn)題產(chǎn)生初步認(rèn)識(shí)。例如教師可以引導(dǎo)學(xué)生先在紙上繪制三角形，然后畫(huà)出三角形的外接圓，通過(guò)添加新的一點(diǎn)，連接新點(diǎn)與三角形，將原來(lái)的三角形轉(zhuǎn)變成為不規(guī)則的四邊形，從而讓學(xué)生對(duì)四點(diǎn)共圓問(wèn)題有初步了解，采取由易到難的形式，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到四點(diǎn)共圓問(wèn)題的存在。

二、證明四點(diǎn)共圓

當(dāng)學(xué)生對(duì)四點(diǎn)共圓問(wèn)題有初步了解之后，教師可以通過(guò)例題的形式使學(xué)生對(duì)其有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，即教師可以列舉相關(guān)題目，與學(xué)生共同完成四點(diǎn)共圓的證明問(wèn)題。為了證明四點(diǎn)是否共圓，需要學(xué)生調(diào)動(dòng)以前所學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)幾何知識(shí)，包括三角形的相關(guān)定理以及具體圖形的相關(guān)內(nèi)容。要引導(dǎo)學(xué)生證明四點(diǎn)共圓問(wèn)題，教師可以發(fā)揮自身的引導(dǎo)性作用，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題的形式，啟發(fā)學(xué)生從三角形自身的定理和性質(zhì)出發(fā)，然后通過(guò)反證法，根據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)證明假設(shè)與已知條件矛盾，從而得出四點(diǎn)共圓這一結(jié)論，或其他證明方法正向證明。例如教師給出某一題目要求與具體圖形，引導(dǎo)學(xué)生按照“把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓”這一原理完成證明過(guò)程。

三、驗(yàn)證四點(diǎn)共圓

當(dāng)學(xué)生能夠通過(guò)相關(guān)數(shù)學(xué)證明方法，結(jié)合自己所學(xué)的幾何知識(shí)，證明某四點(diǎn)式共圓這一知識(shí)之后，教師應(yīng)該組織學(xué)生從更高的角度來(lái)發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這也是探究四點(diǎn)共圓知識(shí)講解過(guò)程中的重要內(nèi)容。教師可以借助多媒體，利用PPT 的形式展示出相關(guān)圖形，使學(xué)生有更加直觀的認(rèn)識(shí)。同時(shí)在具體內(nèi)容的講解過(guò)程中，教師也要注意啟發(fā)學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的主觀能動(dòng)性，不要把所有的內(nèi)容都由自己講解。PPT 的形式比較直觀，在觀察的過(guò)程中，學(xué)生容易找到如何驗(yàn)證某四個(gè)點(diǎn)是否是共圓的這一問(wèn)題。例如教師可以組織學(xué)生參與實(shí)訓(xùn)來(lái)驗(yàn)證四點(diǎn)共圓，根據(jù)已經(jīng)條件，學(xué)生明確四點(diǎn)的位置信息，如果能夠從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓周上，就可以證明四點(diǎn)共圓。教師可以組織學(xué)生運(yùn)用自己的圓規(guī)等數(shù)學(xué)工具，做出規(guī)范性強(qiáng)的圓，然后再運(yùn)用基礎(chǔ)幾何知識(shí)證明。

四、課堂小結(jié)與啟發(fā)思考

在課堂導(dǎo)入、課堂知識(shí)講解完畢之后，學(xué)生對(duì)于四點(diǎn)共圓認(rèn)識(shí)更加準(zhǔn)確，對(duì)于如何進(jìn)行四點(diǎn)共圓的證明也有了進(jìn)一步了解。此時(shí)，教師需要進(jìn)行課堂小結(jié)，通過(guò)小結(jié)的形式將本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)串接起來(lái)，使學(xué)生有全面概括性的認(rèn)識(shí)。除此之外，結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升和數(shù)學(xué)思維拓展的教學(xué)目標(biāo)，教師也可以設(shè)置相對(duì)應(yīng)的啟發(fā)性問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，使學(xué)生對(duì)如何證明多點(diǎn)共圓的方法及其應(yīng)用有更加深刻的印象。比如，從圓的定義出發(fā)，證各點(diǎn)都與某一定點(diǎn)的距離相等；如果是證四點(diǎn)共圓，也可以先任意選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在該圓上；如果各點(diǎn)都在某兩點(diǎn)所在直線(xiàn)的同側(cè)，且各點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)的“張角”(其實(shí)是同弧所對(duì)的圓周角相等逆向使用)相等，那么這些點(diǎn)共圓；若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或證明其一外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角，即可肯定這四點(diǎn)共圓；證明五個(gè)或五個(gè)以上的點(diǎn)共圓，可以分別證各四點(diǎn)共圓，且四點(diǎn)中有三點(diǎn)相同。

四點(diǎn)共圓問(wèn)題是學(xué)生在學(xué)習(xí)與圓相關(guān)知識(shí)過(guò)程中需要掌握的一部分內(nèi)容，通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生一方面可以溫習(xí)自己以前所學(xué)習(xí)過(guò)的幾何知識(shí)，另一方面在探究過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也可以得以提升和拓展。對(duì)于學(xué)生在具體探究過(guò)程所出現(xiàn)的問(wèn)題，教師應(yīng)該結(jié)合知識(shí)點(diǎn)自身的情況，采取相對(duì)應(yīng)的對(duì)策，避免學(xué)生由于知識(shí)性?xún)?nèi)容理解錯(cuò)誤所產(chǎn)生的各種學(xué)習(xí)問(wèn)題。