帶有多重強(qiáng)耦合Hardy項的臨界橢圓方程組的基態(tài)解

康東升，劉夢茹，高蒙

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

1 相關(guān)知識

本文研究如下帶有多重強(qiáng)耦合Hardy項的臨界橢圓方程組：

(1)

其中參數(shù)滿足下列條件：

D1,2(N)是N)關(guān)于范數(shù)的完備化空間.

自從2001年Bose-Einstein凝聚理論被證實以后，有關(guān)Bose-Einstein凝聚的研究便是國際物理學(xué)界研究的熱門領(lǐng)域之一，研究者們?yōu)锽ose-Einstein凝聚建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程組，如下所示：

(2)

可以看出方程組(2)是如下方程組的一種特殊情況：

(3)

(4)

(5)

這里Ω是N中的一個有界光滑域.作者指出當(dāng)時方程組(5)不存在正解.

受到方程組(4)與(5)的啟發(fā)，本文研究臨界橢圓方程組(1)的基態(tài)解，它帶有方程組(4)中的非耦合Hardy項和方程組(5)中的強(qiáng)耦合Hardy項以及多重Sobolev臨界項.該方程組目前還沒有被其他人研究過，是一個全新的問題. 從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，方程組(4)其實就是方程組(1)中λ=0的一種特殊情況，當(dāng)λ≠0時，方程組(1)中的耦合Hardy項使方程組變得更加復(fù)雜，增大了研究難度.本文我們主要研究λ>0時方程組(1)的基態(tài)解.

γ1(u2+v2)≤μ1u2+2λuv+μ2v2≤γ2(u2+v2),

其中γ1,γ2是矩陣A的特征值.記D:=D1,2(N)，由Hardy，Sobolev和Young不等式，可以定義如下最佳Sobolev常數(shù)：

(6)

方程組(1)對應(yīng)的能量泛函為：

|v|2*)dx,

其中J∈C1(D×D,).對于(u,v)∈D×D{(0,0)},若

J′(u,v),(φ,φ)=0,?(φ,φ)∈D×D,

則稱(u,v)是方程組(1)的一個解，這里J′(u,v)是J在(u,v)的Fréchet導(dǎo)數(shù).設(shè)(u0,v0)∈D2{(0,0)}是方程組(1)的解，并且對于方程組(1)的任意一個解(u,v)∈D2{(0,0)}都有J(u0,v0)≤J(u,v)，則稱(u0,v0)為方程組(1)的基態(tài)解.

定義極小能量：

這里

通過直接計算可以得到[4]：

(7)

η|u|α|v|β,

則有：

本文的主要結(jié)果可以歸納為以下定理：

在本文中,為了書寫方便用C來表示常數(shù)，有時也會省略積分式中的dx.

2 定理1的證明

本部分證明方程組(1)基態(tài)解的存在性.

定理1的證明令(u*,v*)為(u,v)∈′的Schwartz對稱化，其中u,v≥0，根據(jù)文獻(xiàn)[5]可得：

再由Pólya-Szeg?不等式可得：

由上可得：

存在0

定義：

通過直接計算，可以得到(un,vn)∈′,J(un,vn)→c′,且un,vn≥0為徑向?qū)ΨQ的遞減函數(shù)，由伸縮變換的不變性知：

(8)

(9)

由上式可得{(un,vn)}在D2上有界. 故存在子列{(un,vn)}?D2，使得：

(un,vn)?(u,v)，在D2中，

(un,vn)→(u,v)，a.e.在N上，

(10)

(11)

(12)

其中δx表示在點x的Dirac質(zhì)量.為了討論在無窮遠(yuǎn)處的集中性[8]，我們記：

(13)

(14)

(15)

則有：

(16)

因為xj∈N{0}，則由(10)～(12)式有：

(17)

(18)

(19)

(20)

通過(17)～(20)式得：

(21)

再由(6)式可得：

(22)

根據(jù)不等式(21)和(22)可推出命題1成立.

命題2 v0=0或v0≥(S(μ1,μ2,λ))N/2.

(23)

(24)

(25)

(26)

根據(jù)(23)～(26)式得：

(27)

由(6)式得：

(28)

則根據(jù)(27)和(28)式可推出命題2成立.

命題3 v∞=0或v∞≥(S(μ1,μ2,λ))N/2.

命題3的證明類似于命題2，這里略去.

綜上所述，得到：

(29)

由(10)～(16)式以及(29)式可以得到：

S(μ1,μ2,λ)·

(30)

再由(8)和(9)式，可以得到：

與假設(shè)矛盾，所以得到vxj=0. 同理可證得v0=0,

綜上所述，可知{(un,vn)}在D2{(0,0)}中強(qiáng)收斂到(u,v)，使得J(u,v)=c′并且

所以(u,v)≠(0,0),u≥0,v≥0.利用拉格朗日乘數(shù)法可以得到J′(u,v)=0，(u,v)為方程組(1)的非負(fù)徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減的基態(tài)解.

定理1證明完畢.