初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的猜想思維分析

曾金生

（福建省龍巖二中初中部，福建龍巖 364000）

引 言

猜想是一種重要的思維方法，在數(shù)學(xué)中是指導(dǎo)解答數(shù)學(xué)問題的重要途徑。因此，數(shù)學(xué)猜想是在對數(shù)學(xué)問題的已知條件進(jìn)行分析、綜合、類比的基礎(chǔ)上對問題的觀察和判斷，是結(jié)論性思維的特有性質(zhì)。所謂結(jié)論性思維通常是指在現(xiàn)有的情況下，用現(xiàn)有的知識、經(jīng)驗(yàn)對問題推測形成一套定理[2]。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)開發(fā)學(xué)生的結(jié)論性思維，鼓勵學(xué)生大膽猜想，對問題進(jìn)行結(jié)論性觀察及判斷，為學(xué)生提供猜想的空間，幫助學(xué)生在“猜”中獲取數(shù)學(xué)知識。古語云：“授之以魚，不如授之以漁。”意思是教師需要在每堂課上設(shè)計巧妙且需探索和挑戰(zhàn)的課題，讓學(xué)生自我猜想、自我創(chuàng)造。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，激發(fā)自我求知欲，向“猜想”的世界進(jìn)發(fā)，打開初中生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維新天地。

在傳統(tǒng)教學(xué)課堂上，學(xué)生發(fā)言不夠積極，教學(xué)氣氛沉悶。在數(shù)學(xué)課堂上，若學(xué)生的思維不夠活躍，就很容易進(jìn)入數(shù)學(xué)的“死胡同”。換言之，數(shù)學(xué)教學(xué)的意義就是對學(xué)生進(jìn)行思維上的訓(xùn)練，而“猜想”正是一種思維訓(xùn)練的方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成猜想思維是十分有必要的。曾有數(shù)學(xué)家表示：“要想成為一個好的數(shù)學(xué)家，你首先必須是一個好的猜想家?！钡绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的猜想思維呢？只空想，不行動是不行的，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要堅(jiān)持不懈地引導(dǎo)初中生進(jìn)行“猜想”，讓初中生以創(chuàng)造者、發(fā)明者的身份運(yùn)用數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。一旦學(xué)生擁有了主動性，就會應(yīng)用創(chuàng)造性思維獨(dú)立解決問題，因此，教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的“猜想”思維也是在幫助學(xué)生獨(dú)立[3]。

一、類比猜想

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的形成及數(shù)學(xué)問題的概念進(jìn)行類比，通過對其“猜想”，產(chǎn)生結(jié)果，并對比其問題的形成過程，從而形成新的問題。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，學(xué)生通過對問題進(jìn)行類比通?？梢杂行У亟鉀Q數(shù)學(xué)問題，還可以在類比的過程中產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題，在這一循環(huán)中不斷學(xué)習(xí)新知識。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行類比猜想。

在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識點(diǎn)教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念的生成過程極其重要。例如，在學(xué)習(xí)“因式分解”的知識點(diǎn)時，第一，教師應(yīng)讓學(xué)生先對小學(xué)知識“質(zhì)因數(shù)”進(jìn)行分解概念練習(xí)；第二，通過練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生猜想式子、因素、因式三者之間的關(guān)聯(lián)，這也是類比猜想的其中一種。除此之外，在初中數(shù)學(xué)中常見的類比猜想有以下兩種。

（一）一元一次不等式的性質(zhì)

教師可讓學(xué)生采用類比等式的性質(zhì)及一元一次方程的解法，大膽作出猜想。例如，二元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式的定義可以類比一元一次方程的定義。

（二）三角形

一般來說，三條線形成三個角的圖形，就可判定為三角形。教師可引導(dǎo)學(xué)生作出猜想，如三角形的判定方法可以由三角形全等的判定方法進(jìn)行類比。

二、歸納猜想

這里的歸納，不是籠統(tǒng)地將數(shù)學(xué)知識歸納為一個公式，而是循環(huán)可猜想的歸納。教師可以通過舉例來推斷數(shù)學(xué)本質(zhì)的普遍意義，它在中學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，教材中的許多性質(zhì)、規(guī)律都是這樣總結(jié)得出來的，如初中代數(shù)“同底數(shù)的冪的乘法法則”。

同理，a3×a2=（a×a×a）×（a×a）=a5

即a3×a2=a3+2

在此基礎(chǔ)上總結(jié)歸納，提出猜想：a 的任意N 次方值乘以a 的任意N 次方值，等于a 的N+N 次方。

得出結(jié)論：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。再如，公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，數(shù)學(xué)教師可先根據(jù)這個公式整合兩個問題拓展學(xué)生的思維。

問題1：（a+b）3和a3+b3兩個數(shù)值相等嗎？學(xué)生利用之前學(xué)過的同等冪相等的知識可以總結(jié)出，兩個數(shù)值是不會相等的。

問題2：（a+b）3=a3+□+b3，方框里應(yīng)填上什么代數(shù)值使其成立？

這時，學(xué)生的思維被打開，教師應(yīng)“乘勝追擊”，引導(dǎo)學(xué)生利用“同底數(shù)的冪的乘法法則”的方式試驗(yàn)取值，大膽猜想。學(xué)生猜想求證后得出：代數(shù)值等于3a2b+3ab2。

經(jīng)上述試題，可以看出，學(xué)生通過開發(fā)思維發(fā)現(xiàn)問題中存在的規(guī)律，比教師直接告知學(xué)生公式的內(nèi)容的教學(xué)效果要好。學(xué)生自主猜想驗(yàn)證，可以加深對知識的理解，幫助學(xué)生更好地應(yīng)用知識，解決問題。

三、遷移猜想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對新舊知識產(chǎn)生心理遷移，就是遷移猜想。換言之，就是讓學(xué)生做到活用以前的數(shù)學(xué)概念來理解新概念。例如，在學(xué)習(xí)二次根式的加減法時，首先，教師可提出問題：你們知道整式的含義嗎？引導(dǎo)學(xué)生對舊概念進(jìn)行復(fù)習(xí)，從而對其進(jìn)行猜想，這時，學(xué)生經(jīng)復(fù)習(xí)后了解，只有同類項(xiàng)才可以合并在一起。其次，讓學(xué)生試著把整式中的字母換成二次根式，知識點(diǎn)發(fā)生遷移。學(xué)生會根據(jù)之前復(fù)習(xí)的知識得到新的概念，只有二次根式才可以合并，從而驗(yàn)證了不能隨意進(jìn)行合并的猜想。最后，教師進(jìn)行二次根式的講解，大幅度降低了學(xué)習(xí)二次根式的難度。

結(jié) 語

綜上所述，數(shù)學(xué)猜想作為重要的教學(xué)方式，具有科學(xué)輔佐知識講解的作用，是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式，可以使學(xué)生樂于思考。數(shù)學(xué)猜想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，把數(shù)學(xué)帶入新的領(lǐng)域，教師應(yīng)努力分析研究這一教學(xué)方式，幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力。