基于傅里葉定律的高溫服裝設(shè)計中熱傳遞模型的研究

羅鳳潔 張玉林

摘? ?要：本文通過建立數(shù)學(xué)模型對三層織物材料組成的高溫作業(yè)專用服裝的設(shè)計問題進(jìn)行研究。運(yùn)用Fourier transform算法求解偏微分方程從而建立熱傳導(dǎo)模型，并利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到溫度的分布圖像與函數(shù)，得到最后的熱傳導(dǎo)模型公式。通過求解該模型的數(shù)值解，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，進(jìn)行模型檢驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：熱傳遞? 高溫作業(yè)專用服裝? ?Fourier transform? 數(shù)值擬合

中圖分類號：O242? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）11（c）-0111-02

當(dāng)人們處于高溫環(huán)境下，人體的皮膚會受到一定程度的燒傷，因此，人們需要穿著一種專業(yè)服裝，在環(huán)境與人體之間充當(dāng)一種隔絕層進(jìn)而對人體皮膚進(jìn)行保護(hù)。人們對其經(jīng)濟(jì)實(shí)用性以及舒適性等都有了新的要求因此也進(jìn)行了相關(guān)的研究。本文運(yùn)用Fourier transform算法求解偏微分方程建立了熱傳導(dǎo)模型，并通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有效驗(yàn)證了模型的正確性，為今后人們研究更加高效經(jīng)濟(jì)的高溫作業(yè)熱防護(hù)服奠定一定的基礎(chǔ)。本文的研究背景以及研究數(shù)據(jù)均來源與大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2018年B題。

1? 問題提出

已知專用服裝材料的某些參數(shù)值例如密度、比熱、熱傳導(dǎo)率和厚度的值等。我們需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，并計算溫度分布。根據(jù)傳熱學(xué)與工程熱力學(xué)的相關(guān)知識可知，熱傳遞主要分為三種基本方式即熱傳導(dǎo)、熱輻射和熱對流，為了方便計算，我們暫時忽略以上因素對熱傳遞所造成的影響，主要考慮三大主因素的影響，從而根據(jù)傅里葉定律建立起熱傳導(dǎo)模型;得到溫度分布函數(shù)，進(jìn)而用理論的溫度分布函數(shù)與所得到的溫度分布函數(shù)進(jìn)行對比并檢驗(yàn)。

2? 符號定義

本文中令q為熱對流（輻射）密度;k為熱傳導(dǎo)系數(shù);σ為斯蒂芬-波爾滋蔓常數(shù);β為輻射吸收常數(shù);FL為向左輻射通量;FR為向右輻射通量;ε1為Ⅰ層左側(cè)的輻射量;h為服裝層或空隙層的厚度;ωf為纖維內(nèi)水蒸氣濃度。

3? 熱傳遞模型的建立與求解

3.1 模型建立

⑴在垂直于熱量傳導(dǎo)的方向上每個面的溫度都相同，我們稱之為等溫面;把環(huán)境到皮膚最外層表面的距離x分為n個小段，記為、、……、;每相鄰的之間的溫度差，記為（）;所以溫度梯度表示為。

⑵在考慮熱輻射的情況下，該服裝中的輻射能量即為熱能，記為在只考慮一維熱傳導(dǎo)的情況下，x點(diǎn)處向左輻射的總熱輻射量，并記熱流密度為q，由能量守恒得：。若在不考慮右熱輻射所傳遞的熱能的情況下，則在點(diǎn)x處的凈熱能量為：，其中β為輻射吸收常數(shù)即單位面積下該服裝的吸收能力。

綜合以上內(nèi)容的分析，得出問題一的模型：

（1）

其中：

3.2 模型求解

其中（1）看成兩個一階線性微分方程，它們的邊界條件為：

解得：

所以方程（1）進(jìn)一步寫為：

（2）

為解方程（3.2），我們需用到傅里葉積分變換，方程（2）變化為：

（3）

因此，方程（3）可看成一個含參量ω的一階線性非齊次常微分方程的初值問題，再利用常數(shù)變異法，再對取傅里葉逆變換，根據(jù)傅里葉變換卷積性質(zhì)得：

令：

得到：? ? ? ?（4）

其中分別表示Ⅰ層、II層、III層、IV層的溫度關(guān)于時間t、厚度x的二元函數(shù)并且。

4? 結(jié)果分析

圖1是用MATLAB軟件根據(jù)模型一的數(shù)值解模擬出來的三維圖像，反映了時間、溫度與厚度的關(guān)系。圖2反映了模型一的數(shù)值解以及附件2所給數(shù)據(jù)的對比情況，其中1線表示附件2的數(shù)據(jù)，2線表示模型一的數(shù)值解;從圖2中我們可以看出模型一的數(shù)值解與實(shí)際數(shù)據(jù)在前期接近程度較高，但隨著時間的推移，偏移量逐漸增加，因?yàn)樵谀Ｐ鸵恢袥]有對織物材料結(jié)構(gòu)參數(shù)中孔隙率、孔半徑等、熱濕傳遞以及物理參數(shù)如水汽擴(kuò)散等因素的影響，隨著時間的推移，溫度在不斷升高，而在高溫狀態(tài)下，以上因素對溫度降低的影響較大，因此，隨著溫度的升高，利用模型一算出的溫度將會比實(shí)際溫度偏低。

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