扭轉(zhuǎn)陀螺運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的研究

陳宗強(qiáng)，于宏宇，陳 靖,孫 騫

(南開(kāi)大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

扭轉(zhuǎn)陀螺為第30屆國(guó)際青年物理學(xué)家競(jìng)賽(IYPT)第12題[1]，使用1根具有一定扭轉(zhuǎn)阻力的繩來(lái)懸掛轉(zhuǎn)動(dòng)的陀螺，加速陀螺使其具有一定的初始自轉(zhuǎn)角速度，并且將繩扭轉(zhuǎn)一定的角度，然后釋放，陀螺會(huì)進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)運(yùn)動(dòng)，由于陀螺質(zhì)心與輪軸存在的無(wú)法避免的微小偏移，陀螺會(huì)進(jìn)行參變共振與受迫共振. 在一定情況下，陀螺會(huì)發(fā)生進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)[2-3]、共振現(xiàn)象[4]. 本文將從陀螺輪軸自轉(zhuǎn)角速度變化、繩扭轉(zhuǎn)提供的力矩隨時(shí)間推移變化等分析扭轉(zhuǎn)陀螺運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的角動(dòng)量以及外力矩的具體形式，對(duì)角動(dòng)量定理的復(fù)雜方程數(shù)值求解，并且與實(shí)驗(yàn)比較，對(duì)進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)以及共振分析內(nèi)在的原因. 此外，從陀螺偏心差的角度對(duì)章動(dòng)、參變共振與受迫共振進(jìn)行理論以及實(shí)驗(yàn)的解釋與探究.

1 理論分析

1.1 模型建立

如圖1所示，假設(shè)繩固定點(diǎn)為O，系統(tǒng)靜止時(shí)輪軸朝向?yàn)閤軸正方向，重力加速度方向?yàn)閦軸正方向，根據(jù)右手螺旋確定y軸正方向，A為輪與繩固定連接點(diǎn)，B為陀螺的質(zhì)心位置，繩長(zhǎng)OA為a，陀螺質(zhì)心B與繩和輪連接點(diǎn)A距離為b.

由于繩的伸縮量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中近似不變，故OA大小不變，具有2個(gè)自由度，包括繩與豎直方向夾角θ和扭轉(zhuǎn)角度β. 輪自轉(zhuǎn)角度具有1個(gè)自由度，由于OA與AB近似處于同一平面內(nèi)，故具有輪軸與水平平面夾角自由度φ.

圖1 扭轉(zhuǎn)陀螺運(yùn)動(dòng)模型

1.2 系統(tǒng)角動(dòng)量

系統(tǒng)角動(dòng)量由質(zhì)心角動(dòng)量與質(zhì)心系中角動(dòng)量組成. 質(zhì)心角動(dòng)量可以表示為

(1)

其中

對(duì)質(zhì)心系中角動(dòng)量進(jìn)行分析，質(zhì)心系中的角動(dòng)量由3部分組成：第1部分J1為陀螺繞自陀螺軸旋轉(zhuǎn)所獲得的角動(dòng)量，第2部分J2為φ變化所獲得的角動(dòng)量，第3部分J3為β變化獲得的角動(dòng)量. 故陀螺系統(tǒng)角動(dòng)量J為

J=J0+J1+J2+J3=

(2)

其中，I1，I2和I3分別為陀螺對(duì)應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為陀螺自轉(zhuǎn)角速度，會(huì)隨時(shí)間推移而減少.

1.3 外力矩

系統(tǒng)所受外力矩由2部分組成：第1部分為重力矩Mg，第2部分為繩扭轉(zhuǎn)提供的扭轉(zhuǎn)力矩Ms，其中

(3)

通過(guò)分析繩扭轉(zhuǎn)內(nèi)在變化分析Ms. 繩扭轉(zhuǎn)過(guò)程內(nèi)部發(fā)生形變，從而產(chǎn)生恢復(fù)力矩，力矩大小與繩材料的剪切模量以及橫截面有關(guān)，同時(shí)扭轉(zhuǎn)過(guò)程繩內(nèi)部存在摩擦阻力，故繩扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生力矩表示為

(4)

故得到系統(tǒng)所受外力矩為

M=Ms+Mg=

(5)

將系統(tǒng)所受外力矩以及角動(dòng)量對(duì)時(shí)間微分形式列式即可得到3個(gè)包含繩與豎直方向夾角θ、扭轉(zhuǎn)角度β和輪軸與水平平面夾角φ的完整微分方程，結(jié)合初始條件

對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值求解，可以得到θ，β以及φ隨時(shí)間變化.

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

扭轉(zhuǎn)陀螺的實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示. 使用1根具有一定扭轉(zhuǎn)阻力的繩懸掛轉(zhuǎn)動(dòng)的陀螺，加速陀螺使其具有一定的初始自轉(zhuǎn)角速度，并且將繩扭轉(zhuǎn)一定的角度，然后釋放. 實(shí)驗(yàn)中，在3個(gè)視角觀測(cè)記錄定制輪的運(yùn)動(dòng)情況，水平視角放置2臺(tái)攝像機(jī)以獲得輪軸與水平平面夾角φ的變化情況，其中1臺(tái)為高速攝像機(jī)慢速觀察轉(zhuǎn)動(dòng)情況，豎直方向放置1臺(tái)攝像機(jī)以獲得扭轉(zhuǎn)角度β變化情況. 使用Tracker軟件追蹤φ和β隨時(shí)間變化. 用直尺測(cè)得繩長(zhǎng)a、陀螺質(zhì)心B與繩和輪連接點(diǎn)A距離為b，用電子天平測(cè)得陀螺的質(zhì)量，用三線擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x測(cè)得陀螺的3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 實(shí)驗(yàn)中各參量如下:a=294.0 mm，b=44.0 mm，m=0.343 21 kg，g=9.80 m/s2，βt=0=8π，I1=1.377 8×10-4kg·m2，I2=I3=6.428 8×10-5kg·m2.

圖2 扭轉(zhuǎn)陀螺的實(shí)驗(yàn)裝置

為了獲得陀螺自轉(zhuǎn)角速度隨時(shí)間變化情況，先讓繩不扭轉(zhuǎn)，輪空轉(zhuǎn)，使用800幀高速攝像機(jī)正對(duì)其拍攝，獲得其角速度ω隨時(shí)間變化關(guān)系，如圖3所示. 由圖3可以看出，角速度與時(shí)間近似成線性關(guān)系，故將角速度ω表示為

ω=ω0-k0t,

(6)

擬合得k0=7.295 rad/s2.

圖3 陀螺自轉(zhuǎn)角速度與時(shí)間關(guān)系

保持輪不旋轉(zhuǎn)，只扭轉(zhuǎn)繩，從陀螺底部拍攝獲得扭轉(zhuǎn)角度β隨時(shí)間變化如圖4所示，其中β0=-40 rad,dβ/dt=0. 扭轉(zhuǎn)角度β擬合滿足

β= -38.4e-0.122t[cos (0.458t)-

0.815sin (0.458t)],

(7)

可得：k1=2.85×10-4,k2=3.10×10-4.

圖4 輪不旋轉(zhuǎn)只扭轉(zhuǎn)繩時(shí)陀螺扭轉(zhuǎn)角度與時(shí)間關(guān)系

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

將理論數(shù)值求解所得的扭轉(zhuǎn)角度β與實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)值對(duì)比，如圖5所示. 由圖5可以看出扭轉(zhuǎn)角度隨著時(shí)間減小，由上方繩提供主要扭轉(zhuǎn)力矩. 與陀螺空轉(zhuǎn)相比陀螺扭轉(zhuǎn)恢復(fù)速度明顯減慢，這是因?yàn)橥勇蒉D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)存在的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量阻止了扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的發(fā)生.

圖5 輪旋轉(zhuǎn)繩也扭轉(zhuǎn)時(shí)陀螺扭轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間變化

將理論數(shù)值求解所得的輪軸與水平平面夾角φ與實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)值對(duì)比，如圖6所示. 由圖6可看出，φ先增大再減小，陀螺會(huì)出現(xiàn)輪軸抬起與水平平面有夾角的原因主要為輪轉(zhuǎn)動(dòng)使得輪自轉(zhuǎn)角動(dòng)量方向變化，損失角動(dòng)量轉(zhuǎn)換至φ變化的角動(dòng)量中，而重力矩使φ減小，故φ達(dá)到一定值會(huì)趨向于減小直至運(yùn)動(dòng)停止. 此外，φ實(shí)驗(yàn)值在理論值附近波動(dòng)，進(jìn)行章動(dòng)，章動(dòng)主要由偏心差引起.

圖6 陀螺輪軸與水平平面夾角φ隨時(shí)間變化

3 偏心差的影響

由于陀螺無(wú)法保證完全的質(zhì)量分布均勻，陀螺質(zhì)心會(huì)與輪軸中心存在較小的偏差，該偏差稱為偏心差. 在輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，偏心差會(huì)導(dǎo)致陀螺質(zhì)心繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生向心加速度，從而對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生一定影響. 向心加速度所引起的力矩方向沿輪軸與水平平面夾角φ變化角動(dòng)量方向，故對(duì)φ進(jìn)行相應(yīng)分析.

當(dāng)不考慮陀螺偏心差時(shí)，φ角運(yùn)動(dòng)方程近似寫為

(8)

(9)

其中等號(hào)左邊第2項(xiàng)為阻尼項(xiàng)，第3項(xiàng)為回復(fù)項(xiàng)，由常數(shù)項(xiàng)及由于質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)使得重力矩周期性變化引起，等號(hào)右邊為向心加速度引起的力矩，x和y分別為質(zhì)心與輪軸距離、質(zhì)心在輪軸上投影與輪軸中心偏離距離. (9)式的解可表示為

(10)

時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大波動(dòng)，即陀螺在轉(zhuǎn)動(dòng)角速度趨近于ω0會(huì)進(jìn)行受迫共振.

偏心差會(huì)引起陀螺進(jìn)行與輪轉(zhuǎn)動(dòng)等頻率章動(dòng)，且在轉(zhuǎn)動(dòng)速度趨近于2ω0與ω0時(shí)章動(dòng)頻率較大，分別發(fā)生參變共振與受迫共振，其主要使得輪軸與水平平面夾角φ發(fā)生波動(dòng). 通過(guò)高速攝像機(jī)進(jìn)行檢驗(yàn)，可以觀測(cè)到陀螺會(huì)進(jìn)行與陀螺旋轉(zhuǎn)等頻率的章動(dòng)，且觀察到在ω=201.12 rad/s與ω=101.05 rad/s章動(dòng)振幅最大，分別發(fā)生參變共振與受迫共振，如圖7～8所示.

(a)t=1 s

(b)t=2 s

(a)t=1 s

(b)t=4 s

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)理論與實(shí)驗(yàn)分析，得到了陀螺輪轉(zhuǎn)速隨時(shí)間減慢與輪轉(zhuǎn)動(dòng)得到陀螺在繩下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并對(duì)運(yùn)動(dòng)中輪軸旋轉(zhuǎn)的原因進(jìn)行了解釋. 對(duì)偏心差引起的參變共振與受迫共振進(jìn)行了理論上的分析與實(shí)驗(yàn)上的驗(yàn)證. 而由于使用牛頓力學(xué)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析得到方程式(組)極其復(fù)雜，雖然能通過(guò)數(shù)值求解，但無(wú)法較直觀地對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行說(shuō)明. 本文對(duì)解析過(guò)程進(jìn)行了近似，假設(shè)繩線性伸長(zhǎng)量不變，繩提供的力矩使用了二項(xiàng)阻尼進(jìn)行擬合，輪轉(zhuǎn)速隨時(shí)間近似線性變化，且陀螺存在不可避免的偏心差.