由多邊形小孔的遠場衍射解釋燈光的星芒

陳耿劍，周新宇,何春清,王曉峰

(武漢大學 a.物理科學與技術學院; b.物理國家級實驗教學示范中心，湖北 武漢 430072)

在晚上看遠處的路燈時，能看到許多星芒從燈芯射出. 當傾斜觀察時，星芒在視界中的位置不變，這說明星芒的產生源于眼睛，或者說星芒的出現與眼睛的結構有關. 當光圈較小時用相機拍攝亦有類似現象. 圖1給出了人眼與相機鏡頭的光學結構，各部分一一對應：角膜—物鏡，瞳孔—光圈，晶狀體—目鏡，視網膜—感光元件(圖1中未標出). 可以看出，人眼具有與相機相似的光學結構，為了解釋與人眼有關的光學現象，不妨先以相機為例進行研究. 圖2為Cannon相機(鏡頭參量：EF-S 18-55mm 1:3.5-5.6 IS STM，φ58 mm，光圈7葉)所拍攝的約40 m外的路燈的星芒. 其他參量不變的情況下調整光圈值由F6.5到F16,星芒由“光刺”變?yōu)椤肮庵?，人眼觀察到的情形為二者混合.

圖1 人眼與相機鏡頭

(a) F6.5光圈下的 (b) F16光圈下的 “光刺”狀星芒 “光柱”狀星芒圖2 40 m外路燈的星芒(相機拍攝)

圖3為鏡頭光圈與人眼瞳孔的對比[1]，兩者近似為正多邊形的小孔，推測星芒現象可能源于光在多邊形小孔的邊緣發(fā)生了衍射. 接下來從光的衍射理論出發(fā)，結合數值模擬與實驗給出星芒數量規(guī)律，并嘗試精確計算星芒的位置和亮度.

圖3 鏡頭光圈與人眼瞳孔

1 理論分析

設物距為d1，物光波U(x0,y0)，物透鏡組焦距為f，物光波經過多邊形衍射孔(光圈或瞳孔)后變?yōu)閁1(x0,y0)[2],則

(1)

其中，λ為光波波長，k是波數.

球面波在光圈處發(fā)生衍射，為了計算在d2處接收屏上的波前U(x,y)，將U1代入菲涅耳衍射公式[3]，

U(x,y)=C?t(x0,y0)U(x0,y0)·

(2)

其中C為復數，|C|為常量. 特別是當

亦即滿足幾何成像關系時，(2)式化為

(3)

即在像平面的波前U(x,y)為U(x0,y0)的傅里葉變換. 在目鏡透鏡組的作用下，在像平面處得到夫瑯禾費衍射圖樣最終成像在相機的感光元件或視網膜上.

2 數值模擬

單縫的遠場衍射可得到解析解，對于形狀復雜的小孔難于得到解析解，但利用快速傅里葉變換，可方便地計算出任意形狀小孔的衍射圖樣. 將d2記為d，令

x=pΔx，y=qΔy，x0=mΔx0，y0=nΔy0，

并取

為傅里葉變換的頻率變量，將U0(mΔx0,nΔy0)簡記為二維數組U0(m,n)，得

U(p,q)=DFT (U0(m,n))，

(4)

式中，U0(m,n)表示衍射前的波前，U(p,q)表示衍射后的波前. 還可推出當衍射屏的取樣寬度為L0且取樣數為N時，接收屏的寬度為[4]

(5)

普通光源為復色光，是多個非相干單色光的疊加. 考慮單色光，計算距離為d=8 870 mm的衍射圖樣，利用(5)式，可得在衍射屏寬度為L0=12.28 mm，N=512，λ=632.8 nm時，衍射圖樣寬度L=233.87 mm. 圖4為正四至正八邊形孔的衍射圖樣. 計算結果表明：如果正多邊形小孔邊數n為偶數，衍射產生的光刺有n條；如果n為奇數，則光刺為2n條.

(a)正方形孔 (b)正五邊形孔

(c)正六邊形孔 (d)正七邊形孔

(e)正八邊形孔圖4 正多邊形孔的模擬衍射圖樣

圖5為正三角形孔和曲邊三角形孔的衍射圖樣. 從圖5中可以看出，如果多邊形的邊有一定曲率，衍射后的“光刺”會鈍化為“光柱”，這解釋了圖2中相機用不同大小光圈拍攝遠處路燈所產生的現象.

(a)正三角形孔 (b)曲邊三角形孔圖5 正三角形孔及曲邊三角形孔的衍射圖樣

數值計算中可以進一步綜合考慮光源的多色、非點光源等性質. 不同波長光之間不相干，它們在感光元件或視網膜上的衍射圖樣會簡單疊加. 根據(5)式，其他參量相同但光波長不同，衍射圖樣的大小不同. 擴展光源上不同點發(fā)出的光線也不滿足空間相干條件，在感光元件或視網膜上的衍射圖樣只相差平移變換. 據此可以以擴展光源每個幾何像點為中心，按照光源色譜權重分別生成多個衍射圖樣后，在RGB編碼方案中計算各個衍射圖樣疊加. 最終的計算結果與圖2中現象類似. 計算機模擬正七邊形孔的衍射圖樣如圖6所示.

圖6 計算機模擬正七邊形孔的衍射圖樣

3 實驗驗證

用實驗室常用的衍射屏進行了初步實驗. 如圖7所示，衍射屏中正三角形孔和正方形孔的邊長均為0.2 mm，這遠小于手機后置攝像頭的通光孔徑(手機攝像頭不存在可調大小的物理光圈)，因此用手機緊貼衍射屏拍攝數米遠處的LED閃光燈可得到與(3)式對應的衍射圖樣. 拍攝得到的衍射圖樣與數值計算的圖4和圖5中對應正多邊形孔的衍射圖樣相符. 對于更多邊形的孔只能采用手工制備或購買特定葉數光闌的方式，因為加工精度的原因多邊形孔的尺寸與手機攝像頭通光孔徑相當，不適合用上述方式進行實驗. 同時用復色光不便于進行理論與實驗對比，因此采用了激光(單色性好、強度高)入射且遠場接收的方式進行實驗，以便于得到定量數據與理論進行對比.

(a)正三角形孔 (b)正方形孔 圖7 白光的正三角形孔與正方形孔衍射圖樣 (附圖中微尺總長度為1 mm)

如圖8所示，用氦氖激光器(波長632.8 nm)作為光源，將激光照射在帶有多邊形小孔的衍射屏上，在8.87 m遠的接收屏處觀察衍射圖樣. 受限制于實驗室沒有長焦距的透鏡和實驗室空間等諸多條件，無法直接測得無窮遠處的夫瑯禾費衍射圖樣，但是遠場處的衍射圖樣可以近似描繪出無窮遠處的夫瑯禾費衍射圖樣的特點. 實驗中使激光器水平放置，調整衍射屏的高度使激光束恰好覆蓋小孔，同時調整接收屏的位置以便觀察. 用單反相機拍攝干涉條紋圖樣，用筆在接收屏上描出0級斑的中心和各級明亮條紋的中心. 用刻度尺測量亮條紋中心到0級衍射斑中心的距離，并將拍得衍射圖樣導入Matlab計算條紋亮度.

圖8 實驗光路圖

實驗中采用的衍射屏為：正三角形孔、正方形孔、在紙上剪裁出正五邊形孔、在紙上剪裁并且結合刀片截出的正六邊形以及正八邊形光闌. 此處未加入正七邊形孔的實驗結果是因為正七邊形孔不易于裁剪. 圖9為實驗中所用的多邊形小孔及其衍射圖樣. 從實驗結果可以看出：當多邊形孔的邊數n為奇數時，星芒有2n條；n為偶數時，星芒有n條. 這驗證了理論部分關于星芒數和孔邊數的結論. 圖9中正五邊形小孔衍射圖樣與圖4中理論計算結果有差別，這是因為手工裁剪的五邊形并非嚴格的正五邊形，并且孔較大，不嚴格滿足遠場條件[5].

(a)三角形 (b)矩形

(c)五邊形 (d)六邊形

(e)八邊形圖9 多邊形小孔及其衍射條紋(附圖中鋼尺最 小刻度為1 mm)

表1 六邊形孔不同級次衍射條紋到中心距離的實驗與理論對比

利用Matlab自帶函數rgb2gray，將實驗拍攝的彩色圖片轉換成灰度圖與理論計算進行對比，如圖10所示，可以看出實際相對亮度和理論相對亮度在觀察屏所在的平面上具有相似的分布.

(a)實際相對亮度 (b)理論相對亮度圖10 六邊形小孔衍射圖樣的亮度

圖11為六邊形孔衍射圖樣沿1對星芒方向實驗測量和理論計算的亮度對比，在感光元件的線性感光區(qū)間，理論計算和實驗測量符合得較好. 當光強過強時，相機的感光單元會產生大量外溢的電子，因此1級條紋與0級斑不太容易分辨. 當光強太弱時，相機的感光效果與實際亮度是非線性變化的，因此弱光區(qū)的實驗測量結果和理論預測的結果相比略微偏大.

圖11 六邊形孔衍射圖樣中1對星芒 方向的實驗和理論亮度對比

4 應 用

瞳孔并不是規(guī)則的圓形或正多邊形，它的邊緣有許多“坑坑洼洼”，因此用肉眼觀察遠處的燈光時，會看到許多光刺和光柱從燈芯射出. 這些缺陷一般情況是均勻分布的，然而部分人的瞳孔有巨大的先天性缺陷，他們能看到某一方向的衍射光芒非常強烈. 利用此特性，可以檢查瞳孔是否有先天性缺陷.

5 結 論

用光的衍射理論證實了相機感光元件記錄的圖樣為光圈的遠場衍射圖樣， 揭示了星芒的成因.由數值計算可得：當多邊形衍射孔的邊數n為

奇數時，星芒有2n條；n為偶數時，星芒有n條. 若光圈的邊為直線，則衍射圖樣為“光刺”；若光圈的邊為帶有一定曲率的圓弧，則衍射圖樣為“光柱”. 綜合考慮光源的多色、非點光源等性質模擬了實際生活中觀察到的現象. 設計實驗觀察了正三、四、五、六、八邊形孔的遠場衍射圖樣. 對于正六邊形孔，衍射條紋到中心的距離、各級衍射條紋的相對亮度的實驗結果與理論結果符合，說明了理論分析的正確性和數值算法的有效性.