多參數(shù)正則化的動態(tài)光散射測量數(shù)據(jù)反演

申 晉， 修文正， 尹麗菊， 邢雪寧， 劉 偉

(山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

0 引 言

動態(tài)光散射技術(shù)是測量亞微米及納米顆粒粒度及其分布的有效方法[1-3]，該技術(shù)是通過測量布朗運動顆粒隨時間起伏的散射光強信號來獲得動態(tài)光散射數(shù)據(jù)，再對動態(tài)光散射數(shù)據(jù)進(jìn)行反演得到顆粒的粒度分布[4-6]。動態(tài)光散射技術(shù)具有非接觸、不干擾被測體系原有狀態(tài)等優(yōu)點，已經(jīng)成為亞微米及納米顆粒測量的一種常用方法。在動態(tài)光散射測量時，測量數(shù)據(jù)反演需要求解的第一類Fredholm積分方程是一個病態(tài)方程，即方程解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性均不能得到保證。已經(jīng)提出的多種動態(tài)光散射數(shù)據(jù)反演方法，包括累積法[7]、NNLS法[8]、CONTIN[9-10]法、指數(shù)采樣法[11]、奇異值分解法[12]、貝葉斯法[13]以及Tikhonov正則化方法[14]等，這些方法各具特點，但均存在局限，多分散顆粒體系的測量數(shù)據(jù)反演是動態(tài)光散射測量技術(shù)在實際應(yīng)用一直未能得到很好解決的難題。在各種反演方法中，Tikhonov正則化方法以其不受粒度分布形式限制和寬適應(yīng)性在動態(tài)光散射技術(shù)得到廣泛應(yīng)用。隨著動態(tài)光散射技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓寬，其在多分散顆粒體系測量應(yīng)用中存在的不足愈加明顯：正則參數(shù)取值過大會導(dǎo)致有用信息丟失，無法分辨較近的峰值；而過小則會引起解的振蕩。為得到穩(wěn)定的反演結(jié)果，通常會選擇犧牲部分有用信息，這導(dǎo)致了多峰分布顆粒的求解困難。在進(jìn)行微米級顆粒測量的前向激光散射技術(shù)中，林承軍等[15]通過構(gòu)建一個由多個參數(shù)控制的帶通濾波函數(shù)，在對正則解進(jìn)行非負(fù)約束的條件下，分別控制正則解的振蕩程度和解的高度，降低了正則解的振蕩和負(fù)值并能較好地識別多峰。

本文在動態(tài)光散射測量中，采用多參數(shù)正則化方法，通過調(diào)節(jié)因子構(gòu)造多個不同正則參數(shù)共同作用于正則矩陣，利用抑制小奇異值對反演結(jié)果的影響，提高反演方法的抗噪性能和多峰識別能力，有效地消除了反演的顆粒粒度分布中的虛假峰，得到了準(zhǔn)確的多分散的亞微米顆粒體系的反演結(jié)果。

1 動態(tài)光散射與多參數(shù)正則化

在動態(tài)光散射測量技術(shù)中，光強自相關(guān)函數(shù)：

(1)

式中:B為測量基線;β為相干因子;g(1)(τ)為歸一化電場自相關(guān)函數(shù)。

對于單分散顆粒體系：

g(1)(τ)=exp(-Γτ)

(2)

多分散體系：

(3)

其離散化形式為：

(4)

i=1,2,…,N；j=1,2,…,M

q為散射失量；m是溶液的折射率；λ0為激光的波長；θ是散射角；DT為顆粒的平移擴(kuò)散系數(shù)，

(7)

kB、T、η和D分別是Boltzman常數(shù)、絕對溫度、分散介質(zhì)的黏性系數(shù)和顆粒的流體動力學(xué)直徑。通過求解式(1)～(7),可得到待測顆粒的粒度分布。

對于多角度動態(tài)光散射測量，歸一化的電場自相關(guān)函數(shù)的離散形式的表達(dá)式為：

式中:散射角θr=θ1,θ2,…,θR，kθr是對應(yīng)散射角θr的自相關(guān)函數(shù)的權(quán)重系數(shù);CIθr,Di為Mie散射系數(shù)，即粒度為Di的顆粒在散射角度θr處的散射光強分?jǐn)?shù)，可通過Mie理論計算獲得；fDi為所求的顆粒粒度分布。將式(9)代入式(8)得：

(11)

其向量形式為：

(12)

式(4)可寫成算子方程形式：

Ax=b

(13)

矩陣A∈RM×N(M≥N)為Hilbert空間X到B的有界線性算子，x∈X，b∈B，其元素為exp(-Γiτj)，x的元素為G(Γi)，b的元素為g(1)(τj)。Tikhonov正則化方法通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

(14)

(15)

s>0,b≥1,x∈X

在Tikhonov正則化方法中，所有奇異值對應(yīng)相同的正則參數(shù)，正則參數(shù)受噪聲影響往往會導(dǎo)致所求的解出現(xiàn)欠正則化，使反演的顆粒粒度分布中出現(xiàn)虛假峰、毛刺、峰值分瓣等情況，導(dǎo)致雙峰及多峰的分辨率顯著降低。反演過程中，任何極微小的計算誤差與實驗誤差都會被小奇異值放大，引起反演結(jié)果的劇烈變化。

為了解決上述問題，可通過調(diào)節(jié)因子構(gòu)造正則參數(shù)函數(shù)，使多個不同的正則參數(shù)共同作用在正則矩陣(微分算子模型)上。多參數(shù)正則化的目標(biāo)函數(shù)為：

(16)

其矩陣形式為：

(ATA+α2L)x=ATb

(17)

α=[α1,α2,…,αj](j=1,2,…,M)。對式(13)中的矩陣A進(jìn)行奇異值分解：

(18)

得到解：

(19)

式中：U∈Rm×m與V∈Rm×m為酉矩陣；S∈Rm×m為對角矩陣；σj為奇異值，由于小的奇異值會對誤差進(jìn)行放大，因此，需對其進(jìn)行截斷；μj與vj分別為正交矩陣U和S的列元素，通過調(diào)節(jié)因子η調(diào)節(jié)正則參數(shù)：

αj+1=(η×αj)1/r

(20)

2 粒度反演的數(shù)值模擬

反演的雙峰(466/915 nm、316/470 nm)和三峰(324/601/871 nm)顆粒粒度分布均采用Johnson’s SB分布函數(shù)[19]:

(21)

式中:dmin和dmax分別為最小和最大顆粒粒徑；參數(shù)t是歸一化顆粒粒徑，t=(d-dmin)/(dmax-dmin)，μ1，σ1，μ2，σ2，μ3，σ3，a，b，c為顆粒粒度分布的參數(shù)。為更接近實際測量情況，對模擬的光強自相關(guān)函數(shù)數(shù)據(jù)依次加入噪聲水平δ為10-4和10-2的隨機噪聲。含噪的光強自相關(guān)函數(shù)

(22)

式中:ε為隨機噪聲。為檢驗反演性能，引入反演性能指標(biāo)：

表1 粒度分布模擬參數(shù)

(a) 噪聲水平為0

圖1 466/915nm雙峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下不同方法的反演結(jié)果

(a) 噪聲水平為0

圖2 316/470 nm雙峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下不同方法的反演結(jié)果

(a) 噪聲水平為0

圖3 324/601/871 nm三峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下不同方法的反演結(jié)果

表3 316/470 nm雙峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下的反演性能指標(biāo)

表4 324/601/871 nm三峰顆粒體系MDLS數(shù)據(jù)在不同噪聲水平下的反演性能指標(biāo)

從圖1與表2可以看出，對于466/915 nm的雙峰顆粒體系，多參數(shù)正則化方法獲得的顆粒峰值誤差與分布誤差均小于Tikhonov正則化方法的誤差，在噪聲水平為0時，Tikhonov正則化方法反演的雙峰顆粒粒度分布相對誤差為0.044 6，峰值誤差為0.032 2/0.008 7/0.025 1，而通過多參數(shù)正則化方法可使相對誤差降為0.030 7，峰值誤差為0.032 2/0.008 7；當(dāng)噪聲水平為10-2時，Tikhonov正則化方法反演的雙峰顆粒粒度分布相對誤差為0.080 2，峰值誤差為0.032 2/0.008 7，而通過多參數(shù)正則化方法可使相對誤差降為0.047 4。由于受噪聲影響，通過Tikhonov正則化方法反演的顆粒粒度分布中常有毛刺出現(xiàn)，當(dāng)毛刺出現(xiàn)在峰值附近時，會出現(xiàn)峰值分瓣現(xiàn)象，導(dǎo)致對測量結(jié)果的誤判。不難看出，多參數(shù)正則化方法反演明顯改善了上述情況，反演結(jié)果更逼近真實顆粒粒度分布。

從圖2與表3可以看出，與真實顆粒粒度分布相比，Tikhonov正則化方法反演所得的顆粒粒度分布除產(chǎn)生毛刺外，316 nm明顯展寬。在噪聲水平為0時，Tikhonov正則化方法的分布誤差為0.060 8，多參數(shù)正則化方法的分布誤差為0.030 9；當(dāng)噪聲水平增加到10-2時，前者的分布誤差為0.078，后者為0.052。隨著噪聲水平的增加，Tikhonov正則化反演的第一個峰的毛刺增多，而多參數(shù)正則化明顯改善了這一情況。

從圖3和表4可以看出，對于324/601/871 nm三峰顆粒體系，采用Tikhonov正則化方法反演得到的324 nm處峰值附近出現(xiàn)明顯毛刺，毛刺數(shù)量隨噪聲水平越大而越多。在噪聲水平達(dá)10-2時，多參數(shù)正則化方法仍能得到穩(wěn)定的三峰粒度分布結(jié)果。

3 實驗結(jié)果與討論

實驗所用數(shù)據(jù)為(306±8)nm和(974±10)nm標(biāo)準(zhǔn)聚苯乙烯乳膠顆粒的動態(tài)光散射實測數(shù)據(jù)，來自本課題組合作方——阿根廷Institute of Technological Development for the Chemical Industry 的Jorge R. Vega教授課題組。相關(guān)的實驗參數(shù)為：激光波長632.8 nm，分散介質(zhì)折射率nm=1.33，測量溫度T=298.15 K。散射測量角θ=30°，50°，70°，90°，110°，130°。從圖4和表5可以看出，Tikhonov正則化方法反演的顆粒粒度分布在974 nm峰處出現(xiàn)兩個虛假峰，多參數(shù)正則化方法反演結(jié)果中則沒有這種現(xiàn)象，且在306 nm處的峰值誤差遠(yuǎn)小于Tikhonov正則化方法(超過1個數(shù)量級)。

圖4 306/974 nm雙峰顆粒體系的反演結(jié)果

Size/nmTRMPR峰值/nmV2峰值/nmV2306/974255/943/1 0010.166 7/0.031 8/0.027 7300/9890.019 6/0.015 4

無論是數(shù)值模擬還是實際測量，采用多參數(shù)正則化方法可得到比Tikhonov正則化方法更為準(zhǔn)確的反演結(jié)果。在Tikhonov正則化方法中，所有奇異值均采用同一個正則參數(shù)處理，正則參數(shù)過大或過小會導(dǎo)致反演的顆粒粒度分布過于平滑或產(chǎn)生毛刺與虛假峰，在多參數(shù)正則化方法中，通過采用不同量值的正則參數(shù)分別處理不同的奇異值，避免了因正則參數(shù)過大或過小引起過正則化或欠正則化現(xiàn)象。由于任何微小的實驗誤差或計算誤差都會被小的奇異值放大，通過截斷奇異值分解將小奇異值截斷，有效地抑制了小奇異值的放大作用，進(jìn)而提高了反演方法的多峰的識別能力與抗噪能力。從反演機理上可以看出，與Tikhonov正則化方法相比，多參數(shù)正則化方法在多峰顆粒體系測量中具有明顯優(yōu)勢。

4 結(jié) 語

為了提高動態(tài)光散射技術(shù)在測量雙峰及多峰顆粒體系的準(zhǔn)確性，在正則化反演中，通過截斷奇異值分解截去小的奇異值，再通過調(diào)節(jié)因子構(gòu)造正則參數(shù)函數(shù)，實現(xiàn)了多參數(shù)正則化的動態(tài)光散射測量數(shù)據(jù)的反演。對小奇異值的截斷處理以及通過多個參數(shù)共同調(diào)節(jié)正則參數(shù)，既抑制小奇異值對反演結(jié)果的影響，又避免了正參數(shù)選取不當(dāng)導(dǎo)致的過正則化或欠正則化，顯著提高了反演方法的抗噪能力與多峰識別能力，在測量時有效地消除了顆粒粒度分布反演中的虛假峰與毛刺的同時，保留更多的顆粒粒度信息，從而增強了多峰分布的識別能力，實現(xiàn)了多峰顆粒體系的準(zhǔn)確測量。