如何做好幾何學(xué)科入門階段的教學(xué)工作

趙清艷

平面幾何是研究平面內(nèi)圖形的性質(zhì)、大小、位置關(guān)系的一門學(xué)科，進(jìn)入平面幾何學(xué)習(xí)，需要 “由數(shù)轉(zhuǎn)入形”“由運(yùn)算轉(zhuǎn)入推理”“由直觀思維和形象思維轉(zhuǎn)入抽象思維和邏輯思維”.學(xué)生往往因定式思維的影響或新思維形成較慢而跟不上教學(xué)進(jìn)度，給幾何學(xué)習(xí)造成一定困難.

“相交線、平行線”是幾何學(xué)習(xí)的開始階段，也是幾何證明的入門階段.在這個階段，教師要幫助學(xué)生跟上進(jìn)度，保持興趣，保證質(zhì)量，可采取如下教學(xué)策略：加強(qiáng)學(xué)生對幾何語言的理解和掌握；幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握知識，熟練推理過程；使學(xué)生會正確分析、敘述證明過程.

本階段教學(xué)的主要目的是讓學(xué)生掌握平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系及基本性質(zhì)，學(xué)會運(yùn)用這些知識進(jìn)行基本證明，這也是本階段的教學(xué)難點和重點.

學(xué)生在這個階段遇到的困難一般包括以下幾個方面：

1.對“幾何語言”認(rèn)識模糊，互譯不對應(yīng)，不熟練；

2.對基本的推理過程不熟悉；

3.不善于準(zhǔn)確敘述證明過程；

4.對證明題前的分析過程缺乏了解和訓(xùn)練；

5.不善于選擇合適的方法；

6.對知識缺乏系統(tǒng)的理解和掌握.

筆者針對這些情況進(jìn)行了初步的分析和研究，采取了如下教學(xué)策略：

一、加深理解、加強(qiáng)訓(xùn)練

1.理解幾何語言中的邏輯關(guān)鍵詞

幾何語言包括文字語言、符號語言和圖形語言，三位一體.其中文字語言既科學(xué)又簡潔，寓意深刻，字斟句酌，便于理解和記憶，教師要對邏輯關(guān)鍵詞加以分析和強(qiáng)調(diào)，比如“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”中的“有且只有”就是關(guān)鍵詞，“有”表示存在，“只有”表示唯一，意思是肯定有一條直線并且不能多于一條.再如“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”中的“在同一平面內(nèi)”是關(guān)鍵詞，要正確理解.不在同一平面內(nèi)也存在不相交的兩條直線（高中的異面直線）。在幾何學(xué)習(xí)中經(jīng)常會出現(xiàn)關(guān)鍵詞，例如“如果…那么…”“或”“且”“確定”，等等。幫助學(xué)生正確理解關(guān)鍵詞有利于提高他們的邏輯思維能力.

2.正確理解文字語言的實質(zhì)

對于概念性文字語言不能“顧名思義”，如“對頂角”并非“頂點相對的角”；“點到直線的距離”并非“垂線段”；對頂角相等的原意是“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”.幫助學(xué)生抓住概念的實質(zhì)，掌握幾何結(jié)論“縮略“的來源是學(xué)生學(xué)好幾何的關(guān)鍵.

3.提高幾何語言的互譯和識圖、畫圖能力

幾何定義、公理、定理、性質(zhì)是幾何語言互譯的最好載體.反復(fù)進(jìn)行畫圖操作和糾正是提高學(xué)生識圖畫圖能力的有效途徑.比如“過一點做已知直線、線段、射線的垂線”，須經(jīng)過多次畫圖訓(xùn)練才有可能達(dá)標(biāo).

二、系統(tǒng)掌握、熟練過程

從學(xué)會填充理由，掌握簡單推理證明入手。

幾何證明以“ ∵ ……. ∴ …….”形式出現(xiàn)，這種格式反應(yīng)了幾何證明的實質(zhì)是正確的推理，即由已知推出未知的過程.證明的格式主要是三段論式運(yùn)用，即演繹推理的運(yùn)用，三段論包括大前提、小前提和結(jié)論，比如三段論：

公理：同位角相等，兩直線平行（大前提）

所證明的題目存在：兩條直線被第三條直線所截，一組同位角相等（小前提）

則這兩條直線平行（結(jié)論）

關(guān)鍵是三段論從一開始就是一種靈活運(yùn)用的形式，因為沒有固定的格式，所以不能直接把方法教給學(xué)生，只能反復(fù)訓(xùn)練，有效指導(dǎo).

初一教材中的內(nèi)容大多是由學(xué)生填充推理來滲透的，學(xué)生只有在學(xué)習(xí)中注意觀察、認(rèn)真體會才能熟練推理格式，這就要求學(xué)生對題目條件、性質(zhì)、定義、公理、定理等做到心中有數(shù).例如：

已知：如圖：∠BED=∠B+∠D求證：AB∥CD.

證明：經(jīng)過點E畫EF∥AB

（經(jīng)過一點有且只有一條直線平行于已知直線）

∴∠B=∠BEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∴∠BED=∠B+∠D（已知）

∠BED=∠BEF+∠DEF（畫圖）

∴∠D=∠DEF（等量代換）

∴CD∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

∴AB∥CD（兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行）

上述證明過程三次出現(xiàn)平行而理由各不相同，這就要求學(xué)生對幾何知識系統(tǒng)化，證明方法系統(tǒng)化，而有些定理甚至不是獨立的，而是以前學(xué)過的某些知識的推理，這時就應(yīng)還它本來面目.

例如“三角形兩邊之和大于第三邊”這一定理就應(yīng)作為“兩點之間線段最短”這一公理的推理，又如“直角三角形的的兩個銳角互余”是“三角形內(nèi)角和定理“的變形.另外在計算過程中要強(qiáng)調(diào)推理，推理指導(dǎo)計算也是培養(yǎng)推理能力的重要途徑.

三、正確分析、清楚敘述

在證明之前應(yīng)在頭腦里獨立思考：什么該寫，什么不該寫，什么須先寫，什么要后寫，從邏輯上保證嚴(yán)密性和條理性.而分析法和綜合法是培養(yǎng)學(xué)生對幾何證明過程的分析能力和敘述能力的直接途徑.分析法是由求證結(jié)論出發(fā)，逐步尋找求證的條件，推理方向是逆向的：若C成立需B成立，若B成立需A成立……而綜合法就從求證條件出發(fā)，逐步推理，得出結(jié)論，推理方向是正向的，即把以上形式反過來：由A得B，由B得C.

初一教材要求學(xué)生會獨立證明比較簡單的題目，要求學(xué)生知道證明一般命題的步驟：（1）審題；（2）畫圖；（3）寫出已知、求證；（4）分析；（5）證明.教師在平時的推理訓(xùn)練中，應(yīng)使學(xué)生掌握推理的兩種基本形式，即綜合法和分析法，但切記不要直接交代，而應(yīng)滲透，使?jié)撘庾R形成習(xí)慣.

例如：證明兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么同位角也相等.

首先第一步引導(dǎo)學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言和圖形語言.

已知：如圖，∠AEF=∠EFD

求證：∠GEB=∠EFD

引導(dǎo)學(xué)生分析：欲證∠GEB=∠EFD，只需AB∥CD，而已知∠AEF=∠EFD，所以AB∥CD是成立的（分析法），從而得出證明（綜合法）.

證明：∵∠AEF=∠EFD ，（已知）

∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

∴∠GEB=∠EFD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

還可以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生另外的證法，讓學(xué)生學(xué)會選擇和運(yùn)用有關(guān)知識和方法進(jìn)行證明.在平時證明訓(xùn)練時，也應(yīng)注意一題多變，一題多法，以便培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和幾何證明能力.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com