幾何教學(xué)中核心素養(yǎng)的滲透路徑

危玉婷

在幾何教學(xué)中，如何合理設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生直觀想象，如何讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和探索分析來(lái)獲得數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行邏輯推理，如何讓學(xué)生慢慢形成在解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)思維模式的能力，是初中教師需要探索和解決的重要課題。下面筆者就以人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)《最短路徑問(wèn)題》內(nèi)容為例，談?wù)剮缀谓虒W(xué)中核心素養(yǎng)的滲透。

一、復(fù)習(xí)遷移，引入數(shù)學(xué)模型

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了線段和角，研究了三角形以及軸對(duì)稱(chēng)圖形之后給出的一個(gè)課題材料的學(xué)習(xí)。最短路徑問(wèn)題在生活中經(jīng)常遇到，初中階段以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有連線中垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，還要借助軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)進(jìn)行探究。

本節(jié)課以復(fù)習(xí)預(yù)備知識(shí)作為內(nèi)容的切入點(diǎn)，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)問(wèn)題：1.連接A，B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？2.點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D在直線l上，則線段PA，PB，PC，PD哪條最短？為什么？

配上相應(yīng)的圖形，設(shè)計(jì)的問(wèn)題目的明確，讓學(xué)生馬上積極思考進(jìn)入正題。當(dāng)然，如果用“螞蟻找食物”的實(shí)例引入，可能更形象、更有趣味性。筆者在備課時(shí)就與教研組成員討論過(guò)引入的問(wèn)題，其中也有各種設(shè)想，但最終覺(jué)得所有的知識(shí)都是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上生成的，這樣有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)體系，所學(xué)的內(nèi)容也不會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)太突兀。與其創(chuàng)設(shè)這種指向不明、浪費(fèi)時(shí)間的情景，不如選擇簡(jiǎn)單明了的方式，讓學(xué)生通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂線段最短”，通過(guò)數(shù)學(xué)模型直接引入本節(jié)課主題“最短路徑”問(wèn)題。

二、合理抽象，解決實(shí)際問(wèn)題

數(shù)學(xué)就是為了能在實(shí)際生活中應(yīng)用，數(shù)學(xué)是人們用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的，數(shù)學(xué)問(wèn)題就產(chǎn)生在生活中。所以，課堂教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的聯(lián)系。本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題“將軍飲馬”為載體，開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“三角形兩邊之和大于第三邊”問(wèn)題。

本節(jié)課圍繞著“將軍飲馬”問(wèn)題展開(kāi)，對(duì)于這樣一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題首要解決的就是讓學(xué)生能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)，讓學(xué)生明確可以把筆直的河看成一條無(wú)限延伸的直線，把將軍和馬看成兩個(gè)點(diǎn)，從而抽象出此題要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題——這兩個(gè)點(diǎn)到這條直線上能否找到一個(gè)點(diǎn)使得長(zhǎng)度和最短的問(wèn)題。課堂上，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察之后，讓學(xué)生自主說(shuō)出想法，畫(huà)出圖形，探討出當(dāng)點(diǎn)C在直線的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小，從而將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”，通過(guò)訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象能力的提升。

三、抓住本質(zhì)，搭建探究階梯

最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是最值問(wèn)題，作為初中學(xué)生，此前很少涉及最值問(wèn)題，解決這方面問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手。

為了更好地突破難點(diǎn)，這節(jié)課筆者選擇讓學(xué)生嘗試自主探究解決問(wèn)題的方法和規(guī)律。在探索新知的環(huán)節(jié)，直接探究同側(cè)兩點(diǎn)最短路徑問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有很大難度，因此筆者首先選擇了由異側(cè)兩點(diǎn)尋找最短路徑入手，讓學(xué)生可以很快找到一個(gè)點(diǎn)C使得AC+BC最短。在緩解學(xué)生的畏難情緒的同時(shí)也為學(xué)生解決后面問(wèn)題搭建了“腳手架”，讓學(xué)生感知到可以用“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理來(lái)尋找最短路徑。這時(shí)，再將同側(cè)兩點(diǎn)尋找最短路徑的問(wèn)題出示給學(xué)生，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：我們能不能把同側(cè)的這兩個(gè)點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到異側(cè)去呢？能不能找到一個(gè)點(diǎn)來(lái)代替點(diǎn)A？是隨便什么地方的點(diǎn)都可以替代嗎？讓學(xué)生跟著筆者一系列的問(wèn)題逐步思考解決方法，然后再讓學(xué)生通過(guò)作圖、小組討論等方式自主嘗試尋找到最短路徑。

四、大膽猜想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

杜威曾說(shuō)：“科學(xué)的每一項(xiàng)巨大成就，都是以大膽的幻想為出發(fā)點(diǎn)的?！睂?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的猜想，實(shí)際是一種數(shù)學(xué)想象，是一種創(chuàng)新精神的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出猜想，創(chuàng)新地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，分享自己的想法，鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維。

本節(jié)課在經(jīng)過(guò)小組討論尋找最短路徑的方法之后，學(xué)生自己作圖嘗試去找最短的線段和。有的學(xué)生去作垂線，有的學(xué)生去作同側(cè)兩點(diǎn)的垂直平分線，也有的學(xué)生去找其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，各有各的道理和思考。這里無(wú)論學(xué)生有怎樣的思考，不管學(xué)生的設(shè)想是否有價(jià)值，只要是學(xué)生自己真實(shí)的想法，教師都應(yīng)該給予充分的肯定，然后對(duì)問(wèn)題采取有效的方法進(jìn)行引導(dǎo)和解決。對(duì)于有創(chuàng)新意識(shí)的問(wèn)題和見(jiàn)解，不僅要給予鼓勵(lì)，而且要表?yè)P(yáng)學(xué)生能夠善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題進(jìn)而引導(dǎo)大家一起去深層次地思考交流。

通過(guò)驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)先前作垂線和中垂線的猜想是錯(cuò)誤的，于是就會(huì)產(chǎn)生疑惑，并有了探求新知的欲望。這時(shí)筆者利用錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生觀察利用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線的異側(cè)，構(gòu)造成了兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題，在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生又能重新作出新的方案，這時(shí)筆者放手讓學(xué)生自主探究驗(yàn)證，將問(wèn)題解決。

五、由淺入深，形成幾何思維模型

問(wèn)題設(shè)計(jì)要讓學(xué)生真正有所思考，并且可以經(jīng)過(guò)思考得到結(jié)論。授課的過(guò)程中應(yīng)該環(huán)環(huán)相扣，由淺入深，要將問(wèn)題分解，化大為小，化難為易，化繁為簡(jiǎn)。

本節(jié)課在突破難點(diǎn)處設(shè)計(jì)了四個(gè)步驟逐步擊破。首先，通過(guò)類(lèi)比思想引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維尋找解決方法，然后發(fā)問(wèn)除了通過(guò)A點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)目的之外，轉(zhuǎn)換B點(diǎn)到異側(cè)可以找到實(shí)現(xiàn)最短路徑的C點(diǎn)嗎？通過(guò)作圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，選擇A或B都能實(shí)現(xiàn)目的。為了更深層次理解，于是設(shè)計(jì)了第三步提問(wèn)：這兩點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)嗎？為什么是同一個(gè)點(diǎn)呢？最后給出圖形，讓學(xué)生探索如何證明AC+BC最短，最終讓學(xué)生體會(huì)到利用軸對(duì)稱(chēng)可以解決一些簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)高度抽象的思維產(chǎn)物，它是高于數(shù)學(xué)知識(shí)的思維方法。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不能脫離具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，它需要在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想方法的掌握過(guò)程中，通過(guò)逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省形成。也就是說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升離不開(kāi)教師的合理引導(dǎo)，教師“教什么，怎么教”，很大程度上影響著學(xué)生將來(lái)具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)能力的形成與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升主要依賴于數(shù)學(xué)課堂，或者源于數(shù)學(xué)課堂。在數(shù)學(xué)的幾何課堂中我們應(yīng)該多關(guān)注“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象”等方面的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生多思考數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效體現(xiàn)與落實(shí)。

（作者單位：武漢市武昌文華中學(xué)）

責(zé)任編輯 陳建軍

責(zé)任校對(duì) 張 敏