數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實踐與思考

曾慶豐

本節(jié)課通過“提出問題→尋找其中的量→對量進行分類→歸納概念”的探究式教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念形成的全過程，感受數(shù)學(xué)概念形成的自然性與合理性，加深學(xué)生對概念的理解。

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

師：同學(xué)們，從小學(xué)步入初中到現(xiàn)在的這段時間里，你發(fā)生了哪些變化？

生：年齡增長了，身高長高了，知識增多了，體重增加了……

師：實際上，我們生活在一個充滿變化的世界里，你還能列舉一些日常生活中不斷變化的量的例子來嗎？

生：行駛的自行車，它的路程；放飛的風(fēng)箏，它的高度；投籃時，籃球的高度……

環(huán)節(jié)二：實踐體驗，探索概念

師：請同學(xué)們解答下列問題。

問題1是汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，請?zhí)顚懴旅娴谋砀瘛?/p>

[t/時 1 2 3 4 5 s/千米 ]

師：問題1中有哪些量？

生：速度、路程和時間。

師：問題2是在一根彈簧的下端掛重物，彈簧的原長為10cm，每1kg的重物使彈簧伸長0.5cm，設(shè)重物的質(zhì)量為mkg，受力后的彈簧長度為lcm，怎樣用含m的式子表示l？

（此時，大部分學(xué)生遇到認知障礙，教師借助多媒體提示，如圖1。）

生（頓悟）：

師：問題2中有哪些量？

生：彈簧的長度、重物的質(zhì)量、彈簧的伸長……

師（補充）：一共四個量——彈簧的原長、受力后的彈簧長度、重物的質(zhì)量和每掛1kg重物彈簧伸長的長度。

問題3是如圖2是某地在24小時內(nèi)的氣溫變化圖，圖中有哪些量？

生：時間和溫度。

師：你能對上面三個問題中涉及的量進行適當(dāng)?shù)姆诸悊幔磕惴诸惖囊罁?jù)是什么？

生：我把上面的量分為兩類——速度、彈簧的原長、每掛1kg重物彈簧伸長的長度為一類；路程、時間、受力后的彈簧長度、重物的質(zhì)量、時間和溫度為一類。分類的依據(jù)是：量的取值是否發(fā)生變化。

師（歸納）：回答得很好！在一個變化過程中，我們把數(shù)值發(fā)生變化的量叫作變量，比如，上述三個問題中的路程、時間、受力后的彈簧長度、重物的質(zhì)量、時間和溫度；把數(shù)值始終不變的量叫作常量，比如速度、彈簧的原長、每掛1kg重物彈簧伸長的長度。

環(huán)節(jié)三：反思提煉，歸納定義

師：在前面的三個問題中，同一個問題中的兩個變量之間有什么聯(lián)系呢？同學(xué)們之間交流一下。

生：一個量變，另一個量跟著變化；一個變量的值確定，另一個變量的值也確定了。

師（結(jié)合三個問題）：對于行駛時間t的每一個取值，有唯一的行駛里程s與其對應(yīng)；對重物質(zhì)量m的每一個取值，有唯一彈簧長度l與其對應(yīng)；對于時間的每一個取值，有唯一的溫度與其對應(yīng)。一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

練習(xí)：下列式子中，y是x的函數(shù)嗎？為什么？

（1）y3x5；（2）y[1x]；（3）y2x。

生：（1）是的；（2）不是的，因為x≠0；（3）不是的，因為x不能取負數(shù)，y取互為相反數(shù)時，x是一樣的。

師：對于問題（2）我們默認x≠0；由于y2≥0，所以x是非負數(shù)。對于x的每一個確定的值，（1）、（2）都有唯一確定的值與它對應(yīng)，而（3）有可能有兩個互為相反的兩個數(shù)與它對應(yīng)，所以（1）、（2）是，而（3）不是。

教學(xué)反思

整節(jié)課圍繞三個問題展開，循序漸進，邏輯線條明晰，知識間的銜接與過渡流暢、自然；注重概念的形成過程，讓學(xué)生全程參與常量、變量和函數(shù)這三個概念的形成過程，真正突出了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。但是由于教師在整個教學(xué)過程中，忽視了變量與函數(shù)的使用范圍（在一個變化過程中），淡化了變量與函數(shù)之間的關(guān)系（函數(shù)是兩個變量之間的一種特殊對應(yīng)關(guān)系），致使整節(jié)課的問題設(shè)計略顯單薄，缺乏對概念本質(zhì)的把握和揭示。

數(shù)學(xué)概念雖說是“老祖宗”人為規(guī)定的，但它也是“先人”們在長期的生產(chǎn)、生活實踐活動中，通過對現(xiàn)實世界的觀察和切身體驗，發(fā)現(xiàn)了某些事物的共同屬性，進而抓住事物的本質(zhì)進行提煉、歸納、概括出來的，所以，每一個數(shù)學(xué)概念都有一個形成過程。在教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷這個過程，不僅有助于他們感受數(shù)學(xué)概念定義的自然性與合理性，加深對概念本質(zhì)內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且也能有效地培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的概括能力和推理能力。

數(shù)學(xué)中的很多概念之間都是相互關(guān)聯(lián)的，但這種關(guān)聯(lián)又是潛在的，初學(xué)者一般不易察覺。這就需要教師去挖掘，并在教學(xué)中加以滲透、展現(xiàn)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中去體驗、感悟概念間的聯(lián)系與區(qū)別，有助于優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。比如，在變量與函數(shù)的教學(xué)過程中，教師可以通過“在一個變化過程中：‘存在多個變量→只有兩個變量但有多種對應(yīng)關(guān)系→兩個變量間是一對一或多對一的關(guān)系→函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計流程，去滲透變量與函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。這樣設(shè)計，既可以讓學(xué)生從變量的高度去認識函數(shù)，也可以從函數(shù)的角度去審視變量，變量與函數(shù)這兩個概念也就不再是孤立的了，而是一個有機的整體。

在日常教學(xué)中，很多教師在上概念課時，總會設(shè)計出大量的選擇題、判斷題、填空題讓學(xué)生去做，目的是想讓學(xué)生真正地掌握概念。這樣做的想法是好的，但效果往往很差，從而造成課堂效率低下。實際上，許多數(shù)學(xué)概念不是通過一節(jié)課、兩節(jié)課甚至一個月、一個學(xué)期學(xué)生就能夠真正掌握的，它需要一個知識積累的過程，認識不斷提升的過程。

（作者單位：襄陽市第七中學(xué)）

責(zé)任編輯 張敏