挖掘內涵明算理厘清本質通算法

屈婷

豎式是計算眾多表達方式中的一種，它不僅是讓學生掌握一種新的計算方法，更大的價值在于通過計算讓學生進一步理解數(shù)位，體會位值的作用，增強數(shù)感。如何讓學生明晰算理、內化算法？下面以人教版三年級上冊《多位數(shù)乘一位數(shù)（一次進位）》為例，談談筆者的思考。

一、經驗開路，理解意義

1.用小棒計算16+7，你準備怎么擺？16×3又該怎樣用小棒表示？

2.加法、乘法是合的過程，怎樣將3個這樣的16根小棒合在一起？

3.合整捆是在算什么？得到的結果是多少？合單根呢？

4.最后的4捆8根也就是48是哪些數(shù)通過怎樣的計算得來的？

（學生一般會忽略位值理解表達成“3和18加起來是48”。）

5.3加18得21，怎么得48呢？

小結：看來合整捆的時候我們實際上算是的10×3或者說1個十乘3。

板書：10×3=30 6×3=18 30+18=48

思考：動手合小棒是生活原型，從生活原型上升到算式表示的數(shù)學模型，中間需要一個“怎樣合”的過程來過渡。在學生合并小棒的過程中，筆者先讓學生表述合的過程，再引導學生將合小棒的每一個步驟都轉化為運算意義的理解，并將每次乘的算式帶著位值一一寫出來，這樣就為橫式算法的建構提供了原型支撐。

二、挖掘內涵，明晰算理

1.16+7的豎式結果得多少？怎樣寫？16×3的豎式結果呢？請把你的思考過程記錄在答題紙上。（展示十位積寫2和6的錯誤寫法）

2.豎式的十位結果出現(xiàn)了不同的答案，到底該寫幾呢？結合我們合小棒的過程想一想，也可以根據(jù)這些算式（指橫式）看看你能得到哪些啟發(fā)。

（學生根據(jù)擺小棒的結果和橫式分拆的結果得出積的十位應該寫4。）

3.這個4是怎么來的？為什么3還要和十位上的1相乘？難道僅僅是為了湊得十位上的4這個結果嗎？

小結：要求3個16是多少，要把十位上的數(shù)和個位上的數(shù)分別與3相乘，乘完以后再把兩個結果加起來。

4.算的是乘法，為什么乘完以后還要再加？合單根的時候，明明是把3個這樣的6根小棒合在一起，應該用加法，可為什么寫出的是乘法算式？

小結：加法和乘法都是合，各部分一樣多，我們就用乘法來求和，各部分不一樣多，我們就用加法來求和。先乘，是因為把3個1捆和3個6根分別合在一起時各部分相同，得到3捆和1捆8根后，這兩部分不相同，所以要用加法來求和。

思考：根據(jù)加法豎式的啟示，大部分學生在用一位數(shù)乘多位數(shù)的個位時會想到把進位數(shù)寫在相應的位置，剩下的數(shù)寫在個位，這點和加法的進位寫法高度一致。十位積怎么寫呢？這是學生認知的難點。因此，筆者引導學生將思維聚焦在這個問題上，讓學生聯(lián)系合小棒與橫式分拆的過程思考豎式中積的十位的計算過程，從算式返回實物，為算式尋找意義。“乘完為什么還要加”這個問題也是學生心中繞不過的坎兒，筆者明知故問，激活學生心中乘法是特殊加法的簡便計算的認知，這樣豎式計算的每一步都能找到一重意義與之相聯(lián)，學生就能從邏輯意義的角度去理解和解釋積的十位數(shù)字的來歷。

三、厘清本質，內化算法

1.看來用豎式計算16×3時，要先乘再加。先乘什么？再加什么？

小結：其實，不管是擺小棒，橫式記錄，還是豎式記錄，16×3的計算方法在算理上是相同的。

2. 18、30和48這三個結果在豎式中該怎樣記錄？這些寫法都對嗎？（重點展示第二部分積的不同寫法，把第二部分積“寫成30”，“3寫在個位”和“3寫在十位”的作品一起展示，分別編號1、2、3）

3.方法2為什么不對？方法3也只寫了一個3，為什么是對的？既然30和3都對，寫哪個更簡潔？

4.數(shù)學追求簡潔。數(shù)學家最終采用這樣的寫法來記錄（展示16×3的最簡豎式形式）。復雜的計算需要分解成許多簡單的計算，為了不遺忘中間步驟的計算結果，就需要進行記錄，這就要用到豎式。這種寫法記錄了計算的步驟，又不至于遺忘中間步驟的計算結果，是最簡潔的記錄方式。你們能看懂嗎？

5.（指進位1）1是怎么來的？十位上的4又是怎么來的？（板書：1×3+1）

思考：將算理轉化為算法需要一個生長的過程。因此，在引導學生規(guī)范16×3的豎式寫法時，筆者先讓學生在“先乘后加”整體結構的指引下，探究如何在豎式中記錄結果，并將實物、橫式、豎式作了勾連，讓三者互相支撐，形成一種思維的鏈條；接著對第二部分積“30”的寫法進行了濃墨重彩的分析，讓學生從位值的角度去理解闡釋“怎樣記錄既對又簡潔”，并順勢引出“最簡寫法”，體會一層豎式運算的合理性和簡潔性；最后讓學生將兩層寫法改為最簡寫法，進一步澄清算理、內化算法。

四、追根溯源，理法并進

1.最簡豎式雖然簡單，但是不太容易懂。你能看出這些豎式最后結果是由哪兩個結果合并而成嗎？

思考：此題給出簡化的豎式結果，讓學生尋找最終的積是由哪兩部分積合并而來，目的有兩個。一是讓學生在頭腦中調用表象經驗和算法經驗，進一步厘清乘法豎式計算每一步書寫的含義，理解簡化后積的來龍去脈；二是讓學生體會到加法豎式和乘法豎式在進位時的不同：用豎式計算加法，十位加上的都是進上來的1，用豎式計算乘法，十位加上的除了個位進上來的1，還有其他數(shù)，但進位數(shù)最多不超過8，因為乘法口訣的最大積是九九八十一。

2.你能把這些豎式的計算過程補充完整嗎？

思考：給出多位數(shù)乘一位數(shù)計算的部分積和一位數(shù)，讓學生根據(jù)部分積和一位數(shù)去推斷多位數(shù)某個數(shù)位上的數(shù)，旨在讓學生用推理的方法逆向思考獲得答案，感悟因數(shù)的某個數(shù)位與得到的部分積、最簡積的運算關系，進一步固化算法表象，體會到數(shù)與數(shù)之間的因果關聯(lián)，讓學生對豎式的算理和算法的理解齊頭并進。

3.這些題目更難了，你還能補充嗎？

思考：此題的思維難度更進一層，開放性也更強，答案不唯一。只給定部分積，需要學生根據(jù)部分積去推斷兩個因數(shù)。學生需要先利用乘法口訣，推算兩部分積分別是由哪兩個數(shù)相乘得到的，再找到相同的因數(shù)，由此確定一位數(shù)是幾，最后根據(jù)一位數(shù)和部分積來推斷兩位數(shù)的個位和十位分別是幾。根據(jù)公有的因數(shù)確定一位數(shù)的思考過程難度最大，因為這個因數(shù)既要和個位數(shù)相乘，又要和十位數(shù)相乘。尋找因數(shù)的過程，不僅能培養(yǎng)學生的推理能力、運算能力，增強數(shù)感，還能為以后學習乘法分配律埋下伏筆。

總體反思

算理和算法是一體兩面、互為表里的。乘法分配律是多位數(shù)乘一位數(shù)的算理基礎。無論是乘法還是加法，都是在數(shù)一數(shù)、算一算一共有多少個最小的計數(shù)單位。鑒于此，筆者設計了由果溯因的逆向練習，讓學生根據(jù)簡化豎式的結果思考它是由哪兩部分積合并而來，或者根據(jù)部分積推測因數(shù)可能是多少。理法并用是解此類題的關鍵。在解題過程中，學生的思維不斷在簡便寫法與兩層寫法的轉換中往返穿梭，在豎式結果與計算過程的獲得中相互轉換，夯實算法的同時，還能借助邏輯的力量將抽象的算理實化為具體的算法，提升學生對數(shù)與數(shù)之間關聯(lián)的敏感度，進一步感悟各部分積的空間位置，在更高層次上提升學生的思維。

（作者單位：宜城市鄢城辦事處窯灣小學）

責任編輯 張敏