審題之“境”與“節(jié)”

吳玲利

一、找到生活原型，重構(gòu)運算意義

小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算主要有加、減、乘、除四種。從這四種運算的定義來看，加法是所有運算的“源頭”，四者之間的相互關(guān)系可作如下梳理：

[加數(shù)（減數(shù)）不同 加數(shù)（減數(shù)）相同 加：5+7=12 乘：2+2+2=2×3=6 減：6-4=2 除：6-2-2-2=0 6÷2=3 ]

與這四種運算相關(guān)的問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題。如何提煉它們的原型呢？其實，生活中的運算大致可以分為兩類：分與合。所謂合，就是由部分而為整，也就是加；所謂分，就是由整而為部分，也就是減。在分與合的過程中又會出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律表現(xiàn)在運算上就是等合與等分。按照這種理解，上表又可以進一步完善為：

[加數(shù)（減數(shù)）不同 加數(shù)（減數(shù)）相同 合 加：5+7=12 等合 乘：2+2+2=2×3=6 分 減：6-4=2 等分

除：6-2-2-2=0 6÷2=3 ]

這種思想，教師在教學(xué)中應(yīng)有意識地予以引導(dǎo)、訓(xùn)練和鞏固。比如：“爸爸給我5元錢，媽媽給我4元錢”——合境；“原來有5只鳥，飛走了1只”——分境。有些“合境”是有規(guī)律的，如“每天吃5顆糖，6天一共吃幾顆”，5個5個地合在一起，所有加數(shù)相同，就用特殊合境運算方法——乘法。它是合境中的特殊情況，屬于“等合境”?！胺志场敝幸灿刑厥馇闆r，如“15顆糖，每人分5顆，可以分給幾個小朋友”，可以把算式寫成15-5-5-5=0，但更簡單的算法是15÷5=3。這意味著除法是分境中的一種特殊情況，我們稱之為“等分境”。這樣看來，等合境與合境互通，等分境與分境互通，等合境與等分境互通，合境與分境互通。這樣理解就解決了“減法為加法的逆運算、除法為乘法的逆運算”的理解難點。

二、怎么審題，審什么

如何借助運算意義來提高學(xué)生解決問題的能力呢？

先來看一道題：“每天吃4個蘋果，5天一共吃幾個？”教師會怎樣引導(dǎo)學(xué)生審題？以前，教師是這樣教的——

每天吃4個 每份數(shù)

吃了5天 份數(shù)

一共吃了幾個 求總數(shù)

每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)

這是傳統(tǒng)的教學(xué)方式——用數(shù)量關(guān)系審題，也就是利用分析法或綜合法解應(yīng)用題?，F(xiàn)在，我們這樣教：

師：大家會解決嗎？請把你的想法用圖或算式表示出來。

生1：4×5=20（個）

生2：

師：第一天吃了幾個？（4個）第二天吃了幾個？（4個）第三天吃了幾個？（4個）……5天吃了“幾個4”？

生2：5個4。

師：用什么方法解決？

生2：乘法。

顯然，現(xiàn)在我們更注重借助畫圖，直觀地幫助學(xué)生理解、解決問題。假如按照傳統(tǒng)方式教學(xué)審“每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)”，結(jié)果會怎樣呢？水平中上等的學(xué)生或許能理解，理解稍慢的學(xué)生，記憶量稍大就糊涂了。

基于上述教學(xué)片斷的對比，我們不妨思考這樣幾個問題：

第一個問題：三種審題方法——畫圖、逼問意義、數(shù)量關(guān)系，哪種更好？畫圖法往往是為理解服務(wù)的，將圖畫清楚了，題目自然也會解了。逼問意義是最一般化的方法，它固然能解決問題，但對學(xué)生的抽象思維能力要求較高。數(shù)量關(guān)系在一定程度上為學(xué)生提供了思維的支架，尤其在解決多步問題時有一定的優(yōu)勢。

第二個問題：為什么新教材“淡化”數(shù)量關(guān)系？以前，我們總是讓學(xué)生熟練掌握一些數(shù)量關(guān)系式，然后再用分析法與綜合法來解題，但隨著數(shù)量關(guān)系式的增多，一些學(xué)生越來越吃力，進而出現(xiàn)機械記憶、會做不會分析等問題。

第三個問題：“畫圖法”缺了什么？課改后很注重“畫圖法”，旨在發(fā)揮幾何直觀的支撐作用，但如果缺乏對運算意義的理解，問題解決能力的發(fā)展就缺少了厚實的基礎(chǔ)。

審題，到底要審什么？境，從運算的角度可以分兩類：合境與分境。我們多次觀察基礎(chǔ)偏弱的學(xué)生的解題過程，從他們遲疑的表情來看，他們找不到題目的重點，盡管我們經(jīng)常提醒學(xué)生多讀幾遍題，畫出關(guān)鍵字、句，但對他們來說并不管用。

一步問題，只要分清問題的“境”，是合境（或等合境）還是分境（或等分境），學(xué)生自然會判斷用什么方法運算。兩步問題，境和境串起來就發(fā)展成為一個“節(jié)”，審“節(jié)”就是弄清這些境的先后順序是怎樣的。比如：“蘭蘭買書用去25元，又買了5本練習(xí)本，每本2元，一共花了多少錢？”由題意可知，蘭蘭一共買了兩樣?xùn)|西，是合境，用加法；其中，買本子是等合境，用乘法；這兩個境就形成了一個“節(jié)”，即合為大境，等合為小境，大境中套了小境。

在解決三步甚至多步的問題時，我們可以指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會先審“境”（有幾個境，什么境），再審“節(jié)”（幾個節(jié)）。比如：“南南和小紅去植樹，南南每天種10棵，種了5天，小紅每天種8棵，種了4天。兩人一共種了多少棵？”這是一個大合境中包含了兩個小的等合境的題目。審題的過程就類似語文中的結(jié)構(gòu)分析——

讀題：兩人植樹。

審境：有合境，用加法；有等合境，用乘法。

審節(jié)：合為大境，兩等合為小境。

解決：南南種的棵數(shù)+小紅種的棵數(shù)=總棵數(shù)。

列式：10×5+8×4。

這個例子的目的是讓學(xué)生學(xué)會把握問題的情節(jié)，學(xué)會挖掘題目中隱含的內(nèi)容。這樣分析題目，學(xué)生頭腦中自然會形成如下的結(jié)構(gòu)圖：

大合境

南南種的樹 + 小紅種的樹 = 一共種的樹

（等合境） （等合境）

審題能力的提升對后續(xù)學(xué)習(xí)的作用非常大：一是解決問題不再感到束手無策。二是熟練掌握審“境”與“節(jié)”的方法后，對列方程解決問題很有幫助，因為學(xué)生不再受困于找等量關(guān)系，又可以減輕記憶和理解的負(fù)擔(dān)。三是整合了學(xué)科之間的能力培養(yǎng)，讓學(xué)生意識到解決數(shù)學(xué)問題就如同分析語文文本，講了一件什么事是“境”，怎樣發(fā)展的是“節(jié)”。

（作者單位：武漢經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)新城小學(xué)）

責(zé)任編輯 張敏