一次函數(shù)在方案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

程蒙

摘要：一次函數(shù)是初中學(xué)習(xí)中最基本的函數(shù)，它的應(yīng)用非常廣泛，本文就其在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的方案設(shè)計(jì)和選擇問題做了歸納，重點(diǎn)研究其在分配和調(diào)運(yùn)中方案問題，突出函數(shù)思想。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；方案設(shè)計(jì)

一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它與一次方程、一次不等式有密切聯(lián)系，在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，尤其利用一次函數(shù)的增減性等有關(guān)知識(shí)可以為某些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的方案設(shè)計(jì)和選擇提供幫助，做出最佳的決策。近幾年來一些省市的中考或競(jìng)賽試題中也時(shí)常出現(xiàn)這方面的應(yīng)用題，這些試題新穎靈活，具有較強(qiáng)的時(shí)代氣息和很強(qiáng)的選拔功能。下面以幾道中考題為例說明一次函數(shù)在中考中的重大作用。

一、分配方案的設(shè)計(jì)

例1某經(jīng)營世界著名品牌的總公司在我市有甲、乙兩家分公司，這兩家公司都銷售香水和護(hù)膚品，總公司現(xiàn)將香水70瓶、護(hù)膚品30瓶分配給甲、乙兩家分公司，其中40瓶給甲公司，60瓶給乙公司，且都能賣完，兩公司的利潤（元）如下表：

（1）假設(shè)總公司分配給甲公司x瓶香水，求：甲、乙兩家公司的總利潤W與x之間的函數(shù)關(guān)系式子；

（2）在（1）的條件下，甲公司的利潤會(huì)不會(huì)比乙公司的利潤高？得出結(jié)論并說明理由。

（3）若總公司要求總利潤不低于17370元，請(qǐng)問有多少種不同的分配方案，并寫出方案。

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用 專題：函數(shù)思想

解：（1）依題意，甲公司的護(hù)膚品瓶數(shù)為：40-x，乙公司的香水和護(hù)膚品瓶數(shù)分別是：70-x，30-（40-x）=x-10，W=180x+200（40-x）+160（70-x）+150（x-10）=-30x+17700

故甲、乙兩家公司的總利潤W與x之間的函數(shù)關(guān)系式是W=-30x+17700

（2）甲公司的利潤為：180x+200（40-x）=8000-20x；乙公司的利潤為：160（70-x）+150（x-10）=9700-10x，8000-20x-（9700-10x）=-1700-10x<0

∴甲公司的利潤不會(huì)乙公司的利潤高。

（3）由（1）得 ，解得10≤x≤40，再由W=-30x+17700≥17370，得x≤11

所以10≤x≤11，所以有兩種不同得分配方案。①當(dāng)x=10時(shí)，總公司分配給甲公司10瓶香水、30瓶護(hù)膚品，乙公司60瓶香水、0瓶護(hù)膚品；②當(dāng)x=11時(shí)，總公司分配給甲公司11瓶香水、29瓶護(hù)膚品，乙公司50瓶香水、11瓶護(hù)膚品。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查得知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是先求出函數(shù)關(guān)系式，再對(duì)甲、乙公司的利潤進(jìn)行比較，通過求自變量的取值范圍得出方案。

二、調(diào)運(yùn)方案的設(shè)計(jì)

例2某市產(chǎn)苦蕎茶、青花椒、野生蘑菇，為了讓這些珍寶走出大山，走向世界，政府決定組織21輛汽車裝運(yùn)這三種土特產(chǎn)共120噸參加全國農(nóng)產(chǎn)品博覽會(huì)，現(xiàn)有A型、B型、C型三種汽車可供選擇。已知每種型號(hào)汽車可同時(shí)裝運(yùn)2種土特產(chǎn)，且每輛車必須裝滿，根據(jù)下表信息解答問題。

（1）設(shè)A型汽車安排x輛，B型汽車安排y輛，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）如果三種型號(hào)的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案。

（3）為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，應(yīng)采用（2）中哪些方案？并求出最少運(yùn)費(fèi)。

考點(diǎn)：優(yōu)選方案問題

解：（1）方法①根據(jù)題意得4x+6y+7（21-x-y）=120，化簡(jiǎn)得：y=-3x+27；法②根據(jù)題意得：2x+4y+2x+（21-x-y）+2y+6（21-x-y）=120，化簡(jiǎn)得：y=-3x+27。

（2）由 解得5≤x≤ ，因?yàn)閤為正整數(shù)，所以x=5，6，7，故車輛安排有三種方案，即：方案①A型車5輛，B型車12輛，C型車4輛；方案②A型車6輛，B型車9輛，C型車6輛；方案③A型車7輛，B型車6輛，C型車8輛。

（3）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W元，則W=1500x+1800 （-3x+27）+2000（21-x+3x-27）=100x+36600，因?yàn)閃隨x的增大而增大，且x=5，6，7，所以當(dāng)x=5時(shí)， =37100元。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問題，此類題是今年中考中的熱點(diǎn)問題，注意利用一次函數(shù)求最值時(shí)關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)，即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值。

綜上所述，利用一次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的整數(shù)解與方程的有關(guān)知識(shí)可以解決實(shí)際生活中許多的方案設(shè)計(jì)問題，如果同學(xué)們能切實(shí)理解和掌握這方面的知識(shí)與應(yīng)用，對(duì)解決方案問題的數(shù)學(xué)題是很有效的。

參考文獻(xiàn)

[1].吳克.一次函數(shù)與方案設(shè)計(jì)問題探究[J].初中生世界.2015年2月：49-53.

（作者單位：湖北省十堰市第二中學(xué)湖北十堰）