多方向小波變換高分影像邊緣提取

李軍軍， 曹建農(nóng)， 廖娟， 程貝貝

(長(zhǎng)安大學(xué)地球科學(xué)與資源學(xué)院，西安 710054)

0 引言

隨著遙感影像的空間分辨率提高，地物內(nèi)部細(xì)節(jié)得到了更好表征，空間結(jié)構(gòu)信息更加豐富，地物形狀以及與相鄰地物之間的關(guān)系得到更加詳盡的反映。因此，如何利用計(jì)算機(jī)更有效地處理這些高分影像成為當(dāng)前一項(xiàng)熱門研究課題。高空間分辨率遙感影像的邊緣提取及其相關(guān)的應(yīng)用，在地區(qū)規(guī)劃和防災(zāi)救災(zāi)等過(guò)程中占據(jù)著重要位置。傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)方法如Sobel算子、Robert算子和Canny算子在許多應(yīng)用中都具有較好的效果[1-2]。其中Canny算子在邊緣檢測(cè)中能得到較為清晰連續(xù)的邊界而得到許多學(xué)者的研究與改進(jìn)[3-6]。但上述算子的本質(zhì)仍是一種基于局部梯度的算法，容易受到噪聲的影響，遙感影像的獲取過(guò)程中由于受到自然天氣條件等處界因素的影響通常帶有噪聲。而使用濾波方法對(duì)圖像去噪會(huì)平滑掉部分弱邊緣,使得一部分邊緣丟失或不連續(xù)。因此，這些方法存在著抑制噪聲與邊緣提取結(jié)果精確性間的矛盾[7]。

小波變換作為非平穩(wěn)信號(hào)分析的有力工具，其基函數(shù)具有局部性和衰減性，不僅能夠得到信號(hào)分解后的頻率，而且能夠知道頻率發(fā)生的位置[8]。圖像邊緣通常對(duì)應(yīng)高頻信息，使用小波變換能夠有效檢測(cè)圖像邊緣，并且具有較好的邊緣定位性質(zhì)，所以，采用小波變換提取圖像邊緣成為當(dāng)前一個(gè)研究方向。文獻(xiàn)[9-11]中提出以小波變換為基礎(chǔ)的不同影像邊緣提取方法，提取結(jié)果相較于傳統(tǒng)方法有一定提高。但是，標(biāo)準(zhǔn)小波變換方向數(shù)較少，小波系數(shù)僅被分解到水平、垂直和對(duì)角3個(gè)方向上，且對(duì)角子帶系數(shù)一般由于含有較多噪聲而舍棄。而高分遙感影像中地物內(nèi)部空間結(jié)構(gòu)信息豐富，地物邊緣存在于各個(gè)方向，使得基于小波變換的邊緣提取存在結(jié)果不完整問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，研究人員發(fā)展了一些二維圖像的表示方法，如Curvelet，Ridgelet，Contourlet和Brushlet等[12-15]，相比于小波變換能更加精確地表示二維圖像，因此被廣泛應(yīng)用于圖像壓縮、分割及去噪等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[16-18]等使用上述方法提取不同目標(biāo)的邊緣信息，但這些方法也存在著明顯的缺點(diǎn)，濾波器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，計(jì)算復(fù)雜度較高等。例如Contourlet變換是過(guò)完備的，即圖像變換后的大小約為原始圖像大小的4/3； Curvelet變換冗余度高，存在加窗效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)效率差； Ridgelet變換是單尺度的，因此這些方法在圖像邊緣分析中都存在一定的不足[19]，尤其是對(duì)于數(shù)據(jù)量較大的遙感影像。

針對(duì)上述方法中的部分缺陷，本文設(shè)想提出一種理想的方法，通過(guò)采用具有多方向性基函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行不同方向的一維小波變換，能夠從多個(gè)方向檢測(cè)圖像的奇異點(diǎn)，獲取影像邊緣信息。這樣既具有一維小波變換的計(jì)算簡(jiǎn)單性，又具有二維不可分離小波變換的多方向性。相較于文獻(xiàn)[16-18]等方法具有較低的計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)也具有其多方向性的優(yōu)勢(shì)，在獲得更加完整的邊緣提取結(jié)果的同時(shí)減少時(shí)間消耗。

1 Directionlet變換

圖1(a)顯示了使用某一方向性基函數(shù)檢測(cè)與其方法正交或近似正交的奇異曲線邊緣，以獲取較大的邊緣系數(shù)。這種方法處理的好處在于，使用多個(gè)方向處理后選取較大邊緣系數(shù)能夠得到較為連續(xù)的邊緣，不會(huì)因?yàn)闄z測(cè)方向數(shù)較少而產(chǎn)生一些曲線部分系數(shù)與兩側(cè)差異過(guò)大從而導(dǎo)致最后的邊緣不連續(xù)； 而且不具備線狀結(jié)構(gòu)的噪聲則仍會(huì)在后續(xù)形態(tài)學(xué)處理中被消除。本文從Directionlet變換[20]出發(fā)，根據(jù)其基本理論與方法完成圖1(b)所示的過(guò)程。

(a) 方向性基函數(shù)原始高分影像(b) 垂直基函數(shù)與經(jīng)過(guò)調(diào)制的高分影像

圖1影像方向性小波變換

Fig.1DirectionalwavelettransformofHSRimage

利用具有不同方向特性的小波基函數(shù)對(duì)高分影像進(jìn)行變換，等價(jià)于對(duì)影像預(yù)先調(diào)制再利用水平或垂直方向的小波變換。

Directionlet變換是一種多尺度幾何變換工具，相比于其他常用的多尺度幾何變換工具除了具有多尺度、多方向和局部化的優(yōu)點(diǎn)以外還具有標(biāo)準(zhǔn)二維小波變換的計(jì)算簡(jiǎn)單性。其基函數(shù)被稱為斜各向異性小波基S-AWT(n1，n2)，n1和n2分別表示沿不同方向的變換次數(shù)，當(dāng)n1=n2時(shí)表明變換是各向同性的，否則為各向異性變換。

定義由2個(gè)線性無(wú)關(guān)的方向向量d1=[a1，b1]，d2=[a2，b2](斜率分別為r1=b1/a1和r2=b2/a2，且r1和r2都為有理數(shù))，d1和d2線性組合構(gòu)成滿秩整數(shù)格Λ，其基本形式用MΛ表示為

(1)

任一整數(shù)格Λ均為立方整數(shù)格(cubic integer lattice)Ζ2的子格，即Λ?Ζ2。

由格理論[21]可知，完整的格空間被MΛ劃分為|det(MΛ)|個(gè)關(guān)于Λ的陪集(co-set，CS)。每一個(gè)陪集CS[Sk,1 ，Sk,2]可由格Λ通過(guò)偏移矢量Sk=[s1，s2](k=1，2，...，|det(MΛ)| ,s1，s2∈Ζ)得到。位于格Λ及其CS上的像素點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為(i，j)，即

i=c1a1+c2a2+Sk,1，

(2)

j=c1b1+c2b2+Sk,2，

(3)

式中：c1和c2為任意整數(shù)，c1，c2∈Ζ,具體取值視影像大小而定；Sk,1=s1；Sk,2=s2。當(dāng)固定任意c2，遍歷c1時(shí)可以得到嚴(yán)格位于d1方向上的一條陪線(co-line，CL)。同樣，由偏移矢量可以得到其他CS上的CL。反之可以得到d2方向上CL。分別沿d1和d2方向進(jìn)行n1和n2次一維小波變換則完成了單尺度下的Directionlet變換，詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參考文獻(xiàn)[20]。在此不再詳細(xì)討論Directionlet變換的整個(gè)過(guò)程，而是根據(jù)其基本理論方法獲取多方向一維CL用于進(jìn)行多方向小波變換。

以d1=[-1，2]和d2=[1，1]所構(gòu)成的一個(gè)基本單元格為例。圖2(a)中黑色點(diǎn)表示了由MΛ生成的一個(gè)基本單元格，|det(MΛ)|=3表示平面可以被MΛ分解為3個(gè)子集，偏移矢量分別為S1=[0，0]，S2=[0，1]，S3=[0，2]。變換c1和c2的值完成整個(gè)分解過(guò)程得到CS[0，0]，其余2個(gè)CS[0，1]和CS[0，2]上的點(diǎn)可以由CS[0，0]上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)偏移矢量得到。圖2(b)表示3條CL，CL上的點(diǎn)都嚴(yán)格位于d2方向上，同樣其余的CLSk也可以通過(guò)偏移矢量獲得。將上述方法應(yīng)用于圖像，即圖2中圓圈視為像素點(diǎn)，完成整個(gè)分解過(guò)程獲取任意有理斜率方向的像素點(diǎn)集合。

(a) 一個(gè)基本單元格(b) 陪線

圖2格與陪線

Fig.2Latticeandco-line

2 多方向小波變換

小波變換是對(duì)傅里葉變換的發(fā)展，是一種在空間域和頻率域同時(shí)擁有分辨性的多尺度分析方法。小波變換使用小波函數(shù)族及相應(yīng)的尺度函數(shù)將原信號(hào)分解成不同頻率子帶。對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，定義其小波變換為

(4)

根據(jù)Directionlet變換的基本理論，對(duì)于給定的圖像可以獲取任意有理斜率方向上的CL集合 。例如分別采用[1，0]，[2，1]，[1，1]，[1，2]4個(gè)方向(分別對(duì)應(yīng)0°，30°，45°，60°)對(duì)圖像進(jìn)行多方向性小波變換，并給出變換后的子帶系數(shù)，其結(jié)果如圖3所示。

(a) 變換方向(b) 高分影像(c) [1，0]方向

(d) [2，1]方向(e) [1，1]方向(f) [1，2]方向

圖3高分影像不同方向小波變換結(jié)果

Fig.3WavelettransformresultsofHSRimageindifferentdirections

從圖3結(jié)果可以看出，在不同方向小波的作用下其變換結(jié)果不同。由于變換方向與紅色圈中道路的方向一致，在Directionlet變換方向消失矩(directional vanishing moments ，DVM)的作用下，邊緣在沿30°方向的子帶中基本消失，即小波系數(shù)較小，在與30°方向相鄰的水平和45°方向上的子帶中重現(xiàn)但數(shù)值仍不大，而在60°方向子帶上系數(shù)的響應(yīng)相對(duì)較大，且呈高亮狀態(tài)。

2.1 重定義小波模值計(jì)算方法

圖像經(jīng)變換后最重要的是需要選合適的系數(shù)進(jìn)行后處理。以標(biāo)準(zhǔn)小波變換為例，fd1和fd2分別是圖像f經(jīng)過(guò)水平與垂直方向小波變換后的系數(shù)，對(duì)于圖像中的任意一點(diǎn)(x,y)，fd1(x,y)和fd2(x,y)正好構(gòu)成了一組梯度矢量，由此可得f(x,y)小波變換后的梯度模值Mf(x，y)和幅角Af(x，y)分別為

(5)

(6)

由于圖像中突變點(diǎn)主要位于圖像邊緣，這些突變點(diǎn)對(duì)應(yīng)于模極大值，梯度方向指向梯度模極大值，這就意味著可以通過(guò)梯度方向?qū)ふ夷O大值來(lái)檢測(cè)圖像邊緣[22]得到初始結(jié)果。

傳統(tǒng)的方法中，梯度分量只有2個(gè)，對(duì)其求模和幅角就可以確定梯度大小和方向。而在本方法中變換方向一般為8個(gè)方向或4個(gè)方向。若以4個(gè)方向?yàn)槔?，則圖像變換后得到4個(gè)梯度分量分別為fd1,fd2,fd3,fd4。文獻(xiàn)[23]對(duì)此處理方法為

(7)

但這種做法太過(guò)籠統(tǒng)，且當(dāng)變換方向較多時(shí)計(jì)算量會(huì)很大。在實(shí)際情況中，多數(shù)邊緣提取實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，只有少數(shù)幾個(gè)梯度分量的模值較大。這符合人們的認(rèn)知，由于邊緣一般出現(xiàn)在像素灰度值差異較大的地方，通常情況下，f(x,y)點(diǎn)處的梯度分量最大值出現(xiàn)在該點(diǎn)法線方向，而其他方向梯度分量的模沿法線兩側(cè)遞減，最小為0，如圖4所示。

圖4 多方向梯度分量Fig.4 Multi-direction gradient components

(8)

2.2 非極大值抑制

非極大值抑制是進(jìn)行邊緣檢測(cè)的重要步驟，用于尋找局部梯度最大值，細(xì)化邊緣。其基本思想是： 如果圖像(x,y)位置上的系數(shù)模值大于沿梯度方向兩端的值，則認(rèn)為該像素位置為候選圖像邊緣，否則為非邊緣點(diǎn)。而通常梯度方向介于2個(gè)梯度分量方向之間的亞像素點(diǎn)位置上(如圖5(a)所示)，因此需要對(duì)梯度方向兩邊的梯度值進(jìn)行插值，得到沿梯度方向上的梯度值。在本文中，選取4個(gè)變換方向{[1，0]，[1，1]，[0，1]，[-1，1]}，對(duì)圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并加以說(shuō)明。

(a) 2個(gè)最大梯度分量方向相鄰(b) 2個(gè)最大梯度分量方向不相鄰

圖52個(gè)最大梯度分量方向的位置關(guān)系

Fig.5Positionrelationofdirectionofthetwomaximumgradientcomponents

多數(shù)情況下，梯度值最大的方向與次大梯度方向是相鄰的，如圖5(a)所示。但是當(dāng)采用多方向小波變換時(shí)，由于變換數(shù)量較多及影像本身的幾何結(jié)構(gòu)等因素，存在部分2個(gè)最大梯度方向不相鄰的情況，如圖5(b)所示。對(duì)于第一種情形，采用一般方法，對(duì)梯度分量f1和f2插值得到梯度方向上的2個(gè)梯度值M1和M2，即

(9)

(10)

比較Mf(x，y)與M1，M2值的大小確定當(dāng)前位置是否為候選邊緣點(diǎn)。對(duì)于第二種情況，由于系數(shù)最大方向與系數(shù)第二大方向的位置不相鄰，相關(guān)性弱，無(wú)法直接對(duì)其插值求梯度方向模值。因此，將f(x，y)處的值分別與f1和f2方向前后值比較，若為局部最大值則保留f(x，y)為候選邊緣。圖6顯示了一幅高分影像經(jīng)非極大值抑制后的結(jié)果。最后采用雙閾值法[24-25]對(duì)非極大值抑制后的邊緣圖像進(jìn)行弱邊緣去除，得到主要邊緣。由于圖像中通常含有噪聲，雖然噪聲形成的邊緣像素個(gè)數(shù)較少，但會(huì)在部分邊緣產(chǎn)生毛刺現(xiàn)象，因此需要采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法對(duì)其進(jìn)行一定的后處理[26]，得到最終的圖像邊緣。

(a) 高分影像(b) 非極大值抑制結(jié)果

圖6高分影像與非極大值抑制后的結(jié)果

Fig.6HSRimageandresultofnon-maximumsuppression

2.3 實(shí)驗(yàn)流程

本文方法具體步驟如下： ①對(duì)每個(gè)給定的方向向量d=[a，b]，將輸入圖像進(jìn)行基于格的分解，獲取位于給定方向上的一維線集合； ②對(duì)第①步中每一條線進(jìn)行小波變換，使用Haar小波高通濾波器，將變換后的系數(shù)恢復(fù)為圖像矩陣形式，便于計(jì)算，從而完成方向性小波變換，得到不同方向小波變換的高頻子帶； ③重新定義小波系數(shù)模值的方法計(jì)算每個(gè)像素位置模和梯度方向，用非極大值抑制確定候選邊緣點(diǎn)，分別采用不同方法處理2個(gè)梯度方向是否相鄰時(shí)的情況； ④采用雙閾值法得到邊緣結(jié)果； ⑤使用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行適當(dāng)后處理。多方向小波變換的高分影像邊緣提取具體流程如圖7所示。

圖7 多方向小波變換的高分影像邊緣提取流程Fig.7 HSR image edge extraction flow chart based on multi-direction wavelet transform

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本實(shí)驗(yàn)在Intel Core i5 2.7 GHz，4 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，編程環(huán)境為Matlab2014a。數(shù)據(jù)選擇3個(gè)地區(qū)空間分辨率為0.5 m的彩色航空影像，由于光譜特征對(duì)圖像邊緣提取影響不大，因此將影像預(yù)先轉(zhuǎn)為灰度影像，選擇地物主體類型為建筑物和道路。大小均為256像素×256像素。選擇{[1，0]，[1，1]，[0，1]，[-1，1]}4個(gè)方向進(jìn)行方向性小波變換。將與基于Canny算子的邊緣提取結(jié)果和基于標(biāo)準(zhǔn)小波變換的邊緣提取結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

3幅實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的Canny算子邊緣提取結(jié)果、小波變換邊緣提取結(jié)果及本文方法邊緣提取結(jié)果如圖8所示。3幅實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Canny算子邊緣提取的閾值參數(shù)分別選擇0.2，0.23和0.23。

(a) 實(shí)驗(yàn)1高分影像(b) 實(shí)驗(yàn)1Canny算子結(jié)果(c) 實(shí)驗(yàn)1小波變換結(jié)果(d) 實(shí)驗(yàn)1本文方法結(jié)果

(e) 實(shí)驗(yàn)2高分影像(f) 實(shí)驗(yàn)2Canny算子結(jié)果(g) 實(shí)驗(yàn)2小波變換結(jié)果(h) 實(shí)驗(yàn)2本文方法結(jié)果

(i) 實(shí)驗(yàn)3高分影像(j) 實(shí)驗(yàn)3Canny算子結(jié)果(k) 實(shí)驗(yàn)3小波變換結(jié)果(l) 實(shí)驗(yàn)3本文方法結(jié)果

圖8實(shí)驗(yàn)結(jié)果

Fig.8Resultsofexperiment

由圖8(a)—(h)可以看出，由于這2類影像的幾何結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，主要為規(guī)則線狀結(jié)構(gòu)，邊緣與內(nèi)容部分灰度值差異明顯，3種方法均能識(shí)別主體邊緣，但前2種方法結(jié)果在某些較弱邊緣線處都發(fā)生斷裂現(xiàn)象，而本文方法則有效地避免了這種情況。而對(duì)于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的高分圖像，如圖8(i)，本文方法明顯要優(yōu)于Canny算子，從圖8(l)中可以看出，本文方法獲得的結(jié)果包含更多更完整的線狀邊緣。雖然傳統(tǒng)方法中選擇較小的閾值時(shí)可以獲得更多更完整的邊緣，但是由草地和樹(shù)冠等形成的紋理區(qū)域也包含大量的高頻信息，容易形成偽邊緣，因此結(jié)果很難同時(shí)兼顧邊緣完整性與去除偽邊緣。本文方法在控制由于光照和紋理區(qū)的噪聲和偽邊緣的同時(shí)，能夠獲得更加完整的邊緣，這是因?yàn)楸疚姆椒ǜ玫乩昧藞D像本身的幾何結(jié)構(gòu)，有針對(duì)性地檢測(cè)圖像的奇異信息，而噪聲和光照不均勻造成的偽邊緣通常不具備邊緣的幾何結(jié)構(gòu)。

對(duì)比采用小波變換的邊緣提取結(jié)果可以明顯看出，本文方法優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)小波方法，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)小波變換只能檢測(cè)水平和垂直方向奇異點(diǎn)，對(duì)于非垂直與水平的弱邊緣小波系數(shù)被分解到垂直與水平子帶，沒(méi)有充分利用圖像的幾何結(jié)構(gòu)信息。而基于多方向性小波變換可以檢測(cè)任意方向的奇異點(diǎn)，從中選取較大系數(shù)，有利于獲取豐富連續(xù)的圖像邊緣。

但是在多次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析中，本文方法也存在一些缺陷。例如對(duì)于某些較弱的邊緣或者較小地物的邊緣提取結(jié)果中發(fā)現(xiàn)仍有部分像素點(diǎn)斷裂的情況?？赡艽嬖诘脑蛟谟诓糠珠撝翟O(shè)置不恰當(dāng)，或未考慮多尺度的方法。某種程度上地物的邊緣也可以視為是多尺度的統(tǒng)一，使用單一或區(qū)間閾值時(shí)能夠得到某個(gè)尺度下較好的邊緣結(jié)果，但在多尺度下提取結(jié)果會(huì)不可避免地出現(xiàn)問(wèn)題。

4 結(jié)論

本文提出一種圖像邊緣提取方法，對(duì)高空間分辨率遙感影像進(jìn)行邊緣信息提取。首先分析了傳統(tǒng)邊緣提取方法和小波邊緣提取方法存在的不足之處，再根據(jù)高分遙感影像的自身幾何結(jié)構(gòu)特性提出多方向性小波變換邊緣提取方法，兼顧了一維小波變換計(jì)算簡(jiǎn)單性和二維多尺度幾何分析多方向性。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法相對(duì)于傳統(tǒng)方法能夠更好地提取高分影像邊緣，具有應(yīng)用有效性。

小波變換是一種多尺度的表達(dá)工具，高分影像空間分辨率較高，地物內(nèi)部細(xì)節(jié)更加詳細(xì)，使用單一尺度的邊緣提取過(guò)于籠統(tǒng)。在應(yīng)用中，有時(shí)需要忽略較小地物目標(biāo)而更多關(guān)注整體的輪廓信息，有時(shí)則不然。因此，充分利用高分影像的優(yōu)勢(shì)，在不同尺度空間下提取圖像邊緣信息的更有效方法是今后仍需繼續(xù)研究的問(wèn)題。